GO* + W
0)1 et tes représentant les angles que forment avec OX les vecteurs des points de contact de ces dernières droites avec le cercle, le pôle étant le point 0.
Nous croyons que les théorèmes qu'on vient de démontrer sont nouveaux.
226» Le lieu des intersections des tangentes au limaçon aux points où il est coupé par chacune des droites passant par le point double G est une cissoide crunodale droite si a > li ? une cissoide acnodale droite quand a<.h (n.° 24), un cercle si h = a.
En effet, comme les valeurs que prend aux deux extrémités d'une corde passant par O sont 0{ et fri+n, les équations des tangentes à ces points sont (n.° 221)
(a cos 20i + h cos 0i) X + (a sin 20i + h sin 0i) Y = (h + a cos 0i) 2 , (a cos 26 1 — h cos 0i) X + (a sin 20i — h sin 0i) Y = (h — a cos 0i) 2 ,
ou
aX cos 20i -f aY sin 20i = W + « 2 cos 2 0i , X cos 0i + Y sin 0i = 2a cos 0i .
En éliminant 0i entre ces équations, on obtient l'équation suivante :
aX (X 2 + Y 2 ) + (A 2 - 4a 2 ) X 2 + (h? - 3a 2 ) Y 2 + 4a (a 2 - /z 2 ) X + 4a 2 W = 0,
qui représente le lieu cherché. En transportant l'origine au point (2a, 0), cette équation prend la forme
aXi (X? + Y?) + ( 2a" + h") X? + (/z 2 - a 2 ) Yî = 0,
d'où résulte le théorème énoncé.
Si h = a, cette équation se réduit à celle de la tangente au limaçon dans le sommet et à un cercle. Mais cette droite ne satisfait pas évidemment à la question, ce qui n'implique pas contradiction avec le calcul précédent, puisque ce calcul n'a pas lieu quand 0i = 0.
227. Le limaçon de Pascal (1) peut être engendré par un point du plan d'un cercle de
rayon égal à — - a, auquel il soit lié invariablement, quand ce cercle roule sur un autre cercle
fixe de rayon égal à celui du premier, c'est-à-dire sur le cercle considéré au n.° 213. Si le point est à l'extérieur du cercle mobile, on obtient le limaçon à noeud (fig. 44); quand il en est à l'intérieur, on obtient le limaçon à point isolé (fig. 45) , quand il est situé sur la circonférence, on obtient la cardioïde (fig. 46). Le limaçon appartient donc à la classe de courbes nommées épicycloïdes ? qui seront étudiées dans un autre chapitre, où sera donnée la démonstration de cette proposition.
228. La longueur des arcs du limaçon dépend d'une intégrale elliptique de deuxième
VOL. IV BB
espèce, quand h^>a on h<^a. On a, en effet,
ou, en posant -i# = f,
Il résulte de la formule qu'on vient d'écrire qu'à chaque propriété des arcs de l'ellipse correspond une propriété analogue des arcs du limaçon. Nous allons chercher celle qui correspond au théorème de Fagnano.
Faisons
# = — f Vl-A* sin'cptfcp==E(k cp).
On a
t- /7 \ i -m /7 i\ ■ A 71 \ & 2 sincpcoscp & 2 sin# E(Jfe, <?) + E(fc, <|0-E (fc, -g -
quand les angles cp et cj; sont liés par la relation
cos cp cos cj> = sin cp sin cj; —
Considérons maintenant deux points m et m' (jig. 45) du limaçon, correspondants à deux amplitudes cp et ^ qui vérifient cette relation. On a
arc Am = 2 (a + A) E (A, cp), arc Am' = 2 (a + A) E (4, <j>),
arcAB = 2(a + A)E(ft, ~
Mais, d'un autre côté, en représentant par V l'angle formé par le vecteur du point m avec la tangente à la courbe en ce point, nous avons
~ry dd a cos 6 + h
tang Y = p -=~ = — „ . — ;
k ap a sm v
et par suite
a sin
cos V =
(a + A)^ sin 2 y
Il vient donc
■E(k, ç) + E(ft, 4>)-E'(ft, |) = ^|±^cosV,
et par suite
arc Am + arc Am' — arc AB = arc Am — arc Bm / = — cos V = ih cos V.
Donc, pour construire la différence des longueurs des arcs Am et Bm ; , il suffit de prendre sur le vecteur du point m un segment de longueur égale à 4/z, et de projeter ensuite ce segment sur la tangente à la courbe en ce point.
229. L'aire balayée par le vecteur d'un point du limaçon, quand la valeur correspondante de 6 varie depuis jusqu'à 0i, est exprimée par la formule
La valeur de l'aire limitée par la courbe est donc égale à ^-{--^-a^j%. Ce résultat fut
trouvé pour la première fois par Roberval (1. c, p. 265), au moyen de la méthode des indivisibles.
230. L'inventeur du limaçon a utilisé cette courbe pour résoudre le problème de la trisection de l'angle, d'après rapport de Roberval (1. c, p. 48). On peut, en effet, faire cela au moyen du limaçon particulier représenté par l'équation
p = A(2cos0 + l),
comme on va le voir.
Soit a l'angle donné, que nous pouvons supposer inférieur à ■ . Menons par B une droite
formant avec OA un angle égal à a et représentons par K le point on elle coupe l'arc OMA du limaçon (fig. 44) et par (0, p) les coordonnées de ce point. Traçons ensuite la droite OK et considérons le triangle OKB. On a d'abord
„™ hy Iiserid sen0 1 .
et, par conséquent, OKB = -i et ensuite
a = KOB + OKB = -| 6.
Donc OKB est l'angle cherché
231. Le limaçon qu'on vient de considérer jouit encore d'une autre propriété remarquable, qu'on va voir,
Comme l'équation des tangentes au limaçon représenté par l'équation (1), à son point double, est
ces droites coupent la courbe aux points où Ton a
D'un autre côté, la tangente à la même courbe au point B (fig. 44) est x=a — h et coupe, par conséquent, la courbe aux points où l'on a
y% = 2ah — h?.
La condition pour que ces derniers points coïncident avec les poins précédents est donc
Or, les valeurs de — déterminées par cette équation sont égales à |Vl7 —
et j-( i/17 + 1 ) . Les points correspondants à la première et à la deuxième de ces valeurs
sont réels, et nous avons donc le théorème suivant:
Quand a = 2h et quand 4Ji = a (j/l7 — 1), les tangentes au jooint double et au sommet B du limaçon forment un triangle en même temjps inscrit et circonscrit à cette courbe.
Avec ce résultat on aborde le problème qui a pour but de chercher la condition pour qu'un polygone d'un nombre de côtés donné puisse être inscrit et circonscrit en même temps au limaçon, problème analogue à celui de Poncelet sur les polygones inscrits à une conique et circonscrits à une autre. Nous ne nous arrêterons pas à l'étude de cette question intéressante, sur laquelle on peut consulter un travail de M. F. Morley inséré aux Proceedings of ihe London mathematical Society (t. xxix, p, 83), où sont considérés, en particulier, les polygones de 5, 6, 7, 8 et 10 côtés, et où Ton démontre que la condition correspondante au polygone de six côtés est encore a = 2h.
La cardioïde.
232. Nous avons déjà dit au n.° 215 qu'on donne le nom de cardioïde, proposé par Castiilon (Phylosophical Transactions of the London Royal Society, 1741), au limaçon de Pascal représenté par l'équation
p = a-f-acos$, (0^6 ^2%).
Nous avons dit aussi que la courbe a la forme indiquée dans la figure 46 ; qu'elle est la jpodaire de la parabole par rapport au foyer ; et qu'elle est inverse du cercle par rapport à un point .de sa circonférence. Nous avons dit encore que la même courbe est une épicycloïde engendrée par un point d'une circonférence roulant sur une autre de rayon égal. La cardoïde, considérée comme courbe cycloïdale ? fut l'objet d'un article du Dictionnaire mathématique de Ozanan, publié en 1691, et d'un travail de Gr. Carré, inséré en 1705 aux Mémoires de V Académie des Sciences de Paris. Mais, avant la publication de ces écrits, cette courbe avait été déjà étudiée, sous le nom de cycloïde circulaire, par Vaumesle, qui s'était occupé de sa rectification et de sa quadrature et qu'en avait trouvé la développée, comme on voit par une lettre qu'il a adressée à Huygens en 29 octobre 1678 {Oeuvres de Huygens, t. vin, p. 117. La coïncidence de cette épicycloïde avec un cas particulier du limaçon fut remarquée par La Hire en 1708 dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris.
Les nombreuses propriétés de la cardioïde ont été, dès lors jusqu'à présent, l'objet de plusieurs travaux, dont quelques-uns sont mentionnés ci-dessous ; un grand nombre de ces propriétés ont été réunies par M. Archibald dans une Dissertation publiée en 1900 sous ce titre: The cardioïde and s orne of its related curves.
233. Faisons dans les formules données au n.° 221, h = a. On obtient, pour déterminer les coordonnées x et y en fonction du paramètre t, les formules
2a(l — &) 4at
d'où il résulte que l'équation de la tangente à la cardioïde est
(1 - 3 fi) X + t(3-fi)Y = 2a; et on voit que l'équation tangentielle de cette courbe est
27a 2 (u% + 2 (au + 2)3 = 0,
qu'elle un foyer singulier, dont les coordonnées sont a, 0^ , et qu'elle n'a pas de foyers ordinaires.
234* Les quatre points d'intersection de la droite ayant pour équation
ux 4- vy -f- 1 = avec la cardioïde sont déterminés par l'équation
* 4 + 2 (1 — au) * 2 + 4avt + 2au + 1=0,
qui résulte de substituer dans l'équation de la droite à x et y leurs valeurs en fonction de t.
D'un autre côté, les valeurs que t prend aux points de contact des tangentes à la courbe, menées du point (a, p), sont déterminées par l'équation
(1) ^^fiSt+^j^-^O,
qui résulte de substituer dans l'équation de la tangente a et p à X et Y.
Divisons maintenant les premiers membres de ces équations l'un par l'autre et représentons par Q le quotient et par R le reste de cette division. On trouve
R = l^~2au + 9^)tz + \^av-8j-j)t + 2au + ) + ^ } - .
Les conditions pour que les points de contact des tangentes à la courbe menées du point (a, P) soient situés sur une même droite, sont donc celles-ci:
(5 - 2au) p 2 + 9a 2 = 0, 2a$v - 4a — a = 0, p 2 (2au + 1) + 3« (2a — a) = 0.
Les deux premières équations déterminent les paramètres u et v de la droite ; la troisième, en éliminant u au moyen de la première, se transforme dans l'équation suivante :
p 2 + a 2 +aa = 0, .
qui, en considérant a et p comme variables, représente un cercle de rayon égal à -^-a, ayant le centre au point ^ — ^"O, ^ ous avons donc le théorème suivant:
C'est condition nécessaire et suffisante pour que les points de contact des trois tangentes menées à la cardioïde d'un point de son plan soient placés sur une même droite, que ce point soit situé sur le cercle de rayon égal à a ayant le centre au point ^ ^-a, oj. Ce cercle passe par
les points (fig, 46) 0, P et Q (Lachlan: Educational Times Beprint, t. lviii, 1893, p. 42). Le quatrième point d'intersection de cette dernière droite avec la courbe est déterminé
par l'équation Q = 0, qui donne t = 3 •
235. En représentant par £i, h et £3 les valeurs que t prend aux points de contact des tangentes menées du point (a, |B) à la cardioïde, on déduit de l'équation (1) les relations
(2) ^1 + ^ + ^3 = — 3-^-, hh + tih + hh = -3, h hh = ^^~ ,
d'où résultent quelques conséquences remarquables, qu'on va voir.
l.° Puisque £ = tang-^-0, la condition pour que les bisectrices des angles formés avec
l'axe de la courbe par les droites passant par le point de rebroussement et par les points de contact de deux des tangentes considérées soient perpendiculaires l'une à l'autre, est t{ t% = — 1 ; et on a alors
En substituant maintenant dans la deuxième des équations (2) à tifa, e t h ces
valeurs, on trouve
Donc, les points du plan d'une cardioïde tels que les points de contact de deux des tangentes menées de chacun de ces points à la courbe soient places sur une droite passant par le point de
rebroussement 0, coïncident avec les points de la circonférence de rayon égal à -g- a ayant le centre au point a,
Les tangentes à la courbe considérée aux extrémités d'une corde quelconque passant par forment avec cette corde des angles toi et m déterminés par les équations
l-fcos# 1 — costf
tangos == — .- - a — , tangwa = — « — ?
smtf sm 6
d'où il résulte la relation 0)2 = on i-?r- Nous pouvons ajouter par suite au théorème précédent celui-ci, qui le complète :
Les tangentes à la cardioïde aux extrémités d'une corde quelconque passant par le point de rebrous sèment sont perpendiculaires Vune à Vautre.
236» Ces deux théorèmes ont été donnés par Wolstenholme dans le tome IV des Proceedings of the London mathematical Society ; le premier avait été déjà démontré au n.° 226. Nous en allons maintenant indiquer trois autres qui n'ont pas encore été remarqués, croyons-nous.
1. ° Le lieu du point d'où Von peut mener à une cardioïde deux tangentes telles que les points de contact soient placés symétriquement par rapport à la droite OY (fig. 46), est une hyperbole équilatére.
En effet, en éliminant £i, h et t$ entre les équations (2) et l'équation ^^==1, on trouve
2(^-a^ + baa = 2aK
On voit encore aisément que les angles aigus formés par les tangentes qu'on vient de considérer avec les vecteurs des points de contact sont complémentaires.
2. ° Le lieu du point (a, [3) d'où l'on peut mener à une cardioïde deux tangentes telles que la bisectrice de l'angle formé par les droites passant par le point de rebroussement et par chacun des points de contact soit constante, est une hyperbole équilatére.
En effet, en éliminant t\, h et £3 entre les équations (2) et l'équation
