Toute cartésienne unicursale est un limaçon de Pascal

En effet, en posant dans l'équation (12) A = A' et m 2 = 0, et en prenant la droite représentée par l'équation Qx-\-Cy = pour axe des ordonnées, on obtient l'équation du limaçon (n.° 214).

3. ° C'est condition nécessaire et suffisante pour que deux ou trois racines de V équation (9) soient égales, que la quartique considérée ait, respectivement , un noeud ou un point de rebroussement à distance finie.

Pour démontrer cette proposition, remarquons d'abord que la condition pour que l'équation (9) ait des racines égales est

et qu'elle coïncide donc (n.° 257) avec celle qui exprime que le rayon m du cercle directeur correspondant à cette racine est nul.

Remarquons ensuite que les conditions qui expriment que la même équation (9) a trois racines égales sont celle qui précède et celle-ci :

et que, d'un autre côté, la condition pour que la courbe représentée par l'équation (12) ait un point de rebroussement à l'origine des coordonnées résulte de la relation

d*u \ 2 dho d^u

bx ! vy' ) ~~~bW'

en remplaçant u par le premier membre de (12) et en faisant ensuite x' — O et y 1 = 0, et que cette condition coïncide avec l'équaion (13).

260* En passant maintenant à la détermination des foyers des quartiques bicirculaires,

nous remarquerons d'abord que leur nombre peut être déterminé d'avance par la méthode

employée au n.° 85 pour obtenir celui des foyers des cubiques circulaires.

1 Vi

En posant pour cela dans l'équation (5) x = — y = , on obtient une nouvelle équation

qui représente une courbe de la même classe que la première ayant deux points doubles, dont les coordonnées sont (0, correspondants à ceux que la courbe donnée a à l'infini. Mais,

en vertu d'un théorème générai énoncé au n.° 85, on peut mener à la nouvelle courbe par chacun des points (0, + i) n — 2 tangentes, n représentant la classe de cette courbe. Donc,

la courbe définie par l'équation (5) possède n — 2 tangentes de coefficient angulaire i et un nombre égal de tangentes de coefficient angulaire — i.

Cela posé, si la quartique (5) a deux noeuds à l'infini, on voit au moyen de la formule de Pliicker employée au n.° 85 que la courbe est de 8. e classe et que le nombre des tangentes dont le coefficient angulaire est i est pourtant égal à 6; deux de ces tangentes coïncident avec deux asymptotes et les autres quatre ont les points de contact à distance finie. De même, le nombre des tangentes de coefficient angulaire — i ayant le point de contact à distance finie est égal à 4. Ces deux faisceaux de tangentes déterminent par leurs intersections 16 points, qui sont les foyers ordinaires de la courbe.

Si la quartique considérée a deux points de rehaussement à l'infini, elle est de 6. e classe, et par chaque point circulaire de l'infini passent alors 4 tangentes, dont une coïncide avec l'asymptote qui passe par le point considéré. Le nombre des foyers ordinaires de la courbe est donc alors égal à 9.

Nous avons donc le théorème suivant: Si une quartique bicirculaire non unicursale a deux noeuds à l 'infini, elle possède 16 foyers ordinaires, dont 4 sont réels; si elle a deux points de rebrous sèment à Vinfini, le nombre des foyers ordinaires est égal à 9, dont 3 sont réels.

On voit aisément que, si la quartique considérée est unicursale, cette courbe possède quatre foyers ordinaires, si elle a trois noeuds; un seul foyer ordinaire, si elle a un noeud et deux points de rehaussement, ou deux noeuds et un point de rebrous sèment ; et enfin que cette courbe na pas de foyers ordinaires, quand elle possède trois points de -rebroussement.

La quartique bicirculaire (5) possède, en outre, deux foyers singuliers réels aux points d'intersection des asymptotes conjuguées. Comme l'équation des asymptotes de cette courbe est

y = ±ix±\/A — A f ,

les coordonnées de ces foyers sont

fic = 0, # = ±t/À — A',

si A>À ; ; ou

quand A' > A.

Donc, les foyers singuliers coïncident avec les foyers des coniques (7) (Casey: 1. c). Si l'équation (5) représente une cartésienne, on a A = A', et les deux foyers coïncident avec le centre des cercles (7).

261. Tous les foyers ordinaires de la quartique considérée doivent être situés sur les coniques représentées par l'équation (7), puisque ces points sont les centres de cercles bitangents de rayon nul.

Mais, d'un autre côté, si (a, b) sont les coordonnées d'un foyer, il doit exister un système

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de valeurs de ce et [3 telles qu'on ait

œî+ ya 2 aa .2py-^-- S7 ^ r + 2A = ( aJ -o)» + (y-ft)«, et par conséquent

Nous avons donc le théorème suivant, dû à Hart (Salmon: Courbes planes, p. 342):

Si la quartique bicirculaire (5) n'a pas de point double à distance finie, les points d'intersection de chacune des coniques représentées par V équation (7) avec le cercle directeur corresjpondant à la même valeur de h sont des foyers ordinaires de la quartique.

On obtient au moyen de ce théorème tous les foyers ordinaires de la quartique considérée, si C et G' sont différents de zéro e si A est différent de A'.

Si l'on a C = 0, c'est-à-dire si la courbe est symétrique par rapport à l'axe des abscisses, cet axe est le lieu des centres d'une série de cercles bitangents, et la quartique y peut donc avoir des foyers ordinaires. On détermine les abscisses a de ces points au moyen de l'équation suivante, qu'on obtient en exprimant que la droite y = i (x — a) coupe la quartique (5) en deux points coïncidents :

(14) (A A') a* + 4Ca 3 + 4 (AA ; + D) a 2 + 8A'Ca + 4 (C 2 — A + A') = 0.

De même, si C = 0, on obtient les ordonnées b des foyers de la quartique situés sur l'axe des y au moyen de l'équation qui résulte de celle qu'on vient d'obtenir en remplaçant a par b, C par C, A par A' et A ; par A.

Si A = A' ? c'est-à-dire si l'équation (5) représente une cartésienne, on peut réduire cette équation à la forme (5 ; ) au moyen d'un changement de direction des axes des coordonnées, et appliquer ensuite l'équation (14), en y faisant d'abord A = A', pour déterminer les trois foyers situés sur l'axe qu'alors la courbe possède.

La méthode pour déterminer les foyers ordinaires des quartiques bicirculaires qu'on vient d'indiquer, est applicable au cas ou la courbe a un point double à distance finie; mais alors elle détermine non seulement les foyers proprement dits, mais encore les points où les droites qui passent par le point double et par chacun des points circulaires de l'infini coupent les tangentes issues de ces derniers points.

262. Revenons maintenant au cas où l'équation (5) représente une cartésienne, et supposons qu'on ait réduit cette équation à la forme (5 ; ) par un changement de la direction des axes. Comme on a alors A = A' et C ! = 0, l'équation (9) prend la forme

(£ 2 + D) (A + A)-CÎ*=0,

et aux ses trois racines correspondent six foyers ordinaires, déterminés par l'intersection des cercles (7) avec les cercles directeurs correspondants. Les autres foyers ordinaires sont placés sur l'axe de la courbe, et on a obtenu précédemment l'équation qui détermine leurs abscisses ; mais nous allons retrouver cette équation par une autre voie. Mettons l'équation de la courbe sous la forme

où

V = ^ + ^2A, U = 4(2Ci^ + A 2 + D), et remarquons que la courbe considérée est l'enveloppe des cercles représentés par l'équation

t étant le paramètre arbitraire, et que les centres de ces cercles sont situés sur l'axe des abscisses. La condition pour que le point {a, 0) soit le centre d'un cercle bitangent de rayon nul, situé sur cet axe, c'est donc qu'il existe une valeur de t telle qu'on ait

4*2 2\t + U = B [(»- af + y%

et par suite

B = -2t, Ci = — Bc h 4 (t* + At) + A^ + B = Ba*.

En éliminant maintenant B et £ entre ces équations, on obtient celle-ci:

Cia 3 + (A 2 + D) a 2 + 2AC 4 a + CÎ = 0,

qui est d'accord avec l'équation (14), et dont il résulte que trois des foyers ordinaires d'une cartésienne quelconque sont situés sur son axe.

Un des foyers détérminés par l'équation précédente est nécessairement réel, les autres peuvent être réels ou imaginaires. Dans le cas où ils sont réels, on a, en représentant par ai et a± deux racines de la dernière équation et par t{ et t% les valeurs correspondantes de tj

4*a 2Vti + U = - 2*i p 2 , 4*| - 2Vh + U = — 2t% p 2 ,

pi et p2 représentant les distances des points de la courbe aux foyers (ai, 5i), («2, ~b%) ; et par suite

4il 4 k l/ Û + U = — 2t { pî, 4| - 4h \/ U + U = - 2h pi,

2t { - /Û = 1/- 2*i . pi , 2*2 - |/Û = s/— 2h. p 2 ,

ou, en éliminant vAj,

X] pi + ^2 p2 =^3,

Xi, et X3 représentant trois constantes. Donc 5 les cartésiennes qui ont trois foyers réels sur Vaxe coïncident avec les ovales de Descartes.

Les cartésiennes qui ont deux foyers imaginaires sur Taxe furent l'objet d'un travail spécial de Cayley (Mathematical Papers, t. VII, p. 241).

24I3. On voit aisément, en appliquant la transformation par rayons vecteurs réciproques à l'équation général des coniques, que la courbe inverse d'une conique par rapport à un point de son plan non situé sur la courbe est une quartique bicirculaire unicursale, et que le point double réel de cette quartique coïncide avec le centre d'inversion. Si le centre d'inversion coïncide avec le foyer de la conique, la courbe inverse est (n.° 219) le limaçon de Pascal.

On voit aussi aisément (n.° 77) que la courbe inverse d'une cubique circulaire est une quartique bicirculaire, quand le centre d'inversion n'est pas situé sur la cubique, et qu'alors l'asymptote réelle de cette cubique est parallèle à la tangente à la quartique au centre d'inversion. Si ce centre coïncide avec un foyer ordinaire de la cubique, ce foyer doit disparaître, et la transformée est alors une cartésienne.

Réciproquement, on voit, en appliquant l'inversion à l'équation (4), que, si Fi est différent de zéro, c'est à-dire si le centre d'inversion n'est pas sur la courbe, la courbe inverse de la quartique déterminée par cette équation est une autre quartique bicirculaire ; on voit aussi, en faisant Fj = 0, que la courbe inverse d'une quartique bicirculaire par rapport à l'un de ses points est une cubique circulaire; on voit enfin, en faisant Cj = etDi = 0, que la courbe inverse d'une quartique bicirculaire unicursale par rapport au point double situé à distance finie est une ellipse, quand le centre d'inversion en est un point isolé, une hyperbole, quand il en est un noeud, une parabole, quand il en est un point de rebrous sèment. Si la courbe (4) a deux noeuds à l'infini et le centre d'inversion coïncide avec un foyer réel de cette quartique, ce foyer disparaît, et la transformée est une cartésienne.

Parmi les conséquences des théorèmes précédents on doit remarquer celles-ci:

1. ° Si une quartique bicirculaire possède trois foyers réels sur la circonférence d'un même cercle directeur, les distances des points de la courbe à trois quelconques de ces foyers sont liées par une relation linéaire homogène.

En effet, la courbe inverse de la quartique par rapport à l'un de ses points est une cubique circulaire ayant (n. os 27 et 28) aussi quatre foyers réels sur la circonférence d'un cercle inverse de celui-là. On peut donc déduire ce théorème de celui qu'on a démontré au n.° 90 par la méthode employée au n.° 29 dans une question analogue.

Il résulte de ce théorème que les courbes étudiées au n.° 251 sont les seules quartiques bicirculaires qui jouissent de la propriété de posséder quatre foyers sur une même circonférence.

2. ° Si une quartique bicirculaire unicursale a deux foyers réels, les distances des points de la courbe à ces foyers et au point double sont liées par une relation linéaire homogène.

On déduit ce théorème de l'équation bipolaire de l'ellipse et de l'hyperbole, en procédant comme au n.° 29.

264. Les droites bitang entes aux quartiques bicirculaires peuvent être déterminées aisément au moyen des théorèmes démontrés au n.° 255, en considérant ces droites comme cercles bitangents ayant le centre à l'infini. Pour cela, remarquons que l'équation (7) donne

et que l'équation (10) se réduit alors à celle-ci :

qui représente les bitangentes cherchées.

On conclut de cette équation et des relations (D) que par le centre de chaque cercle directeur passent deux droites bitangentes à la quartique considérée»

La méthode précédente ne détermine pas toutes les bitangentes à la quartique donnée quand on a C = 0, C = ou A = A'. Dans ces cas il faut encore considérer les séries des cercles bitangents qui ont, respectivement, leurs centres sur l'axe des abscisses, sur l'axe des ordonnées ou sur la droite C f x = Cy, pour déterminer les droites vers lesquelles ils tendent quand le centre tend vers l'infini. Ces droites doivent donc être perpendiculaires, respectivement, à l'axe des abscisses, à l'axe des ordonnées ou à la droite C f x = Cy. On peut déterminer celles qui satisfont à la première condition, en exprimant que la droite x = k coupe la courbe (5) en deux couples de points coïncidents, d'où résulte l'équation

qui donne deux valeurs pour k, auxquelles correspondent deux bitangentes.

De même, en posant y = k, on obtient les équations qui déterminent les valeurs de k dont dépend la position des bitangentes perpendiculaires à l'axe des ordonnées.

Le cas où A = A / , c'est-à-dire le cas où la courbe considérée est une cartésienne, peut être réduit â ceux qui précèdent par une transformation des axes des coordonnées (n.° 254).

265. Nous allons chercher maintenant les coniques tangentes à la quartique bicirculaire représentée par l'équation (5) en quatre points et passant par un point donné. Remarquons, pour cela, que la conique définie par l'équation

Aix* + Bixy + Ci?/ 2 + Dix + E 4 y + Fi =

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coupe la quartique considérée (5) en huit points par lesquels passe la quartique représentée par l'équation

(ajï + iff - 4 (Arc 2 + A'y 2 + 2Gx+2 C'y + D) - (A 4 sc 2 + Bixy + Cnf + ». . ) - 0,

et que la même quartique (5) et la conique sont tangentes en quatre points, lorsque cette dernière équation se réduit à celle de deux cercles coïncidents, c'est-à-dire quand on peut déterminer a, [3 et h de manière que l'équation

(œ 2 + f- 2ax — 2[iy + 2lif = soit identique à celle qui précède. On trouve ainsi les conditions

a = 0, p = 0, 4A + A d =-4/? ? 4A' + Ci= — 4A, Bi = 0, 80 + Di = 0, 80' + Ei - 0, 4D + Fj = - 4/z 2 .

Donc, les coniques tangentes à la quartique (5) en quatre points sont représentées par l'équation

(15) h (rc 2 + y*) + Arc 2 + Ay + 2Cx + 2G'y + D + W = 0,

où h représente une quantité arbitraire; les quatre 'points de contact de cette conique avec la quartique sont situés sur le cercle ayant pour équation

x z + 2/ 2 + 2ft = 0.

Les coordonnées des centres des coniques considérées sont de ces centres est donc l'hyperbole représentée par l'équation

(16) (A - A 7 ) xy + Gy - C'a = 0,

laquelle passe par les centres des cercles directeurs (n.° 257) et par le point qu'on a pris pour origine des coordonnées.

Si l'on donne un point par lequel la conique doit passer, on obtient au moyen de l'équation (15) deux valeurs correspondantes pour h] donc, par chaque point du plan passent deux coniques tangentes à la quartique (5) en quatre points

L'équation des normales aux coniques (15) est

; le lieu

en y faisant X = et Y = 0, on obtient une relation entre rc et y, qui coïncide avec l'équation VOL. IV GGr

de l'hyperbole considérée ci-dessus. Donc, le lieu des pieds des normales aux coniques inscrites dans la quartique (5) est l'hyperbole (16).

Comme conséquence de cette doctrine on peut retrouver l'équation des 1 droites bitangentes à la quartique. Il suffit, pour cela, d'exprimer que l'équation (15) représente deux droites.

266. La podaire d'une ellipse ou d'une hyperbole par rapport à un point quelconque est une quartique bicirculaire unie ur sale ; réciproquement, toute quartique bicirculaire unicursale est la podaire d'une ellipse ou d'une hyperbole.

En effet, en prenant pour origine des coordonnées le point donné et en représentant par ( — m, — n) les coordonnées du centre de la conique considérée, on peut mettre son équation sous la forme

(x + mf (y -j- ^ .

A d ^ Ci

et, en procédant comme au n.° 30, on trouve que l'équation de sa podaire est

(œ 2 + y 2 + mx + nyf = Aix^ + Ciy^

et que, par conséquent, cette podaire est une quartique bicirculaire unicursaîe dont le point double réel coïncide avec le point donné 0. Tl est géométriquement évident que cette quartique a à un noeud, quand le point est situé dans la région du plan extérieure à la conique, un rebrous sèment, quand il est situé sur la conique, un point isolé, quand il est situé à l'intérieur de l'ellipse ou d'une des branches de l'hyperbole.

Réciproquement, comme, d'après la formule (12), l'équation des quartiques bicirculaires unicursales peut être réduite à la forme précédente, on conclut qu'à chacune de ces quartiques correspond une conique dont elle est la podaire.

267. On peut construire au moyen du théorème qu'on vient de démontrer les quartiques bicirculaires unicursales; mais il est en générale préférable d'employer dans ce but une méthode plus facile qui découle du théorème suivant, que nous avons donné dans un travail inséré aux Annali di Matematica (Milan, série 3% t. XI, p. 18) :

Toute quartique bicirculaire unicursaîe est, et de quatre manières différentes, la cissoïdale de deux cercles réels ou imaginaires far rapport à un point placé sur la circonférence de l'an de ces cercles.

Prenons deux cercles C et C et sur la circonférence du premier un point 0. Menons ensuite par ce point une droite arbitraire OK et soient B le point où elle coupe la circonférence de C et E et E'' les points où elle coupe celle de C'. Prenons ensuite sur la même droite, à partir de 0, deux segments OA et 0A ; respectivement égaux à OE — OB et OE'— OB. Cela posé, le lieu des points A et A', quand OK varie, en tournant autour de 0, est (n.° 20) la cissoïdale des cercles C et C ; par rapport à 0, et nous en allons chercher l'équation.

Soient l'origine des coordonnées, (a,, bi) et (a 2 , h) les coordonnées des centres de C et C' ? Rie rayon de ce dernier cercle, pi le segment OB, p 2 les segments OE et OE', p les segments OA et OA', et 6 l'angle formé par OK avec l'axe des abscisses. Les équations polaires des cercles C et C ; sont, respectivement,

pi = 2 (ci{ cos d -f h{ sin 0), p| — 2 («2 cos 6 + h sin 0) p 2 = R 2 — a 2 — b\ .

L'équation polaire de la cissoïdale considérée est donc

p = (« 2 — 2a 4 ) cos + (6 2 — 2&i) sin + / ( a2 C os (9 + 6 2 sin 0) 2 + R, ,

où

RJ = R2 —

et l'équation cartésienne de la même courbe est

[X e * + f + (2ai -a%)x + (2 J 4 - i 2 ) yf - («a» + %) 2 + RÎ (»' + y\

(^ + t ff + 2 [(2a, - * 9 ) « + (26, - &*) y] (^ + j,*) = (4 ai aa 4 a | L R3) ^ + ( 4 j 4 j â 452 + R p y * j 4 (^ j â + rt2 2a, &i) a?y .

Cette équation représente une quartique bicir cul aire unicursah ayant à un noeud; quand les cercles C et se coupent, un rebrous sèment, quand ils sont tangents, un point isolé, quand ils ne se rencontrent pas. Les tangentes à cette quartique au point double passent par les points d'intersection des deux cercles (n.° 20).

Comparons maintenant l'équation qu'on vient d'obtenir à l'équation

(# 2 + y* + mx + nyf == Aia? 2 -\- Cjî/ 2 ,

qui, d'après la formule (12), représente toutes les quartiques bicirculaires unicursales. Les conditions pour que ces équations soient identiques sont

2a i — a% = m , 2b i — b% = n, 4ai a% - 4aJ + R* = A., - m\ 4b j 5 2 - 4 Jf + R* = Ci - n\ 2 (ai 5 2 + a% b\ — 2a\ b\) — — mn.

Or, en éliminant a\ et b\ des trois dernières au moyen des deux premières et en rem-

plaçant Ki par sa valeur, on obtient pour cr : i, Si, as> &2 et E les deux systèmes de solutions a 2 == 0, Z> 2 = i/Ci-Ai, R - v/Ci , ai

tf2 = t/Aj — Ci, & 2 = ; R==t/Â~[, ai

Comme les coefficients Ai et Ci ne peuvent être en même temps négatifs, on voit qu'il existe deux systèmes de cercles réels et deux imaginaires de chacun desquels la quar tique est la cissoïdale ; les formules qu'on vient d'obtenir en déterminent les rayons et les coordonnées des centres.

268o Considérons la quartique bicirculaire unicursale représentée par l'équation

/ fV PV \ 2

(") + y" - xqi T - f^ T ) - (A + h) ^ + (A' + ii) ^

et faisons, comme au n.° 93,

x f = p cos 6, y 1 = p sin 6, p 2 = (pi — p) 2 -f m 2 .

Il vient

(p| AJ+T + m ) = 4 P' + /z) cos 6 + ( A + A ) 8111 ^

et, en passant aux coordonnées cartésiennes,

Cette équation est identique à l'équation générale des quartiques bicirculaires, rapportée au centre d'un cercle directeur (n.° 257), et fait voir qu'on peut construire la quartique bicirculaire représentée par. l'équation (5), en traçant d'abord la quartique bicirculaire définie par l'équation (17), au moyen d'une des méthodes données aux n. 09 précédents, et en prenant ensuite sur chacune des droites qui passent par le centre du cercle directeur pris pour origine des coordonnées, à partir du point où elle coupe la dernière quartique, dans les deux directions, deux segments égaux à t/p 2 — m 2 ; p étant le vecteur de ce point. On obtient ainsi deux points M et W de la courbe qu'on veut construire ; les vecteurs de ces points satisfont à la condition OM.OM'--=W", et les points M et M' sont donc inverses l'un de l'autre.

La méthode pour la construction des quartiques bicirculaires qu'on vient d'indiquer, est due à Casey (h e.); elle a déjà été appliquée aux cubiques circulaires dans le n.° 93. En

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se basant sur cette méthode, Hart a trouvé une manière de tracer mécaniquement les quartiques bicirculaires et les cubiques circulaires, qu'il a fait connaître dans les Proceedings of the London mathematical Society (t. Xiv, 1883, p. 199).

En transportant l'origine des coordonnées auxquelles est rapportée l'équation (7) au centre du cercle directeur qu'on vient de considérer, on voit que la quartique (17) est la podaire de la conique représentée par l'équation (7) par rapport au point 0.

En procédant comme dans les cas des cubiques circulaires (n.° 94), on démontre aisément les théorèmes suivants :

1. ° La conique (7) est V enveloppe des droites qiion obtient en menant par le milieu de chaque segment compris entre deux points M et M' de la quartique considérée, inverses Vun de Vautre par rapport au centre du cercle directeur correspondant, une perpendiculaire à la droite MM 7 .

2. ° Les normales à la quartique bicirculaire (5) aux points M et W où elle est coupée par une droite passant par le centre d'un cercle directeur, sHnterseptent au point de la conique (7), correspondante à la même valeur de h, oit cette dernière courbe est tangente à la perpendiculaire à MM' conduite par le milieu de ce segment.

269o Avant de passer à un autre sujet, nous allons exposer une manière d'engendrer les cartésiennes indiquée par Chasles dans la Notte XXI de Y Aperçu historique.

Considérons deux cercles fixes C et C ; et un cercle mobile c, placés sur un même plan, et supposons que le centre de c soit situé sur la circonférence de C et que le carré de son rayon varie proportionnellement à la puissance D du cercle C ; par rapport à ce centre ; alors l'enveloppe de c est une cartésienne.

En effet, en prenant pour origine des coordonnées le centre de G et pour axe des abscisses la droite passant par les centres de C et C ; , et en représentant par R et R/ les rayons des deux cercles, par cp l'angle formé par le vecteur du centre de c avec cet axe, et par a l'abscisse du centre de C ; , l'équation du cercle c est

(x - R cos ?) 2 -f (y - R sin cp) 2 = ^D 2 = A 2 ( R 2 + a 2 - 2aR cos cp - R' 2 )

et l'équation de l'enveloppe de ce cercle résulte de l'élimination de <p entre cette équation et cette autre :

x sin <p — y cos o = ah- sin o ; l'équation de cette enveloppe est donc

+ 2/ + R 2 - /i 2 (a 2 + R 2 - R /2 )] 2 - 4R 2 [(x - aWf + if], ou, en transportant l'origine des coordonnées au point («A 2 , 0), (18) [ce 2 + y** + 2ah*œ + aVS + R 2 - h- (R 2 + a 2 - R /2 )] 2 = 4R 2 (x 9 - + ?/ 2 ),

équation qui représente une cartésienne.

Chasles ne s'est pas occupé de la recherche des conditions pour que cette équation corresponde à un système d'ovales de Descartes conjugués. On obtient aisément ces conditions, comme on va le voir.

Il résulte d'abord immédiatement de cette équation que la courbe est un limaçon lorsque

En comparant l'équation de la même courbe à cette autre

[(1 - h\) (*« 2 + y^) + 2ai h\x + k\-a\ h*]* = (x* + y 2 ), on obtient les relations

( 19 ) 1^-°*'» ^-«%* + B , -* , (E' + ««-B* j , T^If = R > dont résulte, par l'élimination de a\ et l'équation

R%* - A 2 (R 2 + a 2 - R /2 ) A* + a 2 /* 4 = 0, qui donne pour h\ deux valeurs réelles positives lorsque

R 2 + « 2 >R /2 + 2aR,

c'est-à-dire quand R-^a-j-R' et quand a^R + R'. La première et la troisième équations (19) déterminent ensuite a\ et h\. Par conséquent l'équation (18) représente un système d'ovales de Descartes quand les deux cercles G et Q! se coupent, et l'analyse précédente détermine ses équations bipolaires. Si les cercles sont tangents, les deux valeurs de h\ sont égales, et l'équation représente un limaçon.

Dans les cas différents de ceux qu'on vient d'envisager, l'équation (18) ne représente pas d'ovales de Descartes.

Il convient de remarquer qu'on a démontré au n.° 248 un corollaire, correspondant à R' = 0, du théorème précédent.

270. En appliquant la méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques, on peut dériver du théorème relatif aux cubiques circulaires démontré au n.° 96 un autre qu'on va voir, et ensuite un mode de construire les cercles oscillateurs des quartiques bicirculaires.

Rappelons d'abord que, en appliquant à la quartique bicirculaire donnée la transformation par rayons vecteurs réciproques, le pôle étant un point de cette courbe, on obtient (n.° 263) une cubique circulaire K dont l'asymptote réelle est parallèle à la tangente en à la quartique. Considérons ensuite un cercle Ci quelconque, lequel coupe la quartique en

quatre points Ai, Bi, Ci et Di, et représentons par C le cercle inverse du précédent et par A, B, C et D les points de la cubique correspondants aux points Ai, Bi, Ci et Di. Cela posé, aux droites AB et CD correspondent deux cercles passant, respectivement, par les points O, Ai et Bi et par les points 0, Ci et Di; et ces cercles déterminent, par leur intersection avec la quartique, deux autres points Ei et Fi, qui correspondent à deux points E et F de la cubique mentionnée.

En remarquant maintenant qu'aux parallèles à l'asymptote de la cubique correspondent les cercles tangents à la quartique au point 0, on voit qu'à la droite EF correspond un cercle passant par Ei et Fi et tangent (n.° 46) à la quartique au point 0. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant, qui n'a pas encore été remarqué, croyons-nous:

Si un cercle Ci coupe une quartique bicirculaire aux points Ai, Bi, Ci et Di, le cercle passant par Ai, Bi et 0, et le cercle passant par Ci, Di et coupent la quartique à deux autres points Ei et Fi tels que le cercle qui passe par ces derniers points et par est tangent à la quartique à ce point.

Pour obtenir au moyen de ce théorème le cercle osculateur de la quartique, remarquons que, si les points Bi et Ci coïncident avec Ai, le cercle tangent à la quartique au point Ai, mené par 0, et le cercle passant par 0, Ai et Di coupent la quartique à deux nouveaux points Ei et Fi tels que le cercle OEiFi est tangent à la quartique au point 0. On peut donc obtenir le cercle osculateur de la quartique considérée au point Ai en traçant un cercle tangent à cette courbe au point Ai, passant par un point quelconque de la même courbe, et ensuite un autre cercle passant par le point E], où le premier rencontre la quartique, et tangent au point à cette courbel Ce dernier cercle intersepte la quartique à un nouveau point Fi, et le cercle qui passe par Fi et est tangent à la quartique au point coupe cette courbe à un nouveau point D\. En traçant maintenant par Di un cercle tangent au point Ai à la quartique, on a le cercle osculateur cherché.

271. Le problème de la rectification des quartiques bicirculaires fut considéré par Casey dans un Mémoire inséré aux Phylosopliical Transactions of the Royal Society (London, 1877, t. clxyii), où il a démontré que la longueur des arcs de ces courbes peut être exprimée par des intégrales elliptiques, Mémoire qui fut suivi d'un autre de Cayley, publié au même volume, où cette étude est continuée; les modules de ces intégrales sont en quelques cas imaginaires, mais alors les longueurs des arcs considérés peuvent être exprimées d'un mode réel par des intégrales hyper-elliptiques de premier espèce, comme l'a fait voir R. Roberts dans un écrit inséré aux Proceedings of the London mathematical Society (1886, p. 99). Le même problème a été étudié par M. Darboux, qui, en généralisant une méthode employée pour établir le théorème de Grenocchi mentionné au n.° 247, a démontré aussi que la rectification des quartiques bicirculaires dépend des intégrales elliptiques, dans une communication à l'Académie des Sciences de Paris (Comptes rendus, t. lxxxvii, 1878).

272. L'étude des propriétés projectives des quartiques bicirculaires a une importance considérable pour la théorie générale des quartiques à deux ou trois points doubles, puisqu'on

en peut déduire des théorèmes applicables à toutes ces dernières courbes, au moyen de la doctrine des transformations homographiques, comme on va le voir.

Considérons une quartique à deux points doubles P et Q quelconques et rapportons cette courbe à un triangle formé par une droite passant par ces points, qui sera le côté des 21, et par deux droites passant par P et Q et par un troisième point arbitrairement choisi, qui seront les côtés des œ\ et des y\ % En partant de l'équation générale des quartiques rapportée à un triangle quelconque et en remarquant que, si ce triangle coïncide avec celui qu'on vient de définir, on doit obtenir pour chacune des variables x\ et y{ deux valeurs nulles quand on fait Z[ = 0, et qu'on doit obtenir pour zy deux valeurs nulles quand on fait x\ = 0, et quand on fait 3/1 = 0, on voit que l'équation de la quartique considérée prend alors la forme

x\ y\ -f x\ ?/i Z{ (mx{ -f- ny£) -f- A (LficJ + M#?i y\ -f- ïty?) + 3?(R»i + Syi)+Tsî = 0.

Nous remarquerons, en passant, que de cette équation il résulte, en faisant x== ^- et

y = ^— , cette antre :

x* y % 4- xy (mx -f - wy) + Ecr; 2 + Ma?t/ + N?/ 2 + R# + S?/ + T,

qui peut représenter la perspective de toutes les quartiques considérées, et qu'on peut établir aisément pour les courbes représentées par cette équation une théorie analogue à celle des' quartiques bicirculaires, exposée dans les pages précédentes. Dans cette transformation aux points réels de la quartique donnée correspondent des points réels de sa perspective, si les deux points doubles de celle-là sont réels.

En employant une transformation où intervienent les imaginaires, c'est-à-dire en faisant

scj = a?2 + iy^-, y\ =x% — iy%, z\ — z%,

pour rapporter la courbe a un nouveau triangle, et en posant ensuite x — — , ?/ = — on

obtient une équation de la forme (1).

Donc, à toute quartique a deux ou trois points doubles correspond une quartique bicirculaire dont elle est une transformée homo graphique. En particulier, si la quartique donnée a deux points de rebrou s sèment, la quartique bicirculaire correspondante est une cartésienne.

Il est à remarquer que, si les deux points doubles de la quartique donnée sont réels, la quartique bicirculaire correspondante est imaginaire. Si ces points sont imaginaires, l'équation (20) ne doit pas changer quand on y remplace x par y, et i par — i, et, pour cela, il faut que les quantités M, T et z\ soint réelles et que les quantités m, L, R et X[ soient imaginaires conjuguées de n, N, S et y\ ; alors la quartique bicirculaire correspondante est réelle et ses points réels correspondent aux points réels de la quartique donnée.

Pour généraliser au moyen de cette proposition les théorèmes obtenus précédemment pour les quartiques bicirculaires, il suffit de remarquer : qu'aux points doubles que la quartique bicirculaire possède aux points circulaires de l'infini, correspondent les points doubles P et Q de. la quartique donnée; qu'à un cercle quelconque situé dans le plan de la quartique bicirculaire, correspond une conique passant par ces mêmes points P et Q, et qu'au point où se rencontrent les tangentes à ce cercle aux points circulaires de l'infini, c'est-à-dire au centre du cercle, correspond le point où se coupent les tangentes à cette conique aux points P et Q.

Ainsi, par exemple, des théorèmes démontrés aux n. os 255, 256, 258 et 265 dérivent ceux qui suivent :

1. ° Toute quartique à deux points doubles P et Q est, et de quatre manières différentes, V enveloppe d'une série de coniques bitangentes C/ passant par P et Q ; le lieu des intersections des tangentes à ces coniques à ces points P et Q est une autre conique K/.

Une ou deux des coniques Ki, K?, K3 et K4 peuvent se réduire, en des cas particuliers, à des droites.

2. ° Chacune des coniques K; contient quatre points d'intersection des tangentes à la quartique considérée issues de P et Q, et par ces points-là et par P et Q passe une autre conique Hj.

La droite qui passe par les deux points de contact d'une quelconque des coniques bitangentes Ci avec la quartique, passe aussi par le point M; ou se rencontrent les tangentes à la conique Hj aux points P et Q.

Par chacun des points M|, M2, M3 et M4, qu'on vient de déterminer, passent deux droites bitangentes à la quartique donnée.

3. ° Par chaque point du plan d'une quartique à deux points doubles on peut mener deux coniques qui soient tangentes à cette quartique en quatre points et passent par les deux points doubles.

Si la quartique a un troisième point double, les théorèmes précédents doivent subir des modifications analogues à celles que dans le même cas on fait subir aux théorèmes relatifs aux quartique bicirculaires ; nous ne nous arrêterons pas ici à les indiquer. Mais nous remarquerons que, si la quartique considérée a deux points de rebroussement et un point double, elle est la transformée homographique d'un limaçon de Pascal, et, en particulier, d'une cardioïde, si elle a trois points de rebroussement; on a, en effet, vu au n.° 259 que le limaçon est la seule cartésienne unicursale. On peut donc déduire des propriétés projectives du limaçon d'autres applicables à toutes les quartiques unicursales. Ainsi, par exemple, du théorème démontré au n.° 226 pour le limaçon on déduit celui-ci:

Le lieu des intersections des tangentes à une quartique unicursale à deux points de rebroussement, aux points où elle est coupée par chacune des droites passant par le troisième point double (noeud, point isolé ou point de rebroussement), est une cubique ayant un point double de la même nature que ce dernier point double de la quartique.

De même, des propriétés de la cardioïde énoncées aux n. os 234 et 235 et de la propriété dont jouit la même courbe, d'être symétrique par rapport à la tangente au point de rebroussement situé à distance finie, on déduit les théorèmes suivants :

Le lieu des points d'où Von peut mener à une quartique tricuspidale trois tangentes dont les VOL. IV HH

points de contact soient situés sur une droite, est une conique passant par les points de contact de la bitangente à cette quartique et par les trois points de rebrous sèment. Les tangentes à cette conique à deux points de rebrous sèment de la quartique et la tangente à cette quartique à Vautre point de rebroussement se rencontrent à un même point.

Les points du plan d'une quartique tricuspidale d'où Von peut mener à cette courbe deux tangentes dont les points de contact soient placés sur une droite passant par un point de rebroussement 0, sont situés sur une conique passant par les deux autres points de rebroussement P et Q de la courbe. Les tangentes à cette conique aux points P et Q et la tangente à la quartique au point se rencontrent à un même point.

Envisageons une droite AB quelconque passant par le point où se rencontrent la bitangente d'une quartique tricuspidale et la droite passant par deux des points de rebroussement. Deux des points où s 1 interceptent les tangentes à la quartique aux points où elle est coupée par la droite AB, sont situés sur la tangente à la même quartique au troisième point de rebroussement .