CHAPITRE V

QUARTIQUËS REMARQUABLES.

(Continuation).

La conchoïdc de Xicomèdc.

273. Soient (fig. 50) un point fixe et AB une droite donnée. Par ce point traçons la

droite OC, et prenons, à partir de C, deux segments CM et CN de longueur égale à une quantité donnée h. Le lieu géométrique des points M et N et des autres points qu'on obtient ainsi, en faisant varier la droite OC, est la courbe nommée conchoïcïe de Nicomède. L'équation polaire de cette courbe est

cos 6

où 6 doit varier depuis — -^-jusqu'à •

Le point fixe est nommé pôle de la concJioïde, la droite ÀB base, le segment h intervalle. L'équation correspondante au signe inférieur peut être écrite ainsi :

par conséquent l'équation

cos {r. + 6)

peut représenter les points de la courbe placés à droite et à gauche de AB, en faisant varier 6 depuis jusqu'à 2iz.

L'équation cartésienne de la courbe est

ce 2 (h-

274. Pour chercher la forme de la conehoïde de Nicomède, remarquons d'abord qu'on voit au moyen de cette équation que la courbe est symétrique par rapport à Taxe des abscisses et que les parallèles à l'axe des ordonnées la coupent en quatre points, dont deux sont situés à l'infini; les deux autres sont placés à distance finie, et sont réels quand ces droites passent par les points de l'axe des abscisses compris entre (a — h, 0) et (aA-li, 0). La droite représentée par Téquation x = a est une asymptote de la même courbe, qu'elle intercepte en quatre points coïncidents, situés à l'infini; la quartique considérée a donc un point tacnodale à l'infini, d'après la nomenclature des points singuliers des courbes adoptée par Salmon, point singulier équivalent à deux noeuds ordinaires . La conehoïde de Nicomède a encore deux asymptotes imaginaires, représentées par les équations y=~^rix, qui déterminent un foyer singulier situé à l'origine des coordonnées.

On voit ensuite au moyen de l'une des équations écrites ci-dessus et au moyen de l'équation

dy a + h cos 3

h cos 2 6 sin

que la conehoïde envisagée peut prendre trois formes différente s.

l.° Si h> a, cette courbe a la forme indiquée clans la figure 51. Elle possède un noeud à l'origine des coordonnées et deux sommets aux points G et D, dont les distances à sont égales, respectivement, à a + h et h— «; les angles formés X par les tangentes à ce noeud avec l'axe des abscisses sont déterminés par l'équation cos0 = -^- ou

tans; = — ; les coordonnées polaires des

points P et Q où la tangente est parallèle à cet même axe sont déterminées par l'équation (1) et par l'équation h cos 3 fl = a; la droite AB est l'asymptote réel de la courbe.

2.° Si h = a, le sommet D disparaît, ainsi que la boucle, et la courbe a la forme indiquée dans la figure 52 ; alors elle a à un rebrous sèment.

Fig. 51

3.° Si h<a, la courbe a la forme indiquée dans la figure 53; elle a alors un point isolé à l'origine des coordonnées.

Fig. 52 Fig. 53

275. La construction des normales à la conchoïde de Nicomède est une opération très facile. Comme on a (fig, 50)

p== OM = OC±/z,

il vient

dp dO >G ^

pourtant les sous-normales polaires de la courbe aux points M et N coïncident avec la sousnormale polaire de la droite AB au point C. Ainsi, pour tracer les normales à la conchoïde considérée aux points M et N, il suffit de mener par une perpendiculaire OK à OM et ensuite par le point C la droite CL, perpendiculaire à AB ; les normales cherchées passent par le point L.

276. Le rayon de courbure de la conchoïde de Nicomède est déterminé par la formule

(a 2 + W cos 4 + 2ah cos 3 6) 2 ~ h (h cos 3 Ô ± 3a cos 2 6 + 2a) cos 3 ?

d'où il résulte que les valeurs que cette quantité prend aux sommets C et D de la courbe sont,

respectivement, née par l'égalité

respectivement, - — - — — et j- — -, et que la valeur R que R prend au point double est don-

R ° = 2â ~ a * = Y h tang e °'

# représentant l'angle formé par les tangentes au point considéré avec l'axe des abscisses.

Il résulte encore de l'expression de R que les points d'inflexion de la courbe considérée peuvent être déterminés au moyen de l'équation

(3) h cos 3 6 ± 3a cos 2 6 + 2a =

et de l'équation (1), dont il résulte que le nombre de ces points est égal à six. Pour déterminer les points d'inflexion réels il convient de chercher les points de la droite AB (fig. 60) dont on déduit ceux d'inflexion de la courbe par la construction exposée au n.° 273. Pour cela, remarquons que, en représentant par pi les vecteurs des points de la droite AB, on a

pi = __?^ et que, en éliminant cos 6 entre cette équation et celle qui précède, on trouve

celle-ci :

2p<j — 3a 2 pi :p aVi = 0,

qui détermine les valeurs que pi prend aux points de la droite considérée correspondants aux points d'inflexion. Il est à remarquer qu'on doit profiter seulement les racines de ces équations comprises entre a et ce, car celles qui ne satisfont pas à cette condition ne peuvent pas correspondre à des points de la droite AB.

Pour déterminer le nombre des points d'inflexion réels que la courbe possède, nous allons considérer séparément les cas où h < a, A > a et h = a.

l. er Cas. Soit h<a. En appliquant le théorème de Sturm à l'équation

2p3 3 a 2 pi a % = 0,

en remarquant pour cela que les polynômes de Sturm correspondants à cette équation sont

2p 3 — 3a 2 pi — o?1i f 6p 2 — 3a 2 , 2a 2 p [ + cfth, 3a 2 g- A 2 ,

et que les signes qu'ils prennent quand on fait pi — a et pi = oo sont, respectivement,

pi = a, — + + + )

pi = oo, + + + +

on voit que la branche de la courbe située à droite de AB possède deux points d'inflexion. En appliquant le même théorème à l'équation

2p 3 — 3a* pi + a% = 0,

on voit de même que la branche située à gauche de AB possède aussi deux points d'inflexion.

Les résultats qu'on vient d'obtenir sont, d'ailleurs, géométriquement évidents, puisque les deux branches de la conchoïde tournent la concavité, dans le voisinage des points G et D, et la convexité, dans le voisinage de l'asymptote, pour cette droite, et le nombre totale des points d'inflexion réels et imaginaires est égal à six.

2. e Cas. Si A>a, on voit aussi au moyen du théorème de Sturm que, dans ce cas, la branche située à droite de AB possède deux points d'inflexion et que dans l'autre branche il n'existe pas de points de cette nature.

3. e -Cas. Si h = aj l'une des équations considérées prend la forme

2p| — 3a 2 pi — a 3 = 0,

et ses racines sont

pi = — a, pi = (1 -f ^3), pi = -|-(l— t/ÏÏ).

Alors à la deuxième de ces valeurs de pi correspondent deux pointes de la droite AB dont on déduit deux points d'inflexion réels de la conchoïde par la construction donnée au n.° 273, situés sur la branche de cette courbe placée à droite de AB.

L'équation qui se rapporte aux points d'inflexion de l'autre branche est

2p3 3a 2 pi + a 3 = 0,

et ses racines sont

pi = a, pt = y (— 1 ± t/3) ;

la branche de la courbe placée à gauche de AB n'a pas donc alors de points d'inflexion réels.

En revenant à la théorie générale, nous ajouterons encore que le lieu des points d'inflexion de toutes les conchoïdes de JSJicomède ayant la même base est une parabole semi-cubique. En éliminant, en effet, h entre les équations (1) et (3), on voit que l'équation polaire du lieu considéré est p cos 3 6 = 2a sin 2 8, et que l'équation cartésienne de la même courbe est œ 3 = 2az/ 2 „

277. La conchoïde de Nicomède est une courbe unicursale. En posant, en effet,

on obtient les équations

qui expriment x et y en fonction du paramètre t.

278. La valeur de Taire comprise entre un arc de la conchoïde considérée, Taxe des abscisses et une droite passant par l'origine et faisant avec cet axe un angle d est donnée par la formule

A = y V d6 = Y a * taDg ° + hH± 2ah lo £ tan S (4" + "î") ' o

où Ton doit employer le signe supérieur quand Tare envisagé appartient à la branche située à droite de l'asymptote, le signe inférieur si cet arc appartient à l'autre branche.

279. Le volume du solide engendré par l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et l'ordonnée du point (p, d), en tournant autour de cet axe, peut être calculé par la formule

y* dœ = %h I p 2 sin 3 6 d6

j (a% ^) cos +4" * a cos3 6 + ah sin2 6 ~ ' 2a * + i h< * + ah lo g cos d] >

, COS ô o J

où u= a + h. On doit employer dans cette formule le signe supérieur quand on l'applique à la branche de la courbe située à droite de AB, et le signe inférieur quand on l'applique à l'autre branche.

L'équation de la conchoïde, quand on prend l'asymptote pour axe des ordonnées, est

2 (xi + a)*(h*-x\) V " ~ x\

Les volumes des solides engendrés par les bandes comprises entre la courbe et l'asymptote dépendent donc de f x\dy } dont la valeur est déterminée par la formule

J x\dy = yx\ — 2f yxi dxi = yx\ — 2 j\x{ + a) \/h % — x\ dxi

2 i ax\ 2 2 i ah? X{

■'yx\ + ^(p — x\)% — a?î)2 — -^-aresen

Si Ton veut calculer, par exemple, le volume du solide engendré par la bande comprise entre la branche située à droite de l'asymptote, Taxe de la courbe et la même asymptote, on doit prendre, dans les intégrales, y entre les limites et oo, et par conséquent X[ entre les limites h et 0. On trouve ainsi

Vi = (~ rJihi + ~ A 3 - ±-ah* ) k.

280. L'invention de la conchoïde qu'on vient d'étudier est attribuée à Nicomède, géomètre qui a vécu entre 100 et 200 ans avant l'ère chrétienne (Cantor : Vorlesungen iiber Geschichle der Mathematik, t. i. Leipzig, 1894, p. 334 et 346). Les ouvrages de Nicomède ne nous sont point parvenus, mais Proclus, dans ses Commentaires à la Géométrie d'Euclides, et Pappus, dans ses Collections mathématiques, font mention de ce géomètre et de son invention de la conchoïde. On trouve dans ce dernier ouvrage un procédé pour construire cette courbe (livre iv ; prop. 22) et une méthode pour résoudre le problème de la trisection de l'angle (livre iv, prop. 32), où elle est employée, laquelle est attribuée par Proclus à Nicomède même [Oeuvres de Proclus > éd. Taylor, t. il, p. 73); on y trouve encore (livre ni^ p. 5, et livre IV, prop. 24) une méthode pour résoudre, au moyen de la même courbe, le problème des deux moyennes proportionnelles, due aussi à l'inventeur de la courbe. Cette dernière application de la conchoïde envisagée est mentionnée aussi par Eutocius dans ses Commentaires au livre 2. e cVArchimedes sur la sphère et le cylindre (Archimedis Opéra, éd. Heiberg, t. m, p. 122).

L'étude de la conchoïde de Nicomède a été reprise aux XVII e et XVIII e siècles par quelquesuns des géomètres les plus éminents de cette époque.

Ainsi Fermât s'est occupé de la détermination de ses tangentes dans une lettre adressée à Roberval en 1636 et dans l'écrit intitulé Methodus ad disquirendam maximum et minimum [Oeuvres, t. lii, p. 142 et 293); Descartes, l'inventeur de la première méthode générale des tangentes, a pris cette courbe pour exemple de cette méthode dans le livre 2.° de sa Géométrie; et Roberval a appliquée à la même courbe la méthode basée sur la composition des mouvements que, pour résoudre le problème des tangentes, il a donnée dans ses Observations sur la composition des mouvements et sur les touchantes des lignes courbes (Mémoires de l'Académie des Sciences, t. vi. Paris, 1730, p. 32).

Le problème de la détermination des points d'inflexion de la même conchoïde fut considéré pour la première fois par Huygens (Oeuvres, t. l 3 p. 245) dans une lettre adressée à Van Schooten en 1653 et dans un mémoire publié en 1654 sous le titre : De circuli magnitude inventa, où il a donné une règle pour déterminer ces points au moyen d'une parabole. Plus tard le même géomètre a trouvé une autre méthode plus simple pour résoudre la même question, publiée dans l'écrit intitulé : Illustrium quorundam problematum constructiones, mais cette seconde méthode n'est pas générale, comme lui-même l'a reconnu. Un autre procédé plus simple pour chercher les points considérés a été donné par Heuraet, procédé qui a été publié par Van Schooten dans ses Commentaires à la Géométrie de Descartes. Sluse a envi- VOL. IV II

sagé aussi les points d'inflexion de la conchoïde de Nicomède et, ayant remarqué pour la première fois la propriété exposée à la fin du n.° 276, il l'a communiqué à Huygens dans une lettre du 5 avril 1658 (Oeuvres de Huygens, t. n, p. 164).

Le problème de la quadrature de la conchoïde de Nicomède a été considéré par Koberval dans le Traite des indivisibles (1. c, p. 284), par Wallis dans un écrit intitulé: De curvarum rectijicatione et complanetione, paru en 1659, par Jean Bernoulli dans les Lecciones mathematicae (Opéra, t. m, p. 400), etc. Antérieurement Huygens avait remarqué que les aires des bandes comprises entre la courbe et l'asymptote sont infinies, mais que les volumes des solides qu'elles engendrent en tournant autour de cette droite sont finis (Oeuvres, t. il, p. 164).

La conchoïde de Nicomède a été considérée aussi par Newton, qui a indiqué le rôle que cette courbe peut jouer dans la résolution des problèmes dépendantes des équations du 3. e et du 4. e degré (Arithmetica Universalis, p. 52 du t. n de la traduction française de Beaudeaux), et par Cotes (Harmonia mensurarum, 1722, p. 25), qui a considéré le problème de sa quadrature et celui de la cubature des solides de révolution autour de l'axe de la courbe.

La notion de conchoïde est suceptible d'une généralisation évidente. On peut remplacer dans la construction indiquée au n.° 273 (fig. 50) la droite AB par une courbe quelconque (C), et alors, en prenant sur chacune des droites passant par un point fixe 0, à partir du point où cette droite coupe la courbe et dans les deux sens, un segment de longueur constante, on obtient deux points d'une nouvelle courbe (C), qui est appelée la conchoïde de (C). Ce mode de génération des courbes fut considéré par Roberval (1. c, p. 39), qui a donné une méthode pour construire les tangentes à (C ; ), quand on sait tracer les tangentes à (C), et par Barrow (Lecciones geomttricae, leçon vin), qui a résolu le même problème. La Hire a consacré à ces courbes un travail spécial, publié en 1708 dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Paris. Nous avons étudié déjà, sous le nom de limaçon de Pascal, la conchoïde du cercle par rapport à un point de la circonférence.

Roberval a encore donné une nouvelle généralisation de la signification du mot conchoïde dans le mémoire intitulé: De resolutione aequationum (1. c, p. 233). Envisageons dans un plan deux courbes (C) et (C 7 ) et deux points et A, et supposons que la courbe (C) et le point O sont fixes et que la courbe (C') et le point A se meuvent sur le plan considéré, Je point A restant lié invariablement à la courbe (G 1 ) et parcourant la courbe (C). La droite qui passe par les points et A, coupe la courbe (C ; ) en des points qui décrivent, quand cette courbe varie, une autre courbe appelée conchoïde de (C) et (C ; ). Si (C) est une droite et (C) un cercle ayant le centre au point A, le lieu qu'on obtient ainsi est la conchoïde de Nicomède, Si (C) et (C ; ) sont deux cercles et le centre de (C) coïncide avec le point A, on obtient le limaçon de Pascal. Si (C) est une parabole et le point A coïncide avec son foyer, et si (C) est un droite coïncidant avec l'axe de la parabole, la conchoïde de (C) et (C ; ) est la parabole de Descartes (n.° 122).

281. Nous terminerons cette étude de la conchoïde de Nicomède en extrayant des Collections de Pappus la méthode employée par les anciens géomètres pour résoudre au moyen de cette courbe le problème de la trisection de V angle et celui de la construction de deux moyennes proportionnelles entre deux segments de droite donnés.

I. Considérons premièrement le problème de la trisection et soit ABC (fig. 54) l'angle qu'on vent diviser en trois parties égales.

Menons par le point A la droite AC, perpendiculaire à BC, et la droite AD parallèle à BC, et par le point B la droite BD, parallèle à AC ; traçons ensuite la conehoïde ayant pour pôle le point B ; pour base la droite AC et pour intervalle un segment double de AB, courbe qui coupe la droite DA à un point E. On obtient ainsi la droite EB qui fait avec BC un angle

EBC égal au tiers de l'angle donné ABC.

En effet, si F est le point où s'interceptent les droites BE et AC et H le milieu de FE, on a FH = HE = AH, et par suite FE = 2AH; mais, comme de la définition de la conehoïde

Fig. 54

il résulte que FE = 2BA, on a aussi B A = et enfin ABC = 3FBC.

AH ; il vient donc ABH = AHB = 2AEB = 2FBC,

II. Nous allons nous occuper maintenant du problème de Délos (n.° 1), c'est-à-dire nous allons chercher deux segments de droite x et y tels qu'on ait

a et b représentant deux autres segments donnés.

Considérons pour cela deux droites NA et AM (fig. 55), perpendiculaires l'une à l'autre, et signalons sur ces droites deux segments AB et AC respectivement égaux à a et b. Menons ensuite par les points B et C les parallèles BD et CD à AC et AB, et par les points E et F, qui divisent les segments AB et AC en deux parties égales, traçons la droite DGr et la droite FH, perpendiculaire à AC; prenons sur FH un point H tel que CH = BE; et traçons enfin la droite CH, parallèle à GH. Construisons maintenant une conehoïde, ayant le point H pour pôle, la droite CH' pour base et pour intervalle un segment égal à BE ; laquelle rencontrera la droite AC à un point M, qui doit satisfaire à la condition KM = BE = HC ; en traçant enfin la droite MDN, on détermine deux segments NB et CM, qui sont égaux aux segments x et y cherchés

Pour démontrer cela, remarquons qu'on a

Fig. 55

FM 2 = (FC + CM) 2 = FC 2 + CM . AM,

et par conséquent

FM 2 + FH 2 = FC 2 -f FH 2 + CM . AM,