L'équation polaire des courbes de Cassini est
p4 2Z 2 p 2 cos2e + P = 4Pc\
0" If ~ (V Fig. 39
Au moyen de cette équation et des formules connues
. TT dd rlp sinV = p-7-5 cos V = —7— 1 k as ds
où s représente la longueur des ares de la courbe et V l'angle de la tangente avec le vecteur du point de contact, on obtient aisément l'expression du rayon de courbure des courbes considérées par la méthode suivante (Cesàro : Lezioni di Geometria intrinseca, Napoli, 1896, p. 42).
En différentiant d'abord l'équation polaire de la courbe et en tenant compte des relations précédentes, on trouve
(A) P 2 cosV-r 2 (cos20-V),
et, en éliminant ensuite p au moyen de l'équation de la courbe,
(B) Zsin26 = 2ccosV.
En différentiant cette dernière équation, on obtient cette autre:
7 0kr dd . XT dV
i cos 26 - — = — c sm V —y— 5 as as
et par suite
dV l cos 26 dd l cos 26
ds c ' sinV ' ds
Kemarquons maintenant que, si o représente l'angle formé par la tangente à la courbe avec l'axe des abscisses, on a
et, par conséquent, en tenant compte de l'égalité connue -^j— = où R représente le rayon de courbure,
dd 1 l 9fi
-y- = , , cos 26.
as K cp
Remarquons encore que des relations (A) et (B) il résulte celle-ci :
, P(cos2flcosV + sin20sinV) 9fi .
p 2 = — ^ — = £ 2 cos 20 -f 2cl sm V ,
k cos V
et que cette équation et celle de la courbe considérée donnent
On trouve donc enfin l'égalité
sin V I ? c ?
cos 20 =
qui détermine le rayon de courbure des courbes considérées en fonction du vecteur p du point donné. Cette formule a été obtenue par Vechtmann (7. c.) au moyen d'une analyse différente»
179. On peut déterminer aisément les points d'inflexion des courbes de Cassini au moyen de l'expression du rayon de courbure H qu'on vient d'obtenir. En posant, en effet, E=go^ on voit que chacune de ces courbes possède huit points d'inflexion à distance finie, lesquels coïncident avec les points d'intersection de cette courbe avec les cercles représentés par l'équation
L'un de ces cercles est imaginaire; l'autre est réel quand Z <^2c 7 et, pour qu'il coupe la courbe de Cassini en des points réels, il faut que le résultant de l'élimination de y entre son équation et celle de la courbe considérée donne pour x des valeurs réelles, c'est-à-dire qu'on ait
ou
ou, simultanément, Z<2c et l > c. Donc les ovales de Cassini n'ont pas de points d'inflexion réels que dans le deuxième des cas considérés au n.° 167 et dans le cas de la lemniscate.
Nous ajouterons encore à ce qui précède que chacune des asymptotes d'une courbe de Cassini coupe cette courbe en quatre points coïncidant avec les points circulaires de l'infini ; donc elle a, en outre, deux inflexions à chacun de ces points.
Nous rappelerons ici que nous avons déjà indiqué à la fin du n.° 176 une autre méthode pour déterminer les points d'inflexion des courbes qu'on vient d'envisager.
ISO. Les foyers des courbes considérées peuvent être obtenus au moyen des formules données au n.° 168 pour déterminer les foyers des spiriques, en y posant K = c. On trouve
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ainsi que les courbes de Cassini possèdent deux foyers singuliers réels ? dont les coordonnées sont (+ 1, 0), et quatre foyers ordinaires réels, dont les coordonnées sont
quand l > 2c^ ou
si Z < 2c.
On voit donc que les points F et F ; (jig. 39), dont les coordonnées sont (+1, Q), sont en même temps des foyers singuliers et des foyers ordinaires de la courbe considérée. On voit encore aisément, en formant l'expression du produit des distances d'un point (a?, y) aux deux autres foyers et en y éliminant ensuite as 2 — ?/ 2 au ihoyen de l'équation de la courbe, que le rapport du produit des distances d'un point quelconque de la courbe à ces foyers et du carré de sa distance
au centre est égal à la constante -y- •
181, En prenant pour origine des coordonnées le foyer F et en représentant par p et p les distances d'un point quelconque d'un ovale de Cassini aux foyers F et F ; , on a
et par conséquent
4Zp 2 ? y 41 f
ou, en posant p 2 =
f + ±p) m a ^iBZ 2 P ~[t(t + 4P) - m 2 J 2
Alt 1 %J Alt
Nous avons ainsi deux équations qui déterminent les coordonnées des points de la courbe en fonction d'un paramètre variable t.
Cela posé, cherchons les valeurs que t prend aux points d'intersection de la courbe avec la droite correspondante à l'équation
Ax + By + C = 0.
En éliminant, pour cela, x et y entre ces équations, on trouve celle-ci:
(A 2 + B 2 ) ** + 8 [Al (Al + C) - Z 2 B 2 ] t 3 + . . . + (A 2 + B 2 ) m 4 - 0,
qui détermine ces valeurs et fait voir qu'on a, en représentant par £j, fe, £3 et £4 ses racines VOL. IV v
et par pi, p2, p3 et p4 les valeurs correspondantes de p,
pï + pi + p' + n - ~ i= — Ââ+B» ' p 1 pa p3 p* = w •
On a donc les théorèmes suivants, que nous avons déjà indiqués dans une Note insérée dans la Revista trimestral de Matematicas (Zaragoza, t. i, 1901).
1. ° Les droites parallèles à FF' coupent la courbe de Cassini en quatre points tels que la somme des carrés de leurs distances à Vun des foyers F ou F' est constante.
2. ° Le produit des distances à Vun des foyers F ou W des points où une droite quelconque coupe la même courbe est constant.
182. L'équation des ovales de Cassini peut être mise sous la forme
[(x + iyf - l*\ [(x - iyf - = 4P c*,
[(x + iyf — l 2 + 21 cl] [(x — iyf - P + 2Vcl]
ou encore
(x + iyf-~P+2^ T
(x-iyf-P + 2^,
où X et V représentent deux nombres arbitraires, comme on le peut vérifier aisément; et, sous cette forme, elle donne, comme M. Darboux Ta fait voir (Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces? Paris, 1873 ; p. 80), les propriétés suivantes des courbes qu'elle représente.
l.° Donnons à X et V les valeurs imaginaires conjugées p-\~iq et p — iq } et posons dans l'équation précédente
P-2\cl = (a i -\-ib i f, P-2^-==(a2+ihy,
et par suite
P - 2V cl = (ai ~ ib { )\ P - 2 4t- - («2 - ihf.
On trouve,
[x + iy -f- «i -f- iSi J [x -{- {?/ — (ai -f $ i)] — ?V + a i — ^i] [# — — ( a i — ^i)] = (p 2 + Ç 1 ) [ x + + a 2 + ^2] [se + i# — («2 + ^2)] [se — + «2 — £62] [se — iy — (a% - — ib^j] ,
et par conséquent
[(« + + {y + h)*} [(x - a { f + (y- &,) 2 ] = (p* + 2 2 ) [(« + as) 1 + (y + [(* - ai) 1 + (2/ - •
Donc, on peut former, et d'une infinité de manières, un parallélogramme tel que le rapport du produit des distances d'un point quelconque de la courbe aux extrémités d'une diagonale et du produit de ses distances aux extrémités de Vautre soit constant.
