CC

déterminer la courbe dont la sous-tangente est égale à 2y L'équation de la courbe

rapportée est

2a 2 z/ 2 = a? 2 (a 2 — ce 2 ).

On peut voir dans le tome ix des Oeuvres de Huygens (p. 470, 555 et 568) les lettres de ces deux grands géomètres à l'égard de cette courbe et d'une autre du sixième ordre dont la sous-tangente ne diffère que par le signe de celle de la courbe précédente, et quelques fragments laissés par Huygens sur le même sujet (p. 473, 574 et 576) et sur la courbe représentée par l'équation

2a 2 ?/ 2 = ce 2 (a 2 -f- ce 2 ), dont la sous-tangente est égale à celle de la quartique antérieure.

La courbe de (jiitscliOYcn ou cappa,

290. Dans la correspondance de Sluse avec Huygens apparaît, sous le nom de courbe de Gutschoven, une quartique vers laquelle Grutschoven avait attiré l'attention de Sluse, courbe qui est représentée par l'équation polaire

p = a tang 6

et par l'équation cartésienne

ce 2 (ce 2 + ?/ 2 ) = a 2 ?/ 2 ;

la même quartique est désignée à présent par quelques auteurs sous le nom de cappa, proposé par M. Aubry dans le Journal de Mathématiques spéciales (1895, p. 201).

Il résulte immédiatement de la première des équations précédentes que, si par un point M (fig. 59) de la courbe on mène une perpendiculaire au vecteur OM, la longueur du segment de cette droite compris entre ce point et le point où elle coupe l'axe des ordonnées OY est égale à la constante a. Cette propriété a été prise par Sluse pour définition de la courbe dans la lettre à Huygens du 18 août 1662 [Oeuvres de Huygens, t. iv, p. 207), où il fait

Hosted by

a ii

mention pour la première fois de cette quartique, et où il donne une règle pour en déterminer les tangentes.

En partant de la même équation, on obtient le procédé suivant, pour tracer la même courbe, employé par Barrow dans ses Lectiones geometricae (1669, leçon vin, n.° 18). Traçons une

droite CD, parallèle à l'axe des ordonnées OY, et dont la distance à cet axe soit égale à a, et signalons sur cette droite un point arbitraire N. Prenons ensuite sur ON, à partir du point 0, un point M tel que le segment OM soit égal à NC. Le lieu décrit par M, quand N varie, est la courbe considérée,

On voit aisément que la courbe a la forme indiquée dans la figure 59. Elle est symétrique par rapport aux axes des coordonnées et est composée de deux branches tangentes l'une à l'autre au point 0, où elle a un noeud à tangentes coïn- Fig, 59 cidentes (tacnode); les droites CDet CTD', corres"

pondantes aux équations œ = a et œ== — a, en sont les asymptotes et déterminent un point d'inflexion double (biflecnode), situé à l'infini.

291* Les tangentes à la courbe de Gutschoven peuvent être tracées aisément au moyen d'un théorème qu'on va voir.

Appliquons à la courbe considérée l'équation générale des tangentes, rapportée aux coordonnées polaires:

— = — cos (0 - di) + (—) ' sin (0 - 80 , P Pi \Pi/

p pi " \pi,

(01, pi) étant les coordonnées du point de contact; il vient

cos 01

sin (0 — 0,) sin 2 0i

p sin 0i

En faisant maintenant dans cette équation = 20j, on trouve

- = — sin Ci ;

donc, la tangente à la courbe au point (0i, pi) et la droite qui passe par et forme avec OX un angle égal à 20, rencontrent la droite correspondante à V équation y = — a au même point.

Les tangentes à la courbe de Gutschoven furent déterminées pour la première fois par Sluse dans la lettre mentionnée ci-dessus, où il a donné une règle pour déterminer le point

où elles coupent l'axe des ordonnées. Barrow a donné (1. c.) une autre méthode pour tracer ces droites.

292. Le rayon de courbure de la quartique considérée est déterminé par la formule

a(l+-i-sin*2e)T (2 + sin 2 0) cos 4 6 '

d'où il résulte que la valeur du rayon du cercle osculateur au point est égale à -i-a. Il en

résulte aussi que la courbe n'a pas de points d'inflexion réels à distance finie, et qu'elle a quatre points d'inflexion imaginaires.

293. L'aire comprise entre l'arc OM de la courbe et les droites OP et PM est déterminée par la formule

A= f \/-ir- — «dx = — \-x\/o? — ce 2 + -i- a 2 arc sen — j J y cr — x* 2 2 a

d'où il résulte, en faisant x = a,

Donc, l'aire comprise entre la courbe, la droite OC et l'asymptote CD est égale à Vaire dit

cercle de rayon égal à — a.

Le volume de solide engendré par l'aire A en tournant autour de OY est déterminé par la formule

V = t \x\j- f V xHy\ = 2tt f * j£±L = 1 , fl 3 *L ^ + 2a 2) \ftf=rf ; L J J J yd* — x* & ô o o

et par conséquent le volume du solide engendré par Taire Ai, en tournant autour du même

axe, est égal à — ira 3 , c'est-à-dire au volume de la sphère de rayon égal à OC. o

Les problèmes qu'on vient de considérer furent résolus par Huygens dans une lettre adressée à Sluse en 25 septembre 1662 (1. c, p. 238); pour obtenir l'aire de la courbe il a employé un artifice qui avait été déjà utilisé par Roberval.

294. Avant de terminer cette doctrine nous remarquerons encore que la courbe qu'on vient de considérer est comprise entre les courbes représentées par l'équation polaire

a cos (0 — a)

cos 6

et par l'équation cartésienne

(a? 2 + ?/ 2 ) = a 2 (x cos a + y sin a) 2 .

Cette courbe jouit de la propriété suivante, employée par Sluse (1. c.) pour la définir. Si par un quelconque de ses points on trace une droite faisant avec le vecteur de ce point un angle égal à a, la longueur du segment de cette droite compris entre ce point et celui où elle coupe Taxe des ordonnées est égale à la constante a.

La cruciforme. La puntiforme.