Considérons l'ellipse représentée par l'équation
et la tangente à cette courbe au point (X, Y), droite dont l'équation est
et qui coupe par conséquent les axes aux points déterminés par les coordonnées (0, -^-)
et ( ^r, 0) . Eu menant par ces points deux parallèles aux axes, on détermine un autre point, où ces droites se coupent, dont les coordonnées sont
ce
Cela posé, le lieu géométrique des positions que ce point prend lorsque la tangente à l'ellipse varie, est une courbe du quatrième ordre, représentée par l'équation
qui résulte de l'élimination de X et Y entre les équations précédentes et celle de l'ellipse, et connue par le nom de cruciforme ou kreuzcurve.
Les propriétés de la cruciforme furent étudiées par M. Schoute en deux travaux importants publiés, le premier dans les Verslagen (2. e série, t. xix, 1883, p. 420) de l'Académie
des Sciences d'Amsterdam, et l'autre dans les Archiv der Mathematik und Physik (Leipzig, 2. e série, t. n, p. 113; t. ni, p. 113; t. IV, p. 308 et t. vi, p. 113), travaux dans lesquels sont étudiées amplement les courbes du quatrième ordre â trois noeuds, formés par deux arcs ayant l'un et l'autre à ces points une inflexion. Cette classe de quartiques contient la cruciforme, qui joue dans la théorie des mêmes courbes un rôle important, comme on le verra bientôt. C'est dans le deuxième de ces travaux que M. Schoute a proposé pour la courbe considérée le nom de cruciforme (kreuzcurve). Cependant, avant que les recherches de M. Schoute aient donné de l'importance à cette quar tique, elle avait été considérée déjà par Terquem {Nouvelles Annales de Mathématiques, 1847, p. 394), qui l'a définie comme polaire réciproque de la développée de V ellipse, par rapport au cercle représenté par l'équation a? 2 -f?/ 2 = a 2 — 5 2 , et par J. Booth (A Treatise on somenew geometrical Methods, London, t. I, 1873, p. 145), qui en a donné l'équation tangentielle.
296» On obtient aisément la forme de la cruciforme au moyen des équations
bx
S ah
Va
(ce 2 — a 2 )"
(ce 2 — a 2
dont il résulte que cette courbe est formée par quatre branches égales (fi g. 60), symétriquement
placées par rapport aux axes des coordonnées, et qui ont pour asymptotes les droites AB, A'B', CD et CT) 7 , dont les équations sont, respectivement, x = a, x = — a, y — b, y = — b, et qu'il n'existe pas de points à distance finie où les tangentes soient parallèles aux axes de la courbe.
La cruciforme a un point isolé à l'origine des coordonnées. Les équations des tangentes
à la courbe en ce point sont y = ^ x > e ^ cna ~
cune de ces droites coupe la courbe en quatre points coïncidents ; donc au point isolé sont B' B réunis deux points d'inflexion.
Fig. 60 Les asymptotes parallèles à l'axe des ordon-
nées déterminent un noeud, situé à l'infini sur l'axe des ordonnées, et les asymptotes parallèles à l'axe des abscisses déterminent un autre, situé sur cet axe. Tous ces asymptotes coupent la courbe en quatre points situés à l'infini; donc chacun de ces noeuds est formé par la réunion de deux points d'inflexion.
Les tangentes à la cruciforme peuvent être obtenues aisément par une méthode
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liée à celle qu'on a employée précédemment pour construire cette courbe, et basée sur ce théorème :
La tangente à V ellipse au point (X, Y) et la tangente à la cruciforme au point correspondant (x, y) coupent à un même point la droite qui passe par le centre de l'ellipse et par le point (X, — Y).
En effet, l'équation de la tangente à la cruciforme au point (a?, y) est
tt 2
ou, en substituant à x et y leurs valeurs en fonction de X et Y et en tenant compte de l'équation de l'ellipse,
a 4 Y 3 ?/d + 6 4 X 3 ^i = a 4 ô 4 ; et l'équation de la tangente à l'ellipse au point (X, Y) est
a? Yyi + b^Xxi=a^.
Or, il résulte de ces équations la relation suivante:
a 4 Y (ja y 2) y{ + £4 X («» - X 2 ) Xi = 0,
h laquelle doivent satisfaire les coordonnées yi) du point d'intersection des deux tangentes considérées ; relation qui peut être mise sous la forme
Xyi+Yœi = 0,
en tenant compte des équations
et qui fait voir ainsi que le point (x^ y,[) est situé sur la droite qui passe par le centre de l'ellipse et par le point (X, — Y).
298. Le rayon de courbure de la cruciforme au point (x, y) est déterminé par l'équation
R (Wx 6 + ayf WbW 3 a 2 ô 2 x^y n 3 a 2 */ 8
N représentant la longueur de la normale au point considéré.
299. La cruciforme possède, comme on Ta vu, deux noeuds et un point isolé; elle est
donc unicursale. En posant, en effet, dans son équation on obtient les relations
dont nous allons déduire quelques propriétés intéressantes de ses tangentes. Pour cela, remarquons d'abord que l'équation de ces tangentes est
(2) a (f - l) 3 Y + 8 ht* X - ab (f + l) 3 = 0,
et que par conséquent les valeurs que t prend aux points de contact des tangentes à la courbe considérée issues d'un point (a, (3), sont déterminées par l'équation
a(p-i) «6 — 3a(P + J)<* + 8Sa« 3 + 3a(P — i) fi - a (0 + b) = 0.
Cela posé, cherchons les conditions auxquelles a et P doivent satisfaire pour que quatre de ces points soient situés sur une même droite. La droite représentée par l'équation
ux -f- vy -f- 1 =
coupe la cruciforme en quatre points, correspondants aux valeurs de t données par l'équation
aut* + 2(1 + ^5)^ — 2(1— vb) i — au = 0.
En faisant maintenant
A = a(P-&), B = a(P + 6), K = 2^L bl L, L = 2 — — ,
on voit, en procédant comme au n.° 208, que les conditions pour que les quatre points d'intersection de cette droite avec la courbe coïncident avec quatre des points de contact des tangentes menées à cette courbe du point (a, [5), sont
8aô + AL-K(AK 2 -3B) = 0, KL- 4 = 0, AK - L (AK 2 - 3B) = 0, AK* - 4B = 0,
ou, par suite,
-AK = BL, KL = 4, 8aB + AL — BK = 0, AK 2 -4B = 0.
Mais, comme la quatrième de ces équations n'est pas distincte des deux premières, les conditions cherchées sont celles-ci :
(A) AK = BL, KL = 4, 8a& + AL-BK = 0.
Or, en éliminant K et L entre ces équations, on trouve
16a 2 V AB = (A 2 -B 2 ) 2 , ou, en substituant à A et B leurs valeurs,
oc 2 ^ P
Donc, c'est condition nécessaire et suffisante pour que quatre des points de contact des tangentes à une cruciforme issues d'un point donné soient situés sur une même droite, que ce point soit placé sur la courbe.
L'équation de la droite passant par les quatre points de contact des tangentes considérées résulte de l'élimination de u et v entre l'équation
ux + vy -j- 1 =
et deux des équations qu'on obtient en remplaçant dans les formules (A) les quantités A, B 7 K et L par leurs valeurs ; cette équation est
Donc, la droite qui passe par les points de contact des tangentes menées à la quarlique considérée du point (oc, (3) de la courbe, passe aussi par les points où se rencontrent les parallèles aux asymptotes issues du point isolé et du point ( — a, — (3).
La deuxième des équations (A) est équivalente à celle-ci:
ahfi + b 2 v 2 — 1 ,
à laquelle doivent satisfaire les coefficients des équations des droites passant par les quatre points de contact des tangentes à la cruciforme issues d'un point de cette courbe ; elle est donc l'équation tangentielle de l'enveloppe de ces droites; l'équation cartésienne correspondante est
VOL. IV KK
Donc, V enveloppe de la droite passant par les quatre points de contact des tangentes à la cruciforme issues d'un point variable de cette courbe, est une ellipse, qui coïncide avec celle qui a été employée pour définir cette quartique.
Les propositions qu'on vient de démontrer sont une extension, due à M. Schoute, des théorèmes de Em. Veyr, relatifs à la lemni&cate de Bernoulli, démontrés au n.° 208.
300. La polaire, du point (a, (3) par rapport à la cruciforme est une courbe du troisième ordre qui doit être tangente à celle-là en ce point et doit passer par ses points doubles et par ses points d'intersection avec la droite qu'on vient de considérer au n.° précédent; elle doit par suite se décomposer dans cette droite et dans une conique passant par les trois points doubles de la quartique et tangente au point (a ? fi) à cette courbe. L'équation de cette conique est donc
On voit aisément que les rayons de courbure Ri et R de cette conique et de la quartique
considérée au point (a, (3) sont liés par la relation R = -g-Ri, remarquée par M. Balitrand (Journal de Mathématiques spéciales, t. xiv, 1890, p. 54).
301* Les six points de contact des tangentes à la cruciforme issues d'un point non situé sur la courbe sont placés sur une conique.
On peut démontrer ce théorème par une analyse semblable à celle qui fut employée au n.° 209. Considérons, en effet, la conique définie par l'équation
ux* -f- + wwy -\-kx-\-ly-\-l = ;
les valeurs que t prend aux points d'intersection de cette conique avec la cruciforme sont déterminées par l'équation
* 8 + A* 7 + B* 6 + Ct* + D* 4 - A* 3 + E£ 2 — Gt J r l = 0,
ou
A 2(bw + k) é(b*v + bl+l) „ 2(hv~k) A = ? d = 5 ? L = ?
au
Mais, les valeurs que t prend aux points de contact de la courbe avec les tangentes issues
du point (a, [3) sont déterminées par l'équation
ou
Donc, les conditions pour que ces six points de contact soient situés sur la conique sont celles-ci :
C-L + 3AK = 0, D-3 — AL + 3K(B + 3K) = 0, 4A + L(B + 3K) = 0, E + K-3(B + 3K) = 0, C = AK, 1 + K(B + 3K) = 0,
dont sont distinctes sexilement cinq, qu'on peut écrire ainsi:
A -i- c -t- D = e +inr
Or, ces équations déterminent A, B, C, D et E, et ensuite les relations
Aau — 2bw = 2k, Ra^u — àbH = 4(bl+ 1), Cau — 2bio = - 2k, (D + 2) aHi - 8h^v = — 8 5
déterminent les coefficients if, sa, & et Z de l'équation de la conique.
302« En partant de l'équation de la tangente à la cruciforme écrite au n.° 299, on peut trouver aisément Y équation tangentielle de cette courbe. En comparant, en effet, l'équation (2) à cette autre:
ux + vy + 1 = 0,
on trouve
et, en éliminant ensuite t entre ces équations, on obtient l'équation cherchée, savoir:
(au) 3 + (bv) 3 = 1 *
La cruciforme a été définie précédemment au moyen d'une de ses relations avec l'ellipse. Voici maintenant une autre de ces relations, qui a été remarquée par M. Neuberg (Mathesis, 1894, p. 47):
Si Von détermine en chaque point d'une ellipse le centre de courbure de Vhyperbole homofocale passant 'par ce point, le lieu des points quon obtient ainsi est la cruciforme.
Pour démontrer cela, considérons l'équation de l'ellipse et celle de l'hyperbole homofocale correspondante
où
Les coordonnées du centre de courbure de l'hyperbole, correspondant au point (a?, ?/) de cette courbe, sont déterminées par les formules
C*X 3 c 2 ?/ 3 ou, en remplaçant A et B par les valeurs suivantes :
qui résultent de l'équation de l'hyperbole et de la relation A 2 + B 2 = c,
En éliminant œ et y parmi ces équations et celle de l'ellipse, on obtient celle-ci :
qui représente la cruciforme.
30 l. Voici une autre relation entre la cruciforme et l'ellipse, mentionnée déjà ci-dessus:
La cruciforme (1) est la polaire réciproque de la développée de V ellipse représentée par l'équation
par rapport au cercle ayant pour équation
En effet, la développée de cette ellipse est représentée par l'équation
vt l'équation de la polaire du point (X, Y), par rapport au cercle mentionné, par cette autre:
la polaire réciproque cherchée est donc l'enveloppe de la droite représentée par cette équation, X étant le paramètre arbitraire. Pour en obtenir l'équation, il suffit donc d'éliminer Y entre les deux dernières équations, ce qui donne
(ayXf + b 1 (ë - Xxf = (c* ijf ,
et ensuite X entre cette équation et celle-ci, qui résulte de dériver ses deux membres par rapport à X:
« 3 y 3 (c 2 — Xa?) 3 — b 3 a?X 3 =0.
On obtient ainsi une équation qui coïncide avec l'équation (1).
Nous ajouterons encore à ce qui précède que, d'après M. Retali (Mathesis, 1894, p. 50), la polaire réciproque de la développée d'une ellipse par rapport à la même ellipse est une cruciforme ; et que la polaire réciproque de la courbe définie par V équation
(ax) 3 +(by)* ~1,
qui représente la développée d'une ellipse, par rapport au cercle imaginaire
est aussi une cruciforme.
305. Considérons maintenant l'hyperbole représentée par l'équation
et menons par un quelconque de ses points une tangente ; ensuite traçons par le point où cette droite coupe chacun des axes une parallèle à l'autre; les deux droites qu'on obtient ainsi déterminent par leur intersection un point, qui décrit, quand la tangente varie, une courbe nommée par M. Schoute puntiforme (kohlenspitzencurve) dans le Mémoire mentionné ci-dessus.
En précédant comme au n.° 295, on voit que l'équation de la puntiforme est
on peut donc dériver des formules relatives à la cruciforme celles qui sont applicables à la puntiforme en remplaçant dans les premières & 2 par — 5 2 .
y La forme de la courbe, indiquée dans la figure 61, peut être
Fig. 61
obtenue aisément au moyen des équations
bx
3 a 2 bx
elle est composée de deux branches infinies, symétriques par rapport aux axes des coordonnées, qui se coupent au point 0, où elle a un point d'inflexion double; les droites AC et BD, dont les équations sont x = ±a^ en sont des asymptotes, ainsi que les droites imaginaires déterminées par les équations y = i:ib; à chacun de ces couples d'asymptotes correspondent deux points d'inflexion doubles, situés à l'infini ; les tangentes au point forment avec l'axe des abscisses des angles dont la tangente
trigonométrique est égale à + — . On voit aussi aisément que
la méthode pour tracer les tangentes à la cruciforme exposée au n.° 297 est aussi applicable à la puntiforme. La valeur du rayon de courbure au point (x, y) est déterminée par la formule
(J*aj6 + « 4 » 6 ) N 3 £V 3a 2 è 2 x 5 y 6 3a 2 ?/ 8
Les propriétés des tangentes à la cruciforme démontrées aux n. os 299 à 302 ont aussi lieu dans le cas de la puntiforme, ainsi :
1. ° C'est condition nécessaire et suffisante pour que quatre des points de contact des tangentes à la puntiforme issues d'un point donné (a, |3) soient situés sur une même droite, que ce point soit placé sur la courbe. Cette droite passe aussi par les points ( — a, 0) et (0, — P).
La polaire du point (a, |3) est formée par cette droite et par l'hyperbole représentée par l'équation
et le rayon de courbure Ri de cette hyperbole et celui de la quartique considérée au
point (a, ;3) sont liés par la relation R = — -Ri.
2. ° L'enveloppe de la droite passant par les quatre points de contact des tangentes à la puntiforme issues d'un point variable de cette courbe est une hyperbole, qui coïncide avec celle qui a été employée pour définir cette quartique,
3. ° Les six points de contact des tangentes à la puntiforme issues d'un point non situé sur la courbe sont placés sur une conique.
On voit aussi aisément que la puntiforme et l'hyperbole dont elle dérive sont liées par les mêmes relations qui, d'après ce qu'on a vu aux n. os 303 et 304, lient la cruciforme et l'ellipse dont elle dérive, et que l'équation tangentielle de la puntiforme est
JL i.
(au) 3 — (bv) 3 = 1.
3G6. Voyons maintenant le rôle que les quar tiques qu'on vient de considérer jouent dans la théorie générale des quartiques ayant trois noeuds et à chaque noeud deux points d'inflexion. Considérons une (G) de ces courbes et rapportons son équation à un triangle de référence dont les côtés passent par ses noeuds.
La droite x\ = doit couper la quartique considérée en quatre points, dont deux coïncident avec le sommet de ce triangle où a?i = et yi = 0, et deux autres avec le sommet où X{=0 et #4 = 0; donc l'équation de la courbe doit se réduire à Ayl z\ quand on y fait xi = 0. De même, l'équation de la courbe doit se réduire à T$z\x\ quand on fait yi = et à Gx]y\ quand on pose Zi = 0. L'équation cherchée doit donc avoir la forme
Ky\ z\ + Bx\ z\ + Gx\ y\ + Dx\ y, z { + Ex, y\ z, + Fx, y t z] = 0.
Cette équation représente toutes les quartiques ayant trois points doubles; cherchons les conditions pour que la courbe ait à chacun de ces points deux inflexions. Remarquons, pour cela, que les droites qui passent par le sommet (a?i=0, yi = Q) ont pour équation y is =kxi et que chacune de ces droites coupe la courbe en quatre points, correspondants aux quatre
valeurs de xi données par l'équation
x\ [( Afc» + Fk + B)z\ + Qfê x\ + (D + EJfe) kxi z L ] = ;
et que pourtant la condition pour que deux de ces droites coupent la quartique en quatre points coïncidents, est que les racines des deux équations
Aft 2 + FÀ; + B = 0, (Eft + D)& =
coïncident; ou, en remarquant que la droite yi==0 ne peut pas satisfaire à la question et que par suite k ne peut pas être nul, qu'on ait
On trouve de même que les conditions pour que la quartique ait à chacun des autres sommets du triangle deux inflexions sont celles qui précèdent et, en autre, F = 0. L'équation de la courbe (C) est donc
(3) Ay\ z\ + Bx] z\ + Cx] y\ = 0.
Cela posé, supposons premièrement que les noeuds de la courbe (C) sont tous réels. Dans ce cas les constantes A, B et C sont aussi réelles et ne peuvent pas avoir un même signe. En
posant alors x = — , y = on obtient l'équation
(4) CxY + B# 2 + Ai/ = 0,
qui représente une cruciforme, quand A et B ont les mêmes signes, et une puntiforme, quand ces constantes ont des signes contraires; et, en posant x = -^- , y = —-^ on obtient 1 équation
Bxy + Qx* + Ay% = 0,
qui représente une cruciforme, lorsque A et C ont les mêmes signes, et une puntiforme dans le cas contraire. Il en résulte que la cruciforme peut représenter la perspective réelle des quartiques à trois points d'inflexion doubles réels ; et que la puntiforme jouit de la même propriété. Supposons en deuxième lieu que deux des noeuds de la quartique (C) sont imaginaires. Alors les coefficients de l'équation (3) sont imaginaires, ainsi que ceux de l'équation (4); mais on peut dans ce cas déterminer une lemniscate de Bernoulli réelle qui est une perspective de (C). En prenant, en effet, pour côté des zi dans le triangle de référence la droite réelle
qui passe par les deux points doubles imaginaires, les coefficients et de l'équation (3)
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sont deux nombres imaginaires conjugués, ainsi que xi et yi, et en faisant —p + iq, 33 x\ ii\
-7^=p — iq, — = X + iY, — = X — on obtient l'équation L/ Z\ Zi
(X 2 + Y 2 ) 2 + 2p (X 2 - Y 2 ) - 4q XY = 0,
qui correspond à une lemniscate de Bernoulli, comme on le voit aisément au moyen d'une transformation des coordonnées. Cette lemniscate représente donc dans ce cas une perspective réelle de la courbe (C).
307. Comme conséquence de ce qui précède on peut généraliser à toutes les courbes ayant trois points d'inflexion doubles les propriétés projectives de la cruciforme et de la lemniscate de Bernoulli. On trouve ainsi, par exemple, les résultats suivants, donnés en partie par Laguerre dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (2. e série, t. XVII, 1878, p. 337):
1. ° Les courbes considérées ne peuvent pas avoir trois noeuds réels; elles ont deux noeuds réels et un point isole, ou deux noeuds imaginaires et un noeud réel. Dans le premier cas, le point isolé est situé à l 'intersection des diagonales du quadrilatère formé par les tangentes aux deux noeuds; dans le deuxième cas, le noeud réel est situé à l'intersection des diagonales du quatrilatère formé par les tangentes aux deux autres noeuds.
2. ° Les quatre points de contact des tangentes à une quelconque des mêmes quartiques, issues d'un point (a, |3) situé sur la courbe, sont placés sur une même droite; et V enveloppe des droites qiion obtient ainsi est une conique.
On peut déterminer aisément la droite qu'on vient de considérer, quand le point (a, (3) est donné, par la méthode suivante, qui résulte de ce qu'on a dit aux n. os 299 et 209. Si la courbe possède un point isolé, traçons la droite passant par ce point et par le point (a, p) ? et ensuite menons par l'autre point où cette droite coupe la courbe, deux droites passant par les noeuds de la même courbe ; ces droites coupent celles qui passent par ces mêmes noeuds et par le point isolé en deux points de la droite cherchée. Si la courbe a deux noeuds imaginaires, on doit remplacer dans ce qui précède le point isolé par le noeud réel.
3. ° Les six points de contact des tangentes menées à la même quartique d'un point non situé sur la courbe, sont placés sur une même conique.
La quartique piriforme. Les quartiques de Wallis.
308. On donne le nom de quartique piriforme à la courbe définie par l'équation
VOL. IV Lti
courbe qui est comprise entre les sections du cono-cuneus, conoïde spécial considéré par Wallis, dont nous nous occuperons bientôt. Cette quartique fut étudiée par Ossian Bonnet dans un article inséré aux Nouvelles Annales de Mathématiques (1844, p. 75), ensuite par M. Brocard dans la Nouvelle Correspondance (t. vi ; 1880, p. 91, 121 et 213) et dans le Mathesis (t. m, 1883, p. 23, 116 et 191), par M. Mister dans le Mathesis (t. i, 1881, p. 78 et 128); le cas particulier où b = a avait été considéré par Sluse et Huygens en des lettres adressées par l'un à l'autre en 1657 et 1658 (Oeuvres de Huygens, t. n, p. 122, 124, 135, 144 et 149), où ils se sont occupés de sa quadrature et de la cubature du solide qu'elle engendre en tournant autour de son axe.
On voit aisément, au moyen des équations
1 , / — ; 7 , ?>ax* — 4a? 2
que la courbe a la forme indiquée dans la figure 62. Elle a un axe AAi, un point de re-
broussement A à l'origine des coordonnées, et un sommet Ai, dont les coordonnées sont (a, 0); les coordonnées des points Mi et Ni, où les tangentes sont parallèles à l'axe mentionné, sont
-j- a, et ^ es coorc ^ onn ® es ^ es P°i nts
d'inflexion sont déterminées par l'équation de la courbe et par celle-ci :
8a? 2 — 12ra + 3a 2 = 0,
d'où il résulte que la courbe possède deux points d'inflexion imaginaires, et deux points d'inflexion p. £2 réels ayant pour coordonnées
Ml
