U - + a 2 (u — vf
et les conditions cherchées sont donc
ou, en éliminant (u — de la première et de la troisième au moyen de la dernière,
4 {u + v) + {u% __ v)==0j a , (tt * v a) = 4?
u-v + ^(u + v) = 0, 4,t^ + a^u-vf = 0^ p + a p + a
La première et la troisième de ces équations donnent
et, en substituant les valeurs de zt — v et i£ + v dans la troisième et dans la quatrième, on voit que ces deux équations ne sont pas destinctes et on trouve celle-ci:
dont il résulte que le point (a, [3) doit être situé sur la lemniscate considérée.
Donc, le lieu des positions dit point d'où Von peut mener quatre tangentes à la lemniscate de Bernoidli telles que les points de contact soient situes sur une droite? coïncide avec cette même courbe.
Ce théorème fut donné par Em. Weyr dans un travail mentionné plus haut. M. Schoute en a exposé une démonstration géométrique dans les Verslagen de l'Académie des Sciences d'Amsterdam (2. e série, t. xix, 1883, p. 220).
L'équation
qui résulte des égalités (3), représente, en coordonnées tangentielles, une courbe dont on obtient l'équation cartésienne en éliminant v ? u et entre cette équation et ces autres:
ux + vy + 1 = 0,
ce qui donne
dv dv J du ' du
On a donc le théorème suivant, dû aussi à Em. Weyr :
U enveloppe de la droite passant par les quatre points de contact des tangentes à la lemniscate de Bernoulli issues d'un point variable de la courbe? est une hyperbole êquilatere.
VOL. IV Z
Nous ajouterons à ce qui précède que l'équation de la droite passant par les points de contact des tangentes considérées est
2ax + 2fy + <% 2 + P 2 = 0;
elle passe donc aussi par les points d'intersection des parallèles aux asymptotes menées par le noeud réel et par le point (— a, — [3).
209* Les conditions pour que les points de contact des tangentes à la lemniscate considérée, menées par le point (a, [}), soient situés sur une conique, peuvent être déterminées par une méthode analogue à celle qu'on vient d'employer dans la question précédente. En supposant que l'équation de la conique est
ax 2 -f- vy% -f- wxy -f- hx -f ky + 1 = 3
on voit que les valeurs que z prend aux points où cette conique coupe la lemniscate, satisfont à l'équation
z 8 + Az 7 + Ba 6 +C« 5 + D»* + A« 3 + E« 2 + C«+1«0,
où
A — a (h — B = (u + v — w) a 2 , = (h-\-k) a> T) = 2(ahi-aH + l) 1 E = a(u + v + w).
On obtient donc les conditions pour que les points de contact des tangentes à la lemniscate, menées par le point arbitraire (a, (3), soient situés sur la conique considérée, en exprimant que le reste de la division du premier membre de la dernière équation par le premier membre de l'équation (1) soit identiquement nul; ces conditions sont donc celles-ci:
C-L-3AK = 0, D + 3-AL-3K(B-3K) = 0, 4A-L(B-3K) = 0, E + K + 3(B-3K) = 0, C + AK-0, 1 + (B-3K)K=0,
ou
En éliminant C de la première de ces équations au moyen de la cinquième, et B — 3K de la troisième au moyen de la dernière, on obtient le même résultat; par conséquent une de ces équations n'est pas distincte des autres.
La première et la cinquième des mêmes équations déterminent les valeurs de C et A ; ensuite les relations A=a(h — k) et C = a(h-{-k) déterminent h et k. Les équations deu-
xième, quatrième et sixième donnent les valeurs B, D et E, et les relations qui lient ces quantités à u, v et W; écrites ci-dessus, déterminent enfin les valeurs de ces trois coefficients de l'équation de la conique.
De tout ce qui précède on conclut le théorème suivant, dû à M. Schoute, qui l'a donné dans un travail intitulé, Notiz uber die Lemniscate, inséré aux SiUungsber. der K. Akad. der Wissenschaften von Wien, 1883, p. 1252:
Les six points de contact des tangentes à la lemniscate de Bernoulli menées par un point extérieur à la courbe, sont situés sur une conique, qu'on vient de déterminer,
210. En posant a = b dans l'équation tangentielle des lemniscates hyperboliques, on obtient l'équation tangentielle de la lemniscate de Bernoulli, à savoir:
• 27a* {il* + v*f = [4 + a 2 (w 2 - t; 2 )] 3 .
211. L'aire limitée par une boucle de la lemniscate de Bernoulli est égale à ~~ a 2 . La longueur des arcs de la même courbe est déterminée par la formule
J t/cos20 2 / / i
où cp représente une quantité déterminée par la relation
La longueur des arcs de la lemniscate de Bernoulli dépend donc d\ine intégrale elliptique de première espèce (Fagnano, 1. c).
En appliquant les théorèmes de la théorie des intégrales elliptiques à l'expression des arcs de la lemniscate de Bernoulli qu'on vient d'obtenir, on trouve quelques propriétés importantes de ces arcs ; dont nous allons indiquer succintement quelques-unes.
On voit d'abord, au moyen du théorème d'addition des intégrales elliptiques de première espèce, que, si si, et §3 représentent les longueurs de trois arcs de la courbe, compris entre le sommet E et les points de EGO où l'amplitude cp prend les valeurs cpj, cpa et |3 ; S], 52 et s^ satisfont à la condition
quand
cos p = cos cpi cos cpâ } sin cp i sin cp2 \J 1
sm 2
on peut donc déterminer algébriquement, au moyen de cette dernière formule, un arc de la
lemniscate considérée dont la longueur soit égale à la somme ou à la différence de deux arcs donnés de la même courbe.
En supposant, en particulier, ■ cpi =<p2, on trouve
£3 = 2si, cos [i = cos 2 cpi — sin 2 cpi ^/ 1 ^- sin 2 p;
on peut donc déterminer algébriquement l'amplitude cpi d'un arc de la lemniscate dont la longueur soit égale à la moitié de celle d'un autre arc donné, dont l'amplitude soit égale à p. Un cas particulier intéressant du problème qu'on vient de considérer est celui où l'on
propose de diviser le quart OGE de la courbe en deux parties égales. En posant alors (3 = — ,
on voit d'abord que l'amplitude cpi de l'arc cherché est donnée par la formule targcpi = y/ 2 . On trouve ensuite, en représentant par Oi et pi les coordonnées polaires du point qui divise en deux parties égales l'arc OGE considéré et en tenant compte de la relation 2 sin 2 0] = sin 2 cpi,
sin 2 di = 1 - -Jr V 7 2 , cos* 6 4 = \~ s/ 2,
et par suite
pî = a 2 cos2 0i==(t/2 — donc, la valeur de l'abscisse xi du point pi) cherché est celle-ci:
Xi = pi cos di = a y 1 — y t/2.
Ce résultat a été obtenu pour la première fois par Fagnano ; cet éminent géomètre a aussi démontré que la courbe considérée peut être divisée, au moyen de la règle et du compas ordinaire, en 2 m , 3.2 m et 5.2 m parties égales, m étant un nombre entier.
Les travaux de Fagnano sur les propriétés des arcs de la lemniscate de Bernoulli ont eu une grande influence sur le progrès des sciences mathématiques, puisque ces travaux et ceux qu'il a consacrés à la théorie des arcs de l'ellipse ont ouvert la voie à la théorie des intégrales elliptiques. Ils ont été continués plus tard par Abel (Oeuvres, 1881, 1. 1, p. 361), qui démontra que la lemniscate considérée peut être divisée en n parties égales, au moyen de la règle et du compas, quand n est un nombre de la forme 2 m (m entier), ou un nombre premier de la forme 2 m + 1, ou un produit de nombres premiers ayant ces formes. La même question a été étudiée par Gauss (Weerk, t. m, p. 404), par Liouville (Journal de Mathématiques, 1843, p. 507), par Schwering (Journal de Crelle, t. CVH et ex), par Kiepert (Journal de Crelle, t. cxxv, p. 255), et, sous une forme plus géométrique, par Mathews (Procedings of the London mathematical Society, t. xxvn, p. 367).
212. La lemniscate de Bernoulli a une application intéressante dans le problème de Mé-
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canique qui a pour but de déterminer la courbe que doit parcourir sur un plan un point pesant, partant de l'origine sans vitesse initiale, pour arriver à un autre point A dans le même temps qu'il mettrait à parcourir la corde OA. La courbe qui satisfait au problème est une lemniscate de Bernoulli qui a le centre au point O et dont l'axe forme un angle de 45° avec la verticale, comme on peut le voir dans le Traité de Mécanique (t. ni, 1882, p. 104) de M. Collignon et dans la Meccanica razionale (1905, t. n, p. 81) de M. Marcolongo. Nous ajouterons que, d'après un renseignement que je dois à M. Marcolongo, ce problème fut considéré pour la première fois en 1780 dans la Racolta ferrarese di opusculi scientifici par Bonatti, qui a obtenu l'équation de la trajectoire et en a déterminé la forme; plus tard Malfatti a résolu la même question au moyen des méthodes de la géométrie ancienne dans l'ouvrage mentionné au n.° 176, où. il a démontré que la courbe cherchée appartient à la classe des courbes de Cassini; et enfin le même problème a été étudié par Saïadini en 1806 dans les Mémoires de l'Institut de Bologne, où il a démontré l'identité de cette cassinienne avec la lemniscate de Bernoulli.
Une autre application de la lemniscate, de nature différente de celle qui précède, que nous devons mentionner ici, est celle qu'elle reçoit dans la Géométrie des masses, où cette courbe a été employée par M. Haton de La Goupillière, dans sa belle Thèse: Sur une théorie nouvelle de la Géométrie des masses (Paris, 1857), sous le nom de lemniscate équilatére, conjointement avec l'hyperbole équilatère, pour représenter géométriquement quelques relations fondamentales de cette doctrine et rendre ainsi évidentes les variations des quantités qui y figurent.
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