COS (0 — CL

2a cos (6 + a) = 2a — — •

v ; cos (6 — a)

En cul aire

prenant pour axe des abscisses la droite OA et pour axe des ordonnées la perpendià cette droite menée par le point ? l'équation cartésienne des courbes considérées est

(a^ -J- y^) (x cos oc + y sin v) = 2a?/ 2 .

14. Pour déterminer la forme des courbes dont il s'agit, il convient de prendre pour axe des abscisses la droite OX, qui forme avec OA un angle égal à a, et pour axe des ordonnées la perpendiculaire OY à cette droite. On aura de cette manière, en représentant par (X, Y) les coordonnées des points de la courbe, rapportées aux nouveaux axes,

Xcosa — Y sin a, y = X sin a 4- Y cos a, X (X 2 + Y 2 ) = 2a (X sin a + Y eos a) 2 ,

2a X sin a cos a ± X l/ 2aX--X 2 X — 2a cos 2 a

Au moyen de cette équation on peut maintenant déterminer aisément la forme de la cissoïde oblique. Elle passe par le point O et est comprise entre Taxe des ordonnées et une parallèle à cet axe, menée par le point (2a, 0). Les parallèles à Taxe des ordonnées qui passent par les points de l'axe des abscisses compris entre l'origine des coordonnées et le point (2a, 0) 7 coupent la courbe en deux points placés à distance finie. La droite BM, définie par l'équation X = 2a cos 2 a, en est une asymptote et la coupe encore au point B, dont l'ordonnée EB est donnée par la formule

^ a cos a cos 2 a

LJd = ~ . ■•

sin a

et, par conséquent, ou

La droite DCi, qui limite la bande où la courbe est comprise, est tangente à cette courbe au point Ci, dont l'ordonnée est égale à 2a cot a.

En posant Y = 0, on voit que les points O et F, où la courbe coupe Taxe des abscisses, ont pour abscisses X = et X = OF = 2a sin 2 a. Il est facile de voir qu'au point O on a Y ; = — tanga; donc, l'origine des coordonnées en est un point de rebroussement, et la droite OA en est la tangente en ce point. Le point F satisfait à la condition OF + OE = 2a, qui donne OF = ED.

La formule (1) montre aussi qui l'hyperbole dont l'équation est

(2) Y^/fVx, v X— 2acos^a 7

laquelle a la même asymptote que la courbe considérée, coupe par le milieu toutes les cordes parallèles à la même asymptote. Cette hyperbole passe par le point de rebroussement de la cissoïde et par le point Ci.

15. La sous-normale polaire de la cissoïde oblique au point P a pour expression (fig. 2)

n ~~W~~~~dT~"~ de ?

et, par conséquent, est égale à la différence entre la sous-normale de la droite AM et la sousnormale du cercle, aux points M et N correspondants. Donc la méthode employée dans le n.° 4 pour mener la normale à la cissoïde droite est aussi applicable à la cissoïde oblique.

La méthode de Long champs pour mener les tangentes à la cissoïde droite, exposée au n.° 5, est aussi applicable à la cissoïde oblique, et même à une classe plus générale de cubiques, comme on le verra bientôt.

16. La cissoïde est une courbe unicursale. En posant, en effet, x = ty dans l'équation de cette courbe trouvée au n.° 13, il vient

2 ai 2a

w (sin a-j-t cos a) (1 + t" 2 ) ' ^ (sin a -j- t cos a) (1 + ^) On voit au moyen de ces équations que la droite dont l'équation est

ux -\-vy=l

coupe la courbe en trois points dans lesquels t acquiert les valeurs £i, h et £3, déterminées par l'équation

(A) £ 3 cos a + £ 2 sin a — (2au — cos a) t-\- sin a — 2av = 0,

lesquelles satisfont à la condition

(2) ti + h+h= — tang a.

En particulier, si la droite est parallèle à l'asymptote réelle, on a t\ = — tang#, et, par conséquent, h -\~h = 0; et, si la droite coïncide avec cette asymptote, on a aussi t% = — tang a, et par suite h = tang a.

On voit de même que le cercle dont l'équation est

x % + f- 2hx— 2ky+l = 0,

coupe la cissoïde en quatre points déterminés par des valeurs de t qui satisfont à cette autre condition :

(3) tl + ti + + tl = — 2 tang oc.

Les relations (2) et (3) furent trouvées par M. Balitrand (Nouvelles Annales de Mathématiques, 1893, p. 448), qui en a déduit quelques propriétés de la cissoïde et les solutions de quelques questions relatives à cette courbe, dont nous mentionnerons les suivantes:

1. ° En posant en (2) t.{ = U — /s, on voit que la courbe a un point d'inflexion et que la valeur de t en ce point est donnée par l'égalité

t = — tang a.

Les coordonnées du point d'inflexion sont donc

lia

sin a (9 + tang 2 a)

2. ° En posant en (3) tl~t^ — t^ = tl^ on voit qu'il existe un point de la cissoïde où le cercle oscillateur a avec la courbe un contact du troisième ordre et que la valeur correspondante de t est donnée par l'équation

t = — ~ tans; a.

Les coordonnées de ce point sont

8a 16a cos a (4 + tang 2 a) ? ^ sin a (4 -f- tang 2 a)