CHAPITRE IV

QUARTIQUES REMARQUABLES.

(Continuation).

La limaçon de Pascal.

213. Envisageons un cercle de centre C et un point de sa circonféence (fia. 43), et prenons sur chacune des cordes OM qui passent par ce point, deux segments MA et MB égaux à h; le lieu des points A et B qu'on obtient ainsi est une conchoïde du cercle considéré, qui a été nommée limaçon de Pascal par Roberval dans un Mémoire intitulé: Observations sur la composition des mouvements et sur le moyen de trouver les touchantes des lignes courbes, lequel fut inséré dans le tome VI des Mémoires de l'Académie des sciences de Paris (1730, p. 42). Dans ce travail célèbre, Téminent géomètre a appliqué à cette courbe la méthode générale des tangentes, qui en est l'objet, et il a, en outre, démontré quelques-unes de ses propriétés, parmi lesquelles est comprise une qu'il attribue à Pascal; plus tard il a donné, dans son Traité des indivibles (1. c, p. 264), une méthode pour en calculer Taire. On doit ajouter à ce qui précède que P. Tannery, en étudiant avec soin l'histoire de l'invention du limaçon, a remarqué que Roberval avait considéré cette courbe avant Tanné 1644 dans ses leçons de Géométrie, recueillies par un de ses élèves, leçons qui ont donné l'origine au premier des travaux mentionnés ci-dessus, et que le nom de Pascal mentionné dans ce travail ne se rapporte pas au célèbre géomètre et philosophe Biaise, mais à son père Etienne.

Plusieurs années après, Quetelet, ayant été amené à s'occuper du limaçon par un problème d'Optique sur lequel nous dirons quelques mots plus loin (à la fin de l'article qui se

rapporte aux ovales de Descartes), a consacré à cette courbe quelques pages d'un travail remarquable inséré en 1823 au tome in des Nouveaux Mémoires de l'Académie de Bruxelles, oh cet éminent géomètre a étudié quelques-unes des questions plus essentielles de sa théorie.

Dès lors jusqu'à présent on a publié un grand nombre de travaux où sont exposées des propriétés du limaçon et divers modes de l'engendrer. On a aussi inventé des appareils pour décrire mécaniquement cette courbe par un mouvement continu. Le premier de ces appareils, formé par des tiges articulées, a été imaginé par Peaucellier, qui Ta fait connaître en 1873 dans les Nouvelles Annales de Mathématiques ; plus tard Hart a décrit dans les tomes iv et V du Messenger of Mathematics d'autres dispositifs pour le même but.

214e Représentons par a la longueur du diamètre du cercle considéré ci-dessus et par d l'angle AOC. On a OM = a cos MA = MB = /z; et par conséquent l'équation polaire du limaçon de Pascal est

p = a cos + /?., f ^<^<~^

L'équation cartésienne de la même courbe, rapportée aux axes orthogonaux OCX et OY,

est

215* Pour déterminer la forme de la courbe, nous allons considérer trois cas distincts; mais on doit remarquer déjà que, en tous ces cas, la courbe est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

Cas 1 er . Soit h < a. Alors on voit, au moyen de l'équation

p — a cos 6 + h,

que, quand varie depuis jusqu'à 4y, p décroît depuis OA, égal à a-\-h (fig. 44), jusqu'à

OD, égal à li, et le point générateur de la courbe décrit l'arc AMD. En considérant ensuite l'équation

p = a cos d — /z,

on voit que, quand d varie de à arc cos — , p décroît depuis OB, égal à a — h, jusqu'à 0, et le point générateur de la courbe décrit l'arc BRO; et que, quand d varie de arc cos — à — , le vecteur p est négatif et varie de à — h, et le point générateur de la courbe décrit l'arc OQE. Aux valeurs de 6 comprises entre et ~ correspondent des arcs du limaçon

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symétriques de ceux qu'on vient de considérer par rapport à Taxe des abscisses, et par conséquent la courbe a la forme indiquée dans la figure 44. On voit encore, au moyen de l'équation

dy a cos 26 + h cos dx a sin 26 + h sin 6

que les points M et N où la tangente est parallèle à Faxe des abscisses sont déterminés par l'équation

a cos 2 6 + h cos = 0,

et par celle de la courbe, lesquelles donnent, en considérant seulement les solutions auxquelles correspondent des valeurs de 6 comprises entre ~ et ->

cos0 = - . , r

et que les points où la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées sont déterminés par l'équation du limaçon et par cette autre:

a sin 26 + h sin 6 = 0,

qui donne, en considérant seulement, comme ci-dessus, les solutions auxquelles correspondent des valeurs de 6 comprises entre — ~ et ^ ?

sin = 0, cos = — •

Les coordonnées polaires des points A, B, P et Q qui satisfont â cette dernière condition sont donc

(0 — 0, p = o+/i), ( 9 — + arc cos p = ~h

la droite qui passe par P et Q, a pour équation x--= — — et est la hitangente de la courbe. Le point est un point double du limaçon, et les angles des tangentes en ce point avec

l'axe des abscisses sont égaux à + arc cos — •

Cas 2 e . Supposons maintenant h>a. On voit de même que la courbe a alors la forme indiquée dans la figure 45, où OD = li, 0A = a-f7z, OB = /z — a, et où existent deux points

VOL. IV AA

M et N, correspondants aux valeurs de d et p données par les équations

co B g- -* + t 2f+^ , P =|(3/^ÂM^),

où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

Les tangentes à la courbe aux points A et B sont parallèles à l'axe des ordonnées ; et ? si h < 2a ? il existe encore deux autres points P et Q où la tangente est aussi parallèle à cet axe; les coordonnées de ces derniers points sont déterminées par les équations

La courbe a, en outre, un point isolé à l'origine des coordonnées.

Cas 3 e . Si, enfin, h = a, la courbe est nommée cardioïde et a la forme indiquée dans la

Fig. 45

Fig. 46

figure 46, où OA = 2a, et où est un point de rebrous sèment. Les coordonnées des points M et N,

où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, sont (d = + ^, p = ~ h ) ; et les coordonnées

des points P et Q, où la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées, sont [0 = + — , k,

p = — 2~ a )' ® n voit donc que les points P, O et N sont situés sur une même droite, ainsi

que les points Q, O et M.

216. Le rayon de courbure du limaçon est déterminé par la formule

(a 2 + 2ahcos6 + h%f

2a 2 + 3aAcos(9 + 7z 2 '

d'où il résulte que les valeurs de ce rayon aux points A, B et sont, respectivement,

(a + hf (a -h)* ^ A( a 2 À 2)2.

2a 2 + 3a/i + /> s 2a^~3ah+h î 2

Il résulte de la même formule que la courbe a deux points d'inflexion, dont les coordonnées sont déterminées par les équations

fl 2a 2 -f- W 2(a 2 -7i 2 )

quand h est différent de a; que ces points coïncident et forment un point à' ondulation quand h = 2a; et qu'elle n'a pas de point d'inflexion quand h = a.

Il est à remarquer que, pour que l'angle d soit réel, il faut qu'on ait cos#^l, et par conséquent

2a^ + ^-3ah==(a-h^ (a-^-h^O;

par conséquent les points d'inflexion considérés sont réels quand a<hl^2a, et imaginaires dans les autres cas.

217. L'égalité (jig. 43) p = OM + h donne == -Donc, la sous-normale polaire

du limaçon aux points A et B est égale à la sous-normale polaire du cercle OMD au point M. On peut donc construire les normales au limaçon aux points A et B en traçant la droite OD, perpendiculaire à OM, et la droite MC, qui coupe cette perpendiculaire au point D; le point D appartient aux normales cherchées.

21 8. Le limaçon est la podaire du cercle par rapport à un point quelconque de son plan. Pour démontrer ce théorème, dû à Roberval (1. c, p. 47 e 267), prenons ce point pour

origine des coordonnées et considérons un cercle de rayon égal à h ayant le centre au point {a, 0). On a, en représentant par yi) les coordonnées d'un point quelconque de ce cercle,

L'équation de la tangente à ce cercle au point (cci, y{) est

yiy -)- [Xi — a) x = y* + — ax{ = axi + h? 1 — a 2 , et l'équation de la perpendiculaire à cette droite, menée par l'origine des coordonnées, est

(xi — d)y—yix = 0.

En éliminant X[ et yi entre ces équations, on obtient l'équation de la podaire du cercle par rapport à l'origine des coordonnées et on voit que cette équation coïncide avec celle du limaçon écrite au n.° 214.

Si le point donné est à l'intérieur du cercle considéré, on a a<A, et on obtient par conséquent le limaçon à point isolé; si ce point est à l'extérieur du même cercle, on a a>h, et on trouve le limaçon à noeud. La cardioïde correspond au cas où le point donné est situé sur la circonférence.

219. La courbe inverse du limaçon, par rapport au point double 0, est une conique ayant un foyer à 0. Réciproquement, la courbe inverse d'une conique, par rapport à un foyer, est un limaçon ayant le centre d'inversion pour point double.

En effet, l'équation de la courbe inverse du limaçon est

(h 2 — aï) ce 2 + li 2 y 1 -f 2am^x — m 4 = 0,

m représentant le module de la transformation, et coïncide avec l'équation générale des coniques, rapportée à un foyer comme origine des coordonnées et à l'axe focal comme axe des abscisses. Cette conique est une ellipse quand h > a, une hyperbole quand h < a, une parabole quand h = a. Par ce motif le limaçon est appelé elliptique dans le premier cas, hyperbolique dans le deuxième cas.

220. Les asymptotes du limaçon sont imaginaires et peuvent être déterminées aisément par la méthode générale connue. En posant d'abord, pour cela, y = ux dans l'équation de cette courbe et x = go, on trouve lim u = + i; en posant ensuite y = + ix-\- v dans la même équation et x = ce, on trouve la relation

[± 2flimi; — a] 2 = 0,

qui donne pour v deux valeurs égales à ^~ ai et deux autres égales à —ai. Donc, le lima-

çon a deux asymptotes coïncidant avec la droite représentée par l'équation y = i (œ ^r^)?

et deux autres coïncidant avec la droite représentée par l'équation y = — i(x i- a

Chacune de ces droites est tangente à l'infini à deux branches imaginaires de la courbe, et par conséquent le limaçon a deux points de rebrous sèment imaginaires à l'infini.

22t«, Le limaçon de Pascal est une quartique unicursale,' puisqu'il a trois points doubles; ses coordonnées x et y peuvent donc être représentées par des fonctions rationnelles d'un paramètre variable. Pour obtenir ces fonctions, remarquons d'abord que l'équation (1), où 6 varie de —a —, peut être remplacée par celle-ci :

p = a cos + h 7

où le deuxième terme est précédé d'un seul signe, à condition de faire varier 6 de à 2x.

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Cela posé, faisons tang ^-0 = t, et par suite

Sffiô= TT?' cose =T+^ ;

on trouve

Ces formules ont été employées par Gr. Pittarelli pour étudier le limaçon dans un travail intitulé : Li lumache di Pascal, publié dans le Giornale di Matematiche (Napoli, t. xxi, 1883^ p. 145 et 173). Nous nous bornerons ici à en déduire l'équation tangentielle de la courbe.

En partant de l'égalité

dy h cos d -\- a cos 20

dx h sin 4- a sin 20

on trouve que l'équation de la tangente au limaçon est

(h cos + a cos 20) X + (h sin + a sin 2 0) Y = (h + a cos Of, ou, en substituant à sin et cos # leurs valeurs en fonction de t,

[h + a — Gafi - (h — a)t i ]X + 2[h + 2a+(h - 2a) fi] tY=\h + a + (h — a) fif. Or, en comparant cette équation à cette autre:

uX -t-i;Y+l=0,

il vient

h + a — 6afi-(h-a) £ 4 ^ h + 2a + (h — 2a) fi

U ~ [h + a + (Ji — a) fif ' V ~~~ [h + a + {h — à) t*]**'

et ensuite, en éliminant t entre ces dernières équations, on trouve l'équation tangentielle du limaçon (Pittarelli, 1. c, p. 155), savoir:

où

222. On peut déterminer aisément les foyers du limaçon au moyen de cette équation, en appliquant une méthode bien connue, employée déjà au n.° 195 pour déterminer les foyers des lemniscates. Mais nous allons chercher ces points par une procédé plus simple, qu'on va voir.

Considérons la droite représentée par l'équation

y = ix -j- k

et cherchons les valeurs que k doit prendre pour que cette droite soit tangente au limaçon. En éliminant pour cela y entre cette équation et celle de la courbe, on obtient celle-ci :

(2ki - af x* + 2k [(2ki — a)k- h?i] x + k* (lê — A 2 ) = 0,

qui détermine les abscisses des points d'intersection des deux lignes considérées. On voit donc que ces points coïncident lorsque k satisfait à la condition

k* [(2ki -a)k- hHf - (2ki - a)* (k 2 — A*) W = 0,

k*(a 2 -k 2 — 2aki) = 0,

c'est-à-dire quand

À la première de ces relations correspond une droite passant par le point double de la courbe, mais qui ne lui est pas tangente; à la deuxième solution correspond la tangente représentée par l'équation

hï-a r

De même, il n'existe qu'une tangente dont le coefficient angulaire soit égal à — i et elle est représentée par l'équation

.r , a 2 -an

On voit donc que limaçon de Pascal a un seul foyer ordinaire, dont les coordonnées sont

Nous ajouterons à ce qui précède que les asymptotes de la courbe, dont les équations ont

été obtenues au n.° 220, déterminent par leur intersection un foyer singulier ayant pour coor-

données \-^- a,

223. Les distances p et p' des points du limaçon à l'origine des coordonnées et au foyer ordinaire sont liées par la relation linéaire

qu'on vérifie aisément, en substituant à p et p' les valeurs respectives

et qui peut être déduite de l'équation bipolaire de la conique inverse (n.° 219) par la méthode employée au n.° 29 dans une question analogue.

Il résulte de la relation qu'on vient d'écrire et de l'équation de la courbe considérée, mise sous la forme

^ 2 + y % — clx= Ap,

que les distances p et p' du point double et du foyer du limaçon au point (x, y) de cette courbe sont des fonctions rationnelles des coordonnées de ce point.

224. L'équation polaire du limaçon, rapportée au foyer ordinaire comme origine, peut être obtenue aisément en éliminant x et p entre les équations

a^ — li^

^ — ax = hp, x = — ^~ — + p / cosa>, 2/zp -f- 2aç' = 7z 2 — a 2 ,

(p', a)) représentant les nouvelles coordonnées des points de la courbe. On arrive ainsi à l'équation

a 2 p' 2 + a (a 2 - W cos a>) p' + (A 2 - a 2 ) 2 = 0,

dont les racines pi et pg vérifient les conditions

Pi + pâ = — — (« 2 — A* COS 03), pi p2 = ^

Nous pouvons donc énoncer les théorèmes suivants :

1.° Le lieu géométrique des milieux des cordes résultant de V intersection du limaçon avec les

droites passant par le foyer ordinaire est un autre limaçon, représenté par l'équation

g = — cos a) — a.

2.° Le limaçon est une courbe anallagmatique par rapport au foyer ordinaire.

225. Le lieu des points d'où Von peut mener à un limaçon quatre tangentes telles que les vecteurs des points de contact forment avec Vaxe de la courbe des angles dont la somme soit constante, à multiples de 2% près, est une droite.

En effet, les valeurs que t prend aux points de contact des tangentes passant par un point (a, P) sont données par l'équation (n.° 221)

[(a h) a ~ (a — hf] t* + 2 {h— 2a) fit? - 2 [Saa + W- a 2 ] fi

+ 2 (h + 2 a ) \U + (h + a) a - (h + af = 0,

d'où il résulte, en représentant par fy, fe, £3 et t% les racines de cette équation, y 2(A — 2a)P 2[3flcc + ft* — a*]

2(A + 2a)p ( fe + a ) a ^( ft + a) a

et ensuite, en représentant par 61, 02, 63 et 04 les valeurs que prend aux points de contact des tangentes considérées et en tenant compte de l'égalité £ = tang — 0,

tang — (0i -f 2 + 03 + 64) = TT * * * * wT == ô —

Donc, la condition pour que la somme 01 + 02 + 03 + 04 soit constante, c'est que (a, (3) soit un point de la droite représentée par l'équation

2wp + 2a = a,

où m représente une constante arbitraire. Cette droite passe par le point 0^ , c'est-à-dire

par le centre du cercle considéré au n.° 213, et, comme son équation ne dépend pas de A, elle est constante pour toutes les conchoïdes du même cercle. En outre, comme, quand h se réduit à zéro, le limaçon se réduit à deux cercles coïncidant avec celui dont il est la conchoïde (fig. 43), on conclut que, si par un point (a, [3) on mène quatre tangentes au limaçon et deux tangentes au cercle considéré, on a