CM AM RD DC "~ NA ~ NB
CM NB BD
DC CM NB a CM NB
CM NB
et enfin cc = NB, y=CM.
Les paraboles virtuelles. Le besace.
282, Grégoire de St-Vincent a considéré dans son Opus geometricum, paru en 1647 y sous le nom de paraboles virtuelles, quelques courbes du quatrième ordre représentées par une équation de la forme
x = \/ax -f b + \Za\x + b\ .
Parmi ces courbes est comprise la quartique définie par l'équation
(1) œ = - [ / a z + 2 (b + c)ij + Y \/a* + 2(b-c)y
où c = \/a % -|- ou
(2) (x* — by)* = a*(œ*—y*),
considérée par Cramer dans sa célèbre Introduction à l'Analyse des lignes courbes (Grenève, 1750, p. 451), laquelle est connue par la désignation de besace; et à cette courbe se rattachent quelques autres paraboles virtuelles qui ont quelque intérêt historique, comme on le verra bientôt.
Il résulte immédiatement de la première équation que les cordes de cette quartique parallèles à Taxe des abscisses sont coupées en deux parties égales par des paraboles ordinaires^ et, en mettant la deuxième équation sous la forme
on voit encore que la parabole correspondante à l'équation
bx %
passe par le milieu des cordes parallèles à Taxe des ordonnées.
283. Le besace est Y anti-hyperbolisme de la conique représentée par l'équation
a 2 X 2 + (a 2 + b" 2 ) Y 2 - 2ab XY = a\
puisque, en posant dans l'équation de la première courbe
XY
on trouve celle-ci. Il en résulte une manière de construire la quartique considérée et ses tangentes, en dérivant chacun de ses points et chacune de ces tangentes d'un point et d'une tangente de cette ellipse par la méthode exposée au n.° 114. Mais, si l'on veut seulement obtenir les points de la quartique, on peut employer un procédé bien plus facile, donné par Cramer dans l'Ouvrage mentionné, qu'on va voir.
Prenons un point ayant pour coordonnées [-^- a,
h] et traçons une circonférence ayant
ce point pour centre et passant par l'origine (fig. 56) des coordonnées. Menons par
une droite quelconque OL et ensuite par le point L une autre LN, parallèle à l'axe des abscisses, et prenons sur cette droite un point M tel que le segment NM soit égal à OL. Le lieu décrit par M, quand OL varie de direction, est le basace représenté par l'équation (2).
En effet, l'équation du cercle considéré est
Fig. 56
X 2 + Y 2 -aX-6Y = 0, et on a, en représentant par (x, y) les coordonnées du point M, OL 2 ^X â + Y 2 = NM 2 ==^, y = Y;
or, en éliminant X et Y entre ces équations et celle du cercle, on obtient une équation qui coïncide avec l'équation (2).
284. On peut obtenir aisément la forme de la quartique considérée (jig. 67) au moyen de son équation et de la formule y
a^ + W (a a + J2j s/aï + i* - x*
dont résultent les conséquences suivantes :
1.° La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées et a un noeud à l'origine des coordonnées, où les tangentes forment avec cet axe des angles co déterminés par l'équation
tang co = +
On voit encore, au moyen de la méthode indiquée au n.° 85, que la même courbe a deux
points doubles coïncidents à l'infini; en posant, en effet, dans l'équation (2) a? = — , V == ~y' on obtient la transformée
qui représente une courbe ayant un point double à l'origine, où elle est coupée par l'axe des abscisses en quatre points coïncidents, et dont on déduit, en cherchant le premier terme du développement de Y suivant les puissances de X, que les paraboles imaginaires définies par l'équation
représentent approximativement cette dernière courbe dans le voisinage de l'origine des coordonnées, et qu'aux deux points coïncidents où ces paraboles se coupent, correspondent deux points doubles coïncidents de la dernière quartique, situés à la origine des coordonnées, et par suite deux points doubles coïncidents du besace, situés à l'infini.
2. ° Les parallèles à l'axe des ordonnées qui passent par les points de l'axe des abscisses compris entre l'origine et le point P, où x = \/a? J r b <2 , coupent la courbe en deux points réels. L'un de ces points est situé au-dessus et l'autre au-dessous de l'axe des abscisses, quand leur abscisse est comprise entre et a, et ils sont situés tous deux au-dessus de cet axe, quand leur abscisse est comprise entre a et va? + V 2 . Au point C, dont les coordonnées sont
la parallèle à l'axe des ordonnées coïncide avec la tangente.
3. ° Il existe quatre points A, D, A ; , D' où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. Les coordonnées de ces points peuvent être déterminées par l'équation (2) et par celle-ci:
2by + a% — 2x 2 = 1
dont il résulte
4.° La détermination des points d'inflexion de la courbe dépend de la résolution d'une équation du troisième degré. En dérivant, en effet, par rapport à x l'expression de y ] obtenue précédemment, on obtient la formule
lf __ 2b ax 3(a 2 + 5 2 )-2^
(aZ + bî-x^f
d'où il résulte que les abscisses des points cherchés sont déterminées par l'équation
46 2 (a 2 + 5 2 - ce 2 ) 3 = aV [3 (a 2 + 6 2 ) - 2cc 2 ],
qui est du troisième degré par rapport à x 2 . Elle donne pour x six valeurs, dont trois diffèrent seulement par le signe des autres trois ; et à chacune de ces valeurs correspondent deux valeurs de y, déterminées par l'équation (2), dont l'une représente l'ordonnée du point d'inflexion et l'autre représente l'ordonnée du deuxième point de la courbe qui a la même abscisse que celui-là.
285* Le besace est une quartique unicursale. En posant, en effet, dans l'équation (2)
on trouve
b (* 2 -l) 2 + 2at(t* — l)
286 9 Pour déterminer la valeur A de l'aire limitée par l'une des branches du besace, on peut employer la formule
A= i ° bx- + axv c 2 o
où c = va 2 + & 2 , d'où il résulte
Donc, cette aire est égale à celle du rectangle dont les côtés sont égaux aux abscisses des points B et C.
2870 Si l'on fait b = dans l'équation (2), on obtient celle-ci: (4) a 2 ?/ 2 = £c 2 (a 2 — a? 2 ),
correspondante à une parabole virtuelle spéciale, qui a été nommée par Gabriel Marie (Exercices de Géométrie descriptive) lemniscate de Gerono ? pour avoir été considérée par ce mathématicien dans son Cours de Géométrie analytique. M. Aubry (Journal de mathématiques spéciales, 1895, p. 267) a designé la même courbe par le nom de huit, à cause de sa forme, indiquée dans la figure 58, désignation plus juste que celle-là, pareeque cette quartique est
dx —
bx }i — ax V c 2 — a? 2
la première des paraboles virtuelles étudiées par Grégoire de St- Vincent dans l'ouvrage mentionné ci-dessus et, d'après une remarque de M. Aubry, elle est comprise entre les courbes rencontrées par Wallis en coupant par un plan un conoïde spécial qu'il a nommé conocuneus {Opéra omnia, t. Il, p. 683), courbes qui seront considérées plus loin.
y La courbe considérée peut être construite par l'une
des méthodes générales indiquées au n.° 283. La première de ces méthodes est d'une application facile dans ce cas particulier, car la conique dont la quartique considérée X est un antihyperbolisme se réduit alors au cercle représenté par l'équation
288. La courbe considérée a, comme on l'a dit, la Fty- 58 forme indiquée dans la figure 58. Elle est symétrique
par rapport aux deux axes des coordonnées et a un noeud à l'origine, où sont réunis deux points d'inflexion, et les tangentes en ce point forment des angles de 45° avec les axes des coordonnées ; elle possède encore quatre autres points d'inflexion imaginaires, correspondants aux abscisses +« • -^ es coordonnées des points où les tangentes sont parallèles à Taxe des ordonnées sont 0) et celles des points où les tangentes sont parallèles à Taxe des abscisses sont (^-~ a\/ 2 y + -^- a
289. On peut rattacher à la courbe qu'on vient de considérer la quartique représentée par l'équation
dont l'équation (4) est un cas particulier. Cette courbe, affine de celle qui précède, apparaît dans la correspondance de Huygens avec Sluse sous la désignation de première parabole virtuelle de Grégoire de St-Vincent, parceque sa théorie est une généralisation immédiate de celle de la courbe représentée par l'équation (4), qui est la première des paraboles virtuelles spéciales étudiées par le savant inventeur de ces courbes dans l'ouvrage mentionné ci-dessus. Parmi les lettres des deux géomètres qui se rapportent à cette quartique, il en est à remarquer une de Sluse à Huygens du 19 octobre 1657 {Oeuvres de Huygens, t. n, p. 70), où on en donne la quadrature, et la réponse de Huygens à cette lettre, du 2 novembre de la même année (1. c, p. 79), où ce géomètre dit que la solution de ce problème est une conséquence évidente de la définition de la courbe comme parabole virtuelle et qu'elle avait été explicitement indiquée par Grégoire de St-Vincent dans son Ouvrage.
La parabole virtuelle qu'on vient de mentionner peut être construite très aisément, ainsi que ses tangentes, parce qu'elle est l'antihyperbolisme du cercle ce 2 -f- ?/ 2 = e 2 , par rapport
à la droite se =■•<:«. À cause de sa forme, on peut la désigner par le nom de huit, en donnant à ce mot une signification plus générale que celle qu'on lui a attribué au n.° 287.
Dans la correspondance de Huygens avec Leibniz figure aussi une quartique dont l'équation est un cas particulier de celle qui précède, à propos du problème qui a pour but de
