Posons maintenant
X= e ih , V = <r * l 2 - 2kcl = (a + ^p) 2 ? P - 2VcZ = (a' + ip') 2 ,
et par suite
P-2-^ = (o'-ip') t > P-2-£ = («-tP)».
11 vient
| [œ + + a + [a? + ?'?/ — (a + ip )] [a? — ^ + a 1 + ^p ; ] — m/ — (a 7 + ijî')]
| == é [a? + + d — [œ + i?0] [a? — % + et — i t 3 ] [as — — (a — - i(3 )]
œ + a + i(y+$) x — x + i(y— g) = . ag + *' + * (y -- P') , a? — «' + g (y + PO . {) x + a — i(y + fi)' x — * + i(y — $) & ' ' x + a' — i {y — p') ' x — a' — i {y + p') '
Représentons maintenant par Ei la distance du point (ce, y) au point (—a, — P) et par o> l'angle que la droite qui joint le premier au deuxième de ces points forme avec l'axe des abscisses. On a
x -f a = Ri cos co ; ?/ + p = Ri sin a>,
et par conséquent
x-{-cc~ i (y + p)
On trouve de même, pour les points (a, |3), (— a', p'), (V , — P'),
ce— a — - p) ' x + a f — i (y— 5 x — a' — i (y + p')
L'équation (3) donne donc
et par conséquent
+ œ' - co /; - w'" - -i- (A + &) + nie.
Mais, en représentant par toi et o>2 les angles sous lesquels on voit du point (x : y) de la
courbe les segments compris entre les points (-—a, — p) ; (—a', p') et les points (a, [3), (a', — 6'), on a
0)1 = tO — G)' 7 , 0)2 = oV — G)'".
Donc
Les points (-—a, — p), (— a', p'), (a, p) et (a', — p ; ) sont situés sur la courbe considérée, comme on le voit immédiatement au moyen de l'équation (2), et sont les sommets d'un parallélogramme dont le centre coïncide avec le centre de cette courbe.
On voit encore aisément que la propriété exprimée par la dernière équation a lieu pour tous les parallélogrammes inscrits dans la courbe de Cassini dont le centre coïncide avec celui de cette courbe, puisqu'on peut déterminer h et h de manière que (—a, -— P) et (-—a', PO représentent deux points quelconques de la courbe. En effet, l'équation
P — 2cl (cos h-\-i sin h) = (a + £*P) 2
donne ces autres:
P — 2cl cos h = ofi — p 2 , cl sin h = — ajî,
dont il résulte
tang/ ^ a^p»-P. ;
or, la première de ces équations indique que le point (—a, — j3) est situé sur la courbe, ce qu'on savait d'ailleurs déjà, et la deuxième détermine h. On obtient de la même manière la valeur de k.
On peut donc énoncer le théorème suivant:
Si les sommets d'un parallélogramme sont situés sur une courbe de Cassini et son centre coïncide avez le centre de cette courbe, la somme algébrique des angles sous lesquels on voit les côtés opposés est constante.
Les propriétés des ovales de Cassini qu'on vient de démontrer furent données par Laguerre en 1868 dans un travail remarquable inséré au Bulletin de la Société philomatique de Paris (Oeuvres, t. il, p. 46). La méthode qu'on vient d'employer pour les démontrer est due, comme il a été dit, à M. Darboux.
183. Les ovales de Cassini appartiennent à une classe plus générale de courbes considérées par Laguerre dans le travail qu'on vient de mentionner, et nommées cassinitnnes par
cet éminent géomètre, lesquelles sont définies par l'équation
(4) rr 4 = KRR l5
r, r.» 5 R et Ri représentant les distances d'un quelconque de ses points à deux couples de pôles et K une quantité constante.
On étend aisément à ces courbes les propriétés des ovales de Cassini qu'on vient de démontrer, au moyen de la méthode de M. Darboux employée ci-dessus.
En représentant, pour cela, par (e, /), (V, / ; ), (s, t), (V, t 1 ) les coordonnées des deux couples de pôles, on peut mettre l'équation des courbes (4) sous la forme
(5) {(x -e,*+ (y -/)*] [(x - ef + (y -/')«] = K* [(x - sf + (y- 2 ] [x - s'f + (y - t'f],
et on voit ainsi qu'elles sont du quatrième ordre, quand K 2 est différent de l'unité. Si K 2 = 1 5 les courbes considérées sont du troisième ordre et coïncident avec les focales étudiées aux n. os 52 à 67, ou du deuxième ordre, lorsqu'on a en même temps
c'est-à-dire quand les pôles sont les sommets d'un parallélogramme. Dans ce dernier cas l'équation (4) représente une hyperbole êquïlatere (n.° 62).
En décomposant les facteurs qui entrent dans l'équation (5) en d'autres du premier degré et en posant, pour abréger,
œ~{-iy = itj x — iy = v, e + if= Ui ? e — if=Vi, . . . , cette équation prend la forme
(u — ui) (y — v{) (11 — u%) (v — ya) = K 2 (u — u') (y — v') (u — u") (y — v 11 ), et est donc équivalente à cette autre :
[ [(u — Ui) (u — itg) + KX (u — u') (u
i = }JJ [fa — m) (u — ^2) + y (u — u') (u
k et V étant deux nombres arbitraires.
l.° Cela posé, faisons \=p-\-iq, V —p — iq et décomposons ensuite les facteurs du deuxième degré qui entrent aux deux membres de cette équation en deux facteurs du premier degré. On trouve, en remarquant que les deux facteurs qui figurent en chaque membre de
- u")] [(v - vi) {v — vî) + KV (y - v') (v — v !/ )}
l'équation sont imaginaires conjugés, un résultat de la forme
[u — (ai + ib[)] [u — (al + ibl)] [v — (ai — ib\ ) [v — (a' L — ib^j] = M [m — («a + #2)] [m — (ai + £&2î] — («2 — *2) L v — ( a 2 — «62)],
où
(i + ia)(i + iu') 1
OU
[(« - ai) 2 + {y - hf\ [{x - a if + (y-btf] = M [(x - a a )« + (y - 5 2 ) 2 ] [(as - ai)» + (y - W
On voit donc qu'on peut déterminer, et d'une infinité de manières, deux nouveaux couples de pôles (A*, A2), (Bi, B2) tels que les produits des distances d'un quelconque des points de la courbe considérée aux pôles (Ai, A2) et aux pôles (Bi, B2) soient dans un rapport constant.
2.° Posons en (6) maintenant \ = e~ ih ) V = e~ ik et décomposons ensuite les deux membres en facteurs du premier degré. On obtient, en remarquant que à chaque facteur du deuxième degré du premier membre de cette équation correspond un facteur imaginaire conjugué du second membre, un résultat de la forme suivante:
[u - (oci + ifr)] [u - (al + ifc')] [v - («2 + ifa)] [> ~ («2 + = M [v - (« 4 - iPi)] |> - («i - i;3i)] - («s - iPa)] [w - (*i - ift)] .
On voit au moyen de cette équation, en procédant comme au n.° précédent, qu'on peut déterminer, et d'une infinité de manières, deux cordes de la courbe considérée telles que la somme algébrique des angles sous lesquels elles sont vues d'un point de la courbe soit constante.
On voit encore qu'on peut déterminer h et k de manière que Tune des cordes ait une position donnée d'avance.
184. La courbe inverse d'une cassinienne est une autre cassinienne.
La démonstration qu'on a donnée au n.° 63 d'un cas particulier de ce théorème y établi est applicable à tous les cas compris clans l'énoncé précédent.
Il résulte de ce théorème et de l'équation (4), mise sous la forme
( 1 - K' 2 ) (x* + iff + 2 (px + qy) (x^ + if) + A.t 2 + Bxy + Gif -f Bx + Ey + F = 0,
que les courbes inverses d'une cassinienne sont d'autres cassiniennes du quatrième ordre, quand le centre d'inversion n'est pas pris sur la courbe, sont des focales, si F = 0, c'est-à-dire si le centre d'inversion est un point de la courbe, et sont des hyperboles équilatères, lorsque D = 0, E = et F = 0, c'est-à-dire quand la courbe considérée a un point double à distance finie et le centre d'inversion coïncide avec ce point. Cette propriété dont jouissent les cassiniennes-
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unicursales du troisième et du quatrième ordre, d'être inverses des hyperboles équilatères, fut profitée par M. Cazamian pour déduire quelques propriétés des premières courbes de celles des autres, dans un article inséré aux Nouvelles Annales de Mathématiques (3. e série, t. xm, 1894, p. 265).
Les courbes qu'on vient de considérer appartiennent à une classe de courbes algébriques de tous les degrés étudiées par M. Darboux dans l'ouvrage mentionné ci-dessus.
185. La rectification des courbes de Cassini peut être obtenue au moyen des intégrales elliptiques de première espèce, comme Serret l'a démontré dans le Journal de Liouville (t. vin, p. 145) et ensuite dans son Cours de Calcul différentiel et intégral (t. n, 1880, p. 260), auquel nous empruntons l'analyse pour résoudre cette question qui suit.
Supposons premièrement qu'on ait Z>2c, c'est-à-dire que la courbe considérée soit composée de deux ovales égaux, et, en considérant l'un de ces ovales, menons par l'origine des coordonnées deux droites qui le coupent et représentons par 6 et 6\ les angles qu'elles forment avec l'axe des abscisses. Alors entre ces deux droites sont compris deux arcs de l'ovale considéré, dont nous allons déterminer les longueurs s et s\.
Posons 2c= l$m2a dans l'équation polaire de la courbe. On trouve
et par suite
nous avons donc
p 2 = p [ cos 26 ± \/ cos 2 26 - cos 2 2a],
dp p sin 26
d6 '"Vcos 2 20 — cos 2 2a'
2 dp* 2 l — cos 2 2a 4c 2 p 2
P + dfl» = P cos 2 26 - cos 2 2a~ ~ P (cos 2 26 - cos 2 2a) '
Les longueurs des arcs considérés sont donc déterminées par les formules
„ f 61 Vcos 2 6 4- i/cos 2 26 -cos 2 2a
s = 2c I — av.
J i/cos 2 26-cos 2 2a
. h / cos 26 - v 7 cos 2 26 - cos 2 2a 7Û
S{ = 2cl . — au.
vW2tf-cos 2 2a
qui donnent, en tenant compte de l'identité
[\/ cos 26 + /cos 2 26 - cos 2 2a ± \j cos 26 - [/cos 2 26- cos 2 2a J = 2 (cos 26 ± cos 2a),
les relations suivantes :
/~ rh do
\J cos 26 — cos 2a
s — Si = 2c V 7 2j Go
[/ cos 26 + cos 2a
ou, en posant dans la première sin 6 = sin a sin <p et dans la deuxième sin 6 = cos a sin c[>, et en représentant par <p et cpi, et par cj; et <J>i les valeurs que prennent cp et ^ quand 6*== # et = 6i,
s + si == 2c i
Pi
y/ 1 — sin 2 a sin 2 cp
V^l — cos 2 a sin 2 cj>
Ces formules déterminent s et s* au moyen du calcul de deux intégrales elliptiques de première espèce.
Si l < 2c, on trouve, en posant l = 2c sin 2a et en représentant par s et si les longueurs de deux arcs tels que les vecteurs des extrémités de l'un de ces arcs soient perpendiculaires aux vecteurs des extrémités de l'autre,
Vcos 26 + v/cos 2 26 + cot 2 2a ^
V / cos 2 2(9 + cot 2 2a 0o
Si = 2c I
V— cos20 + v/cos 2 20 + cot 2 2a 7fi . — dV
\/ cos 2 26 + cot 2 2a
et par suite, 6i et 62 étant compris entre et — ?
s- Sl = 2c fi fV-cot ^. + vW ^ + cot^a, 4 J yW 2 26 + cot 2 2a
o </ô ^ \/ co t 2a + /côs2W+^2â ^ ^ + si = 2c i/ 2 I — — d6,
J l / cos 2 2H-cot 2 2a
En posant maintenant
/cos 2 26 -\- eut 2 2 a = dans la deuxième de ces intégrales, et
vW^fl+cot^â =-
1 — 2 sin 2 a sin 2 <f sin 2a
1 — 2 cos a sin 2 c|> sin 2a
dans la première, on trouve entin
s + si = s/ïcl ^'^
5 S| = l/2cZ
■ sin 2 a sin 2 es
/ 1 — cos 2 a sin 2 1|>
et on- voit que s et si dépendent aussi dans ce cas de deux intégrales elliptiques de deuxième espèce.
180. Pour calculer Taire A comprise entre un arc d'une courbe de Cassini et les vecteurs de ses extrémités, on peut recourir à la formule
1 rO t 72 72 rïïi 1 4r 2
A = --/ l fd6 = — (8in2fli-sin2fl )±y / y~7^- sin220 de -
Oo " 6
Si l<2c (fig. 36 et 57^ on doit employer dans cette formule le signe +; mais, si £>2c, entre les deux droites qui forment avec Taxe des abscisses les angles 6 Q et 61 sont compris deux arcs de chaque ovale, et on doit alors employer le signe — quand on considère les arcs plus prochains de l'origine, le signe -f- quand on considère les arcs plus distants de ce point. Dans les deux cas l'intégrale qui figure dans l'expression de A dépend des intégrales elliptiques, comme on va le voir.
Supposons d'abord qu'on ait l<2c. On a alors
J V /^- sin 2 20 dd = 2 ~ j y/l - ~~ sin 2 26 dO,
et on voit que Vaire considérée dépend d'une intégrale elliptique de deuxième espèce. Si l > 2c, en posant
tans: 20 =
yv 1 — 4c 2
VOL. IV
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on trouve l'égalité
f\/ir- sin2 26 dd = \\J % cos2 26 ~ lê sin ' 2tj - d6 = - ^r- j-
2c 2 k 2 f sin 2 eprftf
Z 2 / I (l-/c 2 sin 2 c?) 2
f l/l-fc* B in 2 cp
qui, en tenant compte de la relation connue r do 1
(1—42 sin 2 ? )2
(1 -À; 2 sin 2 cp) 5
1 — Jfc-
l/l — k* sin 2 ç c/cp
1$ sin <p cos <p ~
donne
A / - sin 2 2tf rffl = 4? /"-=jt= -~f S/I-W sin 2 <*<fo + -
A: 2 sin cp cos <p
2t/l — à 2 sin 2 cp
Donc, Faire A dépend, dans ce cas, des intégrales elliptiques de 'première et seconde espèce,
187o Les ovales de Cassini jouent un rôle important dans la théorie des fonctions analytiques; elles limitent les aires où une fonction d'une variable complexe x doit être liolomorphe, pour que cette fonction soit développable en série ordonnée suivant les puissances entières et positives d'un produit (x — a) (x — 5), a et b étant deux nombres complexes, représentés par les foyers F et F ; de la courbe (Voyez, par exemple, Hoûel : Cours de Ccdcid infinitésimal, t. IV, 1881, p, 42).
Les lemniscates.
188. On a dit au n.° 166 qu'on donne le nom de lemniseates aux spiriques représentées par les équations
(x 2 -j- 2/ 2 ) 2 = a<2 y^ + 5 2 cc 2 , (x- 2 — ?/ 2 ) 2 = 6 2 sc 2 — a 2 ?/ 2 .
On verra bientôt que la première de ces équations représente les courbes inverses et les
podaires de l'ellipse et la seconde celles de l'hyperbole, par rapport au centre de ces coniques; par ce motif J. Booth (A Treatise on some new geometrical Methods, London, t. il, 1877, p. 163) a nommé ces spiriques, respectivement, lemniscate elliptique et lemniscate hyperbolique.
En supposant dans la première des équations précédentes b > a, on peut déterminer par les formules (n.° 1G6)
le tore et la position que doit prendre le plan parallèle à son axe pour que la courbe qui résulte de l'intersection de ces surfaces soit une lemniscate elliptique donnée; on peut résoudre au moyen des formules
Ja même question pour la lemniscate hyperbolique. Dans le premier de ces cas le tore est fermé, et dans le second cas il est ouvert; et il est dans les deux cas tangent au plan considéré.
On obtient aussi les lemniscates quand on cherche les courbes qui satisfont à la condition (Booth, l. c.)
où p, pi et r représentent les distances d'un quelconque de leurs points à trois points fixes F, F ; et G, situés sur une droite, tels que les distances de F et F 7 à soient égales à e, et ouf désigne une constante (fig, 39).
On a, en prenant le point O pour origine des coordonnées et la droite FF' pour axe des abscisses,
?* = y* + (x-é)*, pH y* + (* + «)*, r*=x* + y*i
A^7V D donc l'équation cartésienne des courbes considérées est
et représente une lemniscate elliptique, dont les paramètres sont «*=/«- 2e*, + 2e*,
quand f 2 >2e" 2 , une lemniscate hyperbolique, dont les paramètres sont
si /' 2 <2e 2 .
Ces notions générales étant posées, nous allons maintenant étudier séparément chacune des deux lemniscates mentionnées.
