C II

Pour étudier les points de la courbe situés à l'infini, posons x= ^~^ri V ^ ~ v~ ^ ans son équation et développons ensuite Y suivant les puissances de X ; on trouve

d'où il résulte que la quartique considérée a à l'infini deux points isolés coïncidents,

309. La quartique piriforme peut être construite aisément comme on va le voir (GL de Longchamps : Essai de la Géométrie de la règle, 1890, p. 131).

Considérons une circonférence ABAi de rayon égal à -^-a avec le centre en C, et sur

cette circonférence prenons un point A ; ensuite traçons une perpendiculaire HB au diamètre AC, passant par un point H dont la distance à A soit égale à 6. Cela posé, menons par A une droite arbitraire AM, par le point où elle coupe HB une parallèle MP à AC et par le point P où MP coupe la circonférence une perpendiculaire PR à AC ; la droite AM détermine par son intersection avec PR un point Q de la quartique considérée.

En effet, en prenant A pour origine des coordonnées et AC pour axe des abscisses, on a les relations

FW = x(a-x), PR = MH = h tang MAH = ~ ?

dont résulte l'équation de la courbe.

La construction précédente équivaut évidemment à considérer la quartique piriforme comme un antïhyperoolisme du cercle ABAi par rapport à la droite BH (n.° 114).

On peut aussi construire très facilement les tangentes à la même quartique en se basant sur le théorème suivant, qui est une conséquence du théorème général démontré au n.° 114:

Les tangentes au cercle ABAi et à la quartique aux points P et Q rencontrent la droite MR à un même point.

310. La valeur de Taire limitée par un arc de la quartique piriforme, par Taxe des abscisses et par une parallèle à Taxe des ordonnées est donnée par la formule

A = -j- J x % (a — x) 1 dx,

d'où il résulte

~x(a — x) a , , a" 2 " 1 ./—; : . a 3 / x le

3 — + T (a - ^ ~ "8"J i a ~ x ) + 83" VT arctai) s y -

La valeur de l'aire limitée par la courbe est donc égale à

Le volume du solide engendré par la courbe considérée en tournant autour de l'axe AA* est déterminé par la formule

Le volume Vi du solide engendré par le parallélogramme circonscrit à la même courbe

27 cfîiz V 64

en tournant autour du même axe est égal à 2~56~p~ > donc = y^r (Huygens, 1. c,

311. La quartique piriforme appartient à une classe de quartiques rencontrées par Wallis en cherchant les sections du cono-cuneus, et que par ce motif nous appellerons quartiques de PFallis. Cette surface, à laquelle cet éminent géomètre a consacré un écrit paru en 1685 {Opéra mathematica , t. Il, p. 683), est un conoïde droit dont les directrices sont un cercle et une parallèle D au plan de ce cercle, située sur un plan perpendiculaire à celui-là, passant par le centre du même cercle. En prenant pour plan xy, xz et yz, respectivement, le plan du cercle, le plan qui passe par son centre et par la droite D, et le plan perpendiculaire à cette droite passant par l'un des points où le cercle est coupé par le plan xz, les équations du cercle sont

-f - y- — ax = 0, 2 = 0,

et les équations de la droite D sont 2/ = 0, z = b. Les équations de la génératrice du conoïde considéré, c'est-à-dire les équations d'une droite parallèle au plan yz coupant ces deux lignes, sont donc

œ=a, + % a et p étant deux constantes vérifiant la condition

En éliminant maintenant a et j3 entre ces relations, on obtient l'équation du conoïde considéré, savoir

Cela posé, si l'on coupe ce conoïde par un plan perpendiculaire au plan diamétrale xz, représenté par l'équation

z = kx- J r l = x tang co + l,

<o représentant l'angle du plan de la section et du plan xy, on obtient une courbe dont la projection sur le plan xy a pour équation

et qui est par conséquent une quartique piriforme quand l = b.

On obtient aisément l'équation de la section envisagée, rapportée aux droites qui résultent de l'intersection de son plan avec ceux des xz et yz, prises respectivement pour les axes des X et Y, en remarquant qu'on a

y = Y, x = X cos to ;

et par conséquent l'équation des quartiques de Wallis est

X 2 (X sin (o + 1 - bf cos 2 03 + 6-Y 2 - aX (X sin co + l - 6) 2 cos co = 0,

et représente une quartique piriforme lorsque Z = S, c'est-à-dire quand le plan de la section coupe la droite D à l'un des points dont la projection sur le plan xy tombe sur la circonférence du cercle directeur du conoïde.

Il est géométriquement évident que, si le plan de la section coupe la même droite à un point qui se projette sur le plan xy à l'intérieur du cercle envisagé, la courbe correspondante est composée de deux ovales ayant un point commum, où elle a un noeud à deux inflexions, et que, si le point considéré se projette à l'extérieur du cercle, la courbe est composée d'un ovale et d'un point isolé. Ce noeud et ce point isolé sont situés sur la droite D. La même courbe a encore, en tous les cas, deux points doubles coïncidents à l'infini, et elle est par conséquent unicursale.

Nous remarquerons encore que la condition pour qu'une quartique de Wallis ait deux axes, c'est que le plan de la section coupe la droite D à un point qui se projette au centre du cercle directeur du conoïde. Pour obtenir l'équation de cette courbe, remarquons que l'équation do cono-cuneus, rapportée à des axes parallèles aux axes primitifs passant par le point d'intersection de la droite D avec le plan de la section, est

et que l'équation de ce plan prend alors la forme z = x tango. L'équation de la section, rapportée aux droites qui résultent de l'intersection de son plan avec les plans des xz et yz, est donc

46 2 Y 2 = X 2 sin 2 2to(- T -Si X 2 V

\4sm 2 to /

et pourtant la quartique de Wallis à deux axes est identique à la parabole virtuelle considérée au n.° 289. Cette identité d'une des sections du cono-cuneus avec une courbe qui avait été déjà envisagée par Grégoire de St-Vincent, n'a pas été remarquée par Wallis.

Nous ajouterons encore à ce qui précède une propriété de toutes les quartiques de Wallis qui n'a pas encore été remarquée : elles sont les antihyperbolismes d'un cercle, situé dans le plan de la section, par rapport au point où ce plan coupe la droite D.

Soit, en effet, c la valeur que prend x au point où le plan de la section coupe la droite et rapportons l'équation du conoïde à des axes parallèles aux axes primitifs passant par ce point. L'équation de cette surface et celle du plan de la section prennent alors la forme

(x -f- c) 2 z 2 + 6 2 z/ 2 — a(x-\- c) £ 2 = 0, z = x tang co,

et l'équation de cette section, rapportée aux droites qui résultent de l'intersection de son plan avec les plans des xz et des yz, est

X 2 (X cos co + c) 2 tang 2 o> -f ô 2 Y 2 — aX 2 (X cos a> + c) tang 2 m = 0.

En faisant maintenant

X«Yisinu> A = Ai, x = 7 5

on obtient l'équation

a- 2c J 2 cos m

qui représente un cercle réel.

Il résulte de la proposition qu'on vient de démontrer et des théorèmes démontrés au n.° 114 une manière de tracer toutes les quartiques de Wallis et leurs tangentes.

312. L'équation de la quartique piriforme est un cas particulier de celle-ci, rapportée à des axes de direction arbitraire :

kx u + Bax*y + Dec 3 + Ca V + Eœcy + Fcc 2 = 0,

qui résulte de l'équation