Lemniscate elliptique. — L'équation
de la lemniscate elliptique fait voir immédiatement que la courbe est symétrique par rapport aux axes des coordonnées ; qu'elle rencontre l'axe des abscisses aux points (+ 6, 0) et celui des ordonnées aux points (0, + a) ; et qu'elle a un point isolé, centre de la courbe, qui coïncide avec l'origine des coordonnées. Il résulte de la même équation que la lemniscate elliptique ne possède pas de branches infinies et qu'elle est coupée en deux points, différents de 0, par toute droite passant par l'origine des coordonnées. On voit, en outre, au moyen de l'équation
; [b*-2(& + y* )]x J [2(:e* + ^)-<jy '
que la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées aux points E et F et aux quatre points imaginaires où la courbe considérée est interseptée par le cercle correspondant à l'équation
et que la tangente est parallèle à l'axe des abscisses aux points C et D, et aux quatre points
d'intersection de la courbe avec le cercle
c'est-à-dire aux points dont les coordonnées sont déterminées par les équations
yi (b 2 -2a 2 )
Fig. 40
ces derniers points sont réels et destincts quand 5 2 >2a- (fig. 40), imaginaires quand & 2 <2a 2 , et coïncident avec C et D quand 5 2 = 2a 2 . En posant dans l'équation de la spirique considérée y — jra, on voit que chacune des tangentes aux points C et D coupe cette courbe en deux autres points, dont les abscisses sont égales à + — 2a 2 , et que ces points sont réels au premier de ces cas, imaginaires dans le second, et qu'ils coïncident avec C ou D dans le troisième.
190. On a vu aux n. os 166 et 168 que la courbe dont nous nous occupons à présent a un point double à l'origine des coordonnées et deux autres à l'infini ; elle est donc unicursale. En posant, en effet, dans son équation y — tx et ensuite
t/ à 1 t* + b' l = ai + z,
on obtient les équations
2a?z (zïj-b*) ^ a (zï + b 2 )(b* — z2)
X ~ zï + 2(2a 2 -b*)z* + M ' %J ~ z i + 2(2à z — b 2 )z 9 - + b^
qui déterminent x et y en fonction rationnelle de z.
191. L'équation polaire de la lemniscate elliptique est celle-ci:
P = ± s/<& sin 2 6 + 6* cos 2 0.
En partant de cette équation, on trouve, pour déterminer le rayon de courbure, la formule
laquelle fait voir que la courbe a deux points d'inflexion réunis à son point isolé, et quatre autres coïncidant avec les points d'intersection de la courbe avec le cercle de rayon égal à
ayant le centre à l'origine des coordonnées. Les valeurs que prend à ces derniers points sont données par l'égalité
sur 6 = — çrTT~r 77~ '
laquelle fait voir que ces valeurs sont réelles quand & 2 >2a 2 (fig. 40), imaginaires quand è 2 < 2a 2 . Si 5 2 = 2a 2 , deux de ces points coïncident avec G et les deux autres avec D, et la courbe a une ondulation à chacun de ces deux points.
192. Les foyers ordinaires de la lemniscate elliptique sont déterminés immédiatement par les formules obtenues au n.° 169, en y substituant à R et c les valeurs
qui résultent des égalités écrites ci-dessus:
On voit ainsi que la courbe a quatre foyers ordinaires , deux réels et deux imaginaires, déterminés par les intersections des droites
+ j/jTr^ (Y + iX) + ab = 0, ±\/V*=a* (Y — iX) + ah = 0, et que les coordonnées des foyers réels sont
La courbe considérée a encore deux foyers singuliers réels, dont les coordonnées sont
et qui coïncident, par conséquent, avec les points F et F' de la figure 39. 193. La lemnis cette elliptique est la podaire de V ellipse
par rapport au centre (Serret: Journal de Liouville, 1843, p, 497).
En effet, les équations de la tangente à cette ellipse au point (a?, y) et de la perpendiculaire menée de son centre à cette tangente sont, respectivement,
W yY + a 2 xX = aW, xY = W yX,
et donnent pour x et y les valeurs suivantes :
or, en éliminant x et y entre ces équations et celle de l'ellipse, on obtient une équation identique à celle de la lemniscate elliptique.
Entre la ellipse et la lemniscate elliptique existe une autre relation remarquable, qu'on va voir.
En appliquant, en effet, à l'équation de l'ellipse,
la transformation par rayons vecteurs réciproques définie par les équations
abX abY
on obtient l'équation de la lemniscate elliptique. Donc, la lemniscate elliptique est la courbe inverse de V ellipse par rapport à son centre.
Les foyers réels ordinaires de la lemniscate elliptique correspondent, dans cette transformation, aux foyers de l'ellipse dont la courbe est inverse, et, en procédant comme au n.° 29, on voit que, si r QJ n et r% représentent les distances d'un point quelconque de la lemniscate à son centre et à ses foyers réels ordinaires, on a
194. À ce qu'on vient de dire sur la lemniscate elliptique nous ajouterons encore la déduction de l'équation de cette courbe en coordonnées tangentielles.
Pour cela, remarquons premièrement que l'équation de la tangente à cette lemniscate est
y [2 (»* + if) - a 2 ] ( Y - y) = x - 2 (x* + 1/)] (X - x)
et peut être écrite de la manière suivante :
mY + vX + 1=0,
où
Mais, en posant # 2 -f ?/ 2 = r 2 et en remarquant que cette équation et celle de la courbe donnent
on peut réduire les expressions de w 2 et v 2 à la forme
d'où il résulte
(a V + bhi* + 4) r 4 4 (a 2 + 6 2 ) r 2 — 3a 2 6 2 , (w 2 + v») r 6 = (a 2 + 6 2 ) r 2 — a 2 ô 2 .
En éliminant maintenant r entre ces équations, on trouve Péquation en coordonnées tangentielles de la lemniscate elliptique (Booth : 1. c, t. I, p. 145):
aW (aV + IV + 4) 3 — (a 2 + ô 2 ) 2 (a V + W + 4) 2 - 1 8a 2 è 2 (u 2 + u 2 ) (aV + 6 2 w 2 + 4) + 1 6 (a 2 + ô 2 ) (m 2 + u 2 ) + 27a 4 è 4 (u 2 + i; 2 ) 2 = 0.
195* On peut retrouver, au moyen de cette équation, les foyers de la courbe considérée, comme on va le voir.
Remarquons pour cela que la droite représentée par l'équation
wY-r t>X + l =
est tangente à cette courbe et a pour coefficient angulaire +i, quand u et v satisfont à l'équation tangentielle de la courbe et à la condition v = + iu.
Mais, en posant dans cette équation +m au lieu de v, on obtient une autre qui, en séparant les termes réels des termes imaginaires, donne
(7/2 c?)u* + 4 = 0, a 2 6 2 (4 — ahfi + bV) - (a 2 + b*)* = 0.
Aux valeurs de w données par la première de ces équations et aux valeurs de v données ensuite par la relation v = + iw correspondent les droites représentées par les équations
qui coïncident avec les asymptotes de la courbe, et déterminent, par leurs intersections, les foyers singuliers.
Aux valeurs u et v données par la deuxième équation et par v = + iu correspondent les droites représentées par les équations
+ ^ 2 -a 2 (Y±iX) + ai = 0,
qui déterminent, par leurs intersections, les foyers ordinaires de la même courbe.
196. Pour rectifier la lemniscate elliptique, prenons la formule
ds?< a 4 sin 2 6 + W cos 2 6
ou. en posant = —
En faisant alors et par suite on obtient l'équation
dO* o* sin 2 fl + 6* cos 2 6
Js 2 a 4 cos 2 03 -f- 6 4 sin 2 co doy J a 2 cos'' (o + sin 2 to
tang(o = -p-tangX î
ds-
6 2 a 4 sin- X + 6 4 cos 2 X dX
sin 2 X
laquelle fait voir que la longueur des arcs de la courbe considérée dépend d'une intégrale elliptique de troisième espèce (Booth : 1. c, t. i, p. 196).
197. L'aire limitée par la lemniscate elliptique est déterminée par la formule
A = -g- / (a 2 sin 2 + P cos 2 0) <Z0 = — J— tt ; o
elle est donc e^a/e à ia moitié de la somme des aires de deux cercles de rayons égaux aux demi-axes de la courbe.
198. Lemniscate hyperbolique. — Considérons maintenant la courbe représentée par l'équation
En comparant cette équation à celle de la lemniscate elliptique, on conclut immédiatement que les formules qui se rapportent à la lemniscate hyperbolique peuvent être déduites de
celles qui sont applicables à la lemniscate elliptique, en remplaçant a 2 par — a 2 .
La lemniscate hyperbolique a la forme indiquée dans la figure 41. Elle est symétrique par rapport aux axes des coordonnées, et coupe Taxe des abscisses en deux points E et E' dont les coordonnées sont Fi cf. 41 (i^ Oj ; les droites qui passent par l'origine
rencontrent la courbe en ce point, qui est double, et
VOL. IV Y
en deux autres points réels, équidistants de 0; elle a deux inflexions à ce dernier point et les tangentes y forment avec l'axe des abscisses deux angles co et — co déterminés par
1 équation tang co = ± — • x a
On voit encore, au moyen de l'égalité
y [2 (x* + tf) + a 2 ] ij = x [b* - 2 (x* + y%
que les tangentes sont parallèles aux axes des ordonnées aux points E et W } et qu'elles sont parallèles aux axes des abscisses aux points Gr, H ; I et K où la courbe est coupée par le cercle correspondant à l'équation
» 2 + î 2 = yi 2 ;
les coordonnées de ces points sont données par les équations
X 4(a 2 + 6 2 ) ' T 4(a 2 -fô 2 )'
L'expression du rayon de courbure en coordonnées polaires est
K ~ [2 (à 2 - o^pH- 3a*6«] p 5
et fait voir, en tenant compte de l'équation polaire de la courbe, que la lemniscate hyperbolique a deux points d'inflexion réels à 0, comme on a déjà dit, et quatre points d'inflexion imaginaires y qui tendent vers l'infini, quand b tend vers a.
199» La lemniscate hyperbolique possède, comme la lemniscate elliptique, deux points doubles à V infini , et elle est aussi, par conséquent, unicursale. Les expressions de ses coordonnées x et y en fonction rationnelle de z peuvent être obtenues par les formules du n.° 190, en y remplaçant a 2 par — a 2 ; mais les formules auxquelles on arrive de cette manière contiennent des coefficients imaginaires, et il est préférable d'employer d'autres expressions qu'on obtient en posant dans l'équation de la courbe d'abord y = tœ, et ensuite V & 2 — at <2 = (b 4- at)z, à savoir:
rp 2 1 .
26 2 az(l -z 2 ) V ~ (a 2 + è 2 ) z 4 + 2 (a 2 -6 2 jz 2 + a 2 + ô 2 '
200. Pour rectifier la iemniscate hyperbolique, nous partirons de l'équation polaire de cette courbe
p 2 = 5 2 cos 2 -— a 2 sin 2 6,
d'où il résulte
c/s 2 a 4 sin 2 #-|- 6 4 cos 2 #
dd i 6 2 cos 2 -a 2 sin 2 6 '
en substituant maintenant à 6 une nouvelle variable <u liée à 6 par la relation (Booth., 1. c t. n, p. 164):
. 9iQ 5 4 sin 2 œ
«-6- -f- 6 4 sm- co -f- cr cos^ (o
on trouve d'abord
ds b dO b-a (a 2 + b r ) cos eu
de COS t» da) ( tt 2Jî + J4 s i n -2 03 + a 4 cos 2 ^ ^2 + a 2 CO g2 0) '
et ensuite
1 + — sin 2 tu , i / 1 ^^-5 sin 2 tu
La rectification des arcs des lemniscates hyperboliques dépend donc d'une intégrale elliptique de troisième espèce, quand b^a; et d'une intégrale elliptique de première espèce, quand a = b (Booth., L e),
201. L'aire limitée par la moitié OKEGO de la courbe considérée est donnée par la formule
1 Ch ô 2 — a 2 a 2 -4-ô 2
A = y c °s 2 - a 2 sin 2 0) d6 = ^ + sin 26 h
où 9i = arctang — ; ou par conséquent
A = - arctanff ab.
202. La Iemniscate hyperbolique considérée est la polaire et la courbe inverse de l'hyperbole représentée par l'équation
iy-aV aW,
par rapport à son centre; les asymptotes de cette hyperbole forment un angle égal à celai que font les tangentes à la lemniscate à son centre,
203. En changeant a 2 en — a 2 dans les équations trouvées aux n. os 194 et 195, on obtient les coordonnées des foyers de la lemniscate hyperbolique et l'équation tangentielle de cette courbe. On trouve ainsi que les coordonnées de ses foyers ordinaires réels sont
et que les coordonnées de ses foyers singuliers réels sont
et que ces derniers points coïncident' avec les points F et F / de la figure 39.
Les distances r Q , 1\ et r$ d'un point quelconque de la courbe à son centre et à ses foyers ordinaires réels satisfont à la condition
204 o Les lemniscates elliptique et hyperbolique peuvent être construites aisément de la manière suivante. .
Considérons un cercle de rayon égal à -^-6 et un point 0, situé dans son plan, dont la
distance au centre C du cercle soit égale à l'un des nombres s/b^ + et prenons ensuite
sur chacune des droites OP qui passent par 0, à partir de ce point, deux segments OM et OM 7 égaux à la corde comprise entre les points P et Q où cette droite coupe le cercle, Le lieu des points M et M 7 qu'on obtient de cette manière est une lemniscate hyperbolique, si la
distance de à C est égale à ~ \/b % + a 2 , et est une lemniscate elliptique si cette distance est égale à — et 2 .
En effet, si l'on prend pour origine des coordonnées le point et pour axe la droite passant par et par le centre C du cercle, l'équation polaire du cercle est
/PTT 2 Pl cos 6 ± -i- a 2 = 0.
Or, cette équation donne pour OP et OQ les valeurs suivantes :
OP = -i- t/5 2 ±a 2 c o s 6 + i- ✓ (&*±a 2 ) cos 2 6 + a 2 , OQ = — \/W±ë cos - -1 ^W+a?) co8»fl±a»,
U Ci
dont il résulte
OM 2 = (OP - OQ) 2 = 6 2 cos 2 6 + « 2 sen 2 6.
Il convient de remarquer que le point est à l'intérieur du cercle dans le cas de la lemniscate elliptique, et à l'extérieur dans le cas de la lemniscate hyperbolique, et que cette manière de construire ces courbes équivaut à considérer les lemniscates comme cissoïdales de deux cercles coïncidents.
La lemniscate de Bernoulli.
205. La lemniscate hyperbolique correspondante au cas où a = b, a été nommée lemniscate de Bernoulli, pour avoir été rencontrée par Jacques Bernoulli en cherchant la solution du problème de Leibniz qui a pour but de déterminer la courbe que doit décrire un point soumis à l'action du pesanteur, pour qu'il s'approche uniformément d'un point donné (Acta eruditorum, 1694, p. 336; Opéra, t. i, p. 609). Les principales propriétés de cette courbe furent ensuite découvertes par Fagnano (Produzione matematica, t. n, 1750, p. 317), par des méthodes géométriques, et plus tard par Euler, qui en a donné la théorie analytique (Mem. Acad. Petrop., t. v, p. 351).
L'équation de la lemniscate de Bernoulli rapportée aux coordonnées cartésiennes orthogonales est
(ce 2 + ?/ 2 ) 2 = « 2 (x À — ?/ 2 ),
et l'équation de la même courbe rapportée aux coordonnées polaires est
p2 a 2 cog 2(j t
On obtient directement, au moyen de ces équations, ou en posant b = a dans les résultats obtenus précédemment pour les lemniscates hyperboliques, les propriétés suivantes de la lemniscate de Bernoulli.
La courbe a la forme indiquée dans la figure 42, où OE = a. Elle a un point double et deux inflexions à ; et les angles formés par les tangentes en ce point avec
Fig. 42
Taxe des abscisses sont égaux à — et — ; elle a encore deux points doubles à l'infini, et à chacun deux inflexions.
En posant /=0 et a 2 = 2e 2 dans l'égalité (1) du n.° 188, on trouve l'équation ppi = — a 2 ,
dont il résulte qu'existent sur le plan de la lemniscate considérée deux points F et F' tels que le produit des distances d'un point quelconque de la courbe à ces points est constant, et que par suite elle est une courbe de Cassini. Les points F et F ; sont, en même temps, les
foyers ordinaires et les foyers singuliers de la courbe et leurs coordonnées sont ^+-^-«V2, 0^ .
Les points G, H ? I, K où la valeur absolue de y est maxime sont situés sur un cercle de rayon égal à -i a \/2 9 avec le centre en ; donc, les points où la valeur absolue des ordonnées est maxime et les foyers de la courbe sont situés sur la circonférence d'un même cercle. Les coordonnées des points Gr, H, I et K sont
(±Iot/6, ±\a\^.
La lemniscate de Bernoulli est la podaire de l'hyperbole équilatère représentée par l'équation
par rapport à son centre; elle est aussi la courbe inverse de cette hyperbole, par rapport au même centre.
206. On voit au moyen de l'équation polaire de la courbe que l'angle V formé par la tangente à un point donné avec le vecteur de ce point est déterminé par la formule
tangV = -^~==cot20,
ou, par conséquent,
Il résulte de cette relation une manière facile de construire les tangentes à la courbe considérée.
On peut encore obtenir aisément, au moyen de cette égalité, l'équation de la podaire de la lemniscate considérée par rapport à son centre. En représentant, en effet, par (p', d') les coordonnées du point de cette podaire qui correspond au point (p, 6) de la lemniscate, on trouve
9 / = + y-V = 30, p' = psinV = acos 2 26,
et par suite
p = a cos o :
la podaire de la lemniscate de Bernouîli appartient donc à une classe de courbes nommées spirales sinusoïdes, qui seront étudiées plus tard.
207. Le rayon de courbure de la lemniscate de Bernouîli a l'expression suivante:
dont on déduit, en tenant compte de la relation sin V = cos 26 = ?
p = 3 R sin V.
Donc, le vecteur d'un point quelconque de la courbe est égal à trois fois la projection sur ce vecteur du segment de droite compris entre ce point et le centre de courbure correspondant au même point.
Il résulte de ce théorème une manière de déterminer aisément les centres de courbure de la lemniscate considérée. La développée de cette lemniscate est une courbe du sixième ordre que nous ne déduirons pas ici. On peut la voir dans l'opuscule de Vechtmann mentionné au n.° 176.
208. La lemniscate de Bernouîli est une courbe unicursale; ses coordonnées ce et y peuvent être exprimées en fonction rationnelle d'une variable indépendant z par les relations (n.° 199)
employées par Em. Weyr pour l'étude de la courbe dans un travail intitulé: Die Lemniscate in rationaler Behandlung (Abhandl. der K. bôhm. Gesellschaft der Wissenschaften, Prag, 1873), et dont nous allons déduire quelques propriétés des tangentes à cette quartique. Substituons ces valeurs de x et y dans l'équation
(Y — y) dx = (X — x) dy; on obtient celle des tangentes à la quartique considérée:
(1 - z 2 ) (a* + 4z 2 + 1) Y - (1 + s 2 ) (z 4 - 4z 2 + 1) X = 4az 3 .
Donc, si Ton mène par un point quelconque (a, (3) les tangentes à la lemniscate considérée, les valeurs que z prend aux points de contact sont déterminées par l'équation
(P + cc) z 6 + 3(p-a) z 4 + 4az 3 -3(p + a) 2 2 -([3-a)=0,
laquelle a six racines, auxquelles correspondent les six tangentes, réelles ou imaginaires, distinctes ou coïncidentes s qui passent par le point donné.
Cela posé, cherchons la condition pour que quatre des ces points de contact soient situés sur une même droite.
La droite représentée par l'équation
ux -f- v y + 1 ==
coupe la courbe en quatre points, correspondants aux valeurs de z données par l'équation
On trouve donc les conditions pour que quatre des points de contact considérés soient situés sur cette droite, en exprimant que les racines de cette équation satisfont à (1), ou, par conséquent, que le reste de la division du premier membre de (1) par le premier membre de (2) est identiquement nul. Or, ce reste a pour expression
