AX 2 + BXY + CY 2 + DX + EY + F

en y posant

et qui représente donc les antihyperbolismes des coniques (n.° 118).

L'équation qu'on vient d'obtenir représente une courbe du quatrième ordre quand A et C sont différents de zéro ; cette quartique a un point double à l'origine des coordonnées et deux points doubles coïncidents à l'infini ; elle est pourtant unicursale. Les paraboles représentées par l'équation

y = (B±»/B 4 — 4AC) x* en sont deux asymptotes courvilignes.

313. Nous profiterons cette occasion, où nous avons été menés à parler des antihyperbolismes des coniques, pour compléter la doctrine qui se rapporte aux hyperholismes des mêmes courbes. On a vu aux n. os 115 et 116 que l'hyperbolisme d'une conique est une autre

conique, une cubique ou une quartique et que l'équation de cette quartique est

(2) » V + Bax ^ + Ga V + Da ^ + Ea V + Fct2 = °>

la conique correspondante étant représentée par l'équation (1), où nous supposerons A = 1, et les axes des coordonnées étant orthogonaux ou obliques. Or, l'équation (2) peut être réduite à

une forme plus simple, en transportant l'origine des coordonnées au point ^ — ~ Ba, 0^ , savoir :

(3) a V + H f + Kx V + L?/ + M = 0, où

(4) H=--|-(B 2 -4C), K = DA ? M = Fa 2 , L = y(2E-BD).

Si l'équation (3) est donnée et si l'on veut chercher la conique dont elle est un hyperbolisme, on peut employer les équations (4), qui déterminent les coefficients d'une infinité de coniques qui résolvent la question. Nous allons chercher les conditions pour qu'une de ces courbes soit un cercle.

L'équation du cercle, rapportée à des axes parallèles à ceux dont dépend l'équation (3),

est

(X — xCf + (Y —y if + 2 (X — Xi) (Y — y { )cosco==R 2 ,

yi) étant les coordonnées du centre, R le rayon et co l'angle des axes. Les conditions pour que la courbe considérée soit un hyperbolisme de ce cercle sont donc

H = a 2 sin 2 co, K = — 2a (xi -\-yi cos co), L = — 2a 2 yi sin 2 co, M == — a 2 [R 2 — x\ — 3/ 2 — 2xi yi cos a>] .

La première de ces équations détermine a, la deuxième et la troisième déterminent xi et yi, et la dernière détermine ensuite R. On voit donc qu'il existe deux cercles dont la quartique considérée est un hyperbolisme, et que ces cercles sont réels quand

H > 0, a 2 (x\ + y\ + 2xiy { cos co) > M.

Le point par lequel passent les axes auxquels le cercle est rapporté passent par le point dont les coordonnées, rapportées aux mêmes axes que la quartique donnée, sont (acosto, 0). En posant F = 0, et par conséquent M = 0, on retrouve un théorème démontré au n.° 116. Nous avQns exposé la doctrine relative aux hyperbolismes de quatrième ordre des coniques, qu'on vient de voir, et la doctrine relative aux hyperbolismes de troisième ordre des coniques qu'on trouve aux n. os 115 à 118 dans un écrit inséré aux Annaes scientificos da Academia Polytechnica do Porto (t. n ? p. 119).

La courbe du diable.

314. On a donné le nom bisarre de courbe du diahle à la quartique représentée par l'équation

laquelle fut considérée par Cramer dans Y Introduction à l'Analyse des lignes courbes (1750, p. 19), par Lacroix dans le Traité élémentaire de Calcul différentiel et intégral (1837 , p. 158), par Briot et Bouquet dans la Géométrie analytique (2. e éd., p. 197), par Laurent dans son Traité d'Analyse (t. n ; p. 185), etc. L'équation polaire de la même courbe est

cos 2 6 cos 26

On voit aisément au moyen de cette équation que la courbe considérée a la forme indiquée dans la figure 63. Elle est symétrique par rapport aux axes des coordonnées et est composée de deux branches infinies coupant l'axe des abscisses aux points A et A ; , où p = + 1 a, et ayant pour asymptotes les droites OB et OC, qui forment avec cet

axe des angles égaux à et d'une branche finie coupant l'axe des ordonnées aux points D etD', où p = a[/96 f et ayant un point d'inflexion double à l'origine 0; les tangentes à la courbe en ce point forment avec l'axe des abscisses des angles dont la valeur 6i est déterminée par l'équation 24 = 49 cos 2 0{. Les droites passant par l'origine coupent la courbe en deux points réels, placés sur les branches infinies, et en deux points imaginaires, quand l'angle qu'elles forment avec OA est compris entre et ~; elles coupent la courbe en deux points situés sur la branche finie et en deux points imaginaires, quand l'angle

TU

considéré est compris entre Oi et — , et ne coupent pas la courbe en des points réels dans les autres cas.

Fig. 63

Pour déterminer les points où la tangente est parallèle aux axes, on peut recourir à l'équation

, x (ce 2 -50a 2 )

d'où il résulte que la tangente est parallèle à Taxe des abscisses aux points réels D et D', et aux points imaginaires correspondants aux valeurs + 5a \/2 de l'abscisse, et qu'elle est parallèle à l'axe des ordonnées aux points A et A', et aux points E, E', F, F', situés sur les droites correspondantes aux équations ?/ = + 4aV // o. Les tangentes à la courbe aux points A, A ; , D et forment un rectangle dont les sommets coïncident avec des points de la courbe.

315. La valeur de l'aire comprise entre un arc de la courbe considérée et deux droites passant par le centre et les extrémités de cet arc est déterminée par la formule

1 r°* * m ao *m /m a \ (sen2fl A -l)(8en2fl +l) = tt / 9 dû = 49 a 2 (0i — fl ) log ) — — — — u . ; •

2 J v v 4 & (sen20i+ l)(sen2 o — 1)

Le foliioii simple on ovoïde.

On a donné le nom de folium simple et celui d'ovoïde à la courbe ayant pour équation polaire

(1) p = acos 3 et pour équation cartésienne

(2) (x* + y*)* = ax*.

Cette courbe, d'après M. Archibald (Inaugural-Dissertation. Strassbourg, 1900, p. 15), fut étudiée par Viviani dans un écrit intitulé: Quinto libro di Euclide etc. (Firenze, 1647) et fut considérée aussi par Maclaurin dans sa Geometria organica (1720, p. 113). La même quartique fut étudiée, plus tard, par Gr. de Longchamps dans la Géométrie de la règle (1890, p. 126), par M. Brocard dans le Journal de Mathématiques spéciales (1891, p. 85), par Wittstein dans les Archiv der Mathematik (2. e série, t. xiv, 1895, p. 109), etc.

On voit aisément, au moyen de Tune de ces équations, que la courbe considérée est formée d'un ovale OKO' (fig. 64) ayant pour axe 00', et que la longueur de cet axe est égale à a. Les droites passant par coupent la quartique en trois points coïncidant avec 0, et ce

VOL. IV MM

point est par conséquent triple; les trois tangentes à la courbe à ce point coïncident avec

Taxe des ordonnées.

*] En différentiant l'équation (2), on trouve

4x7/2/ f = 3 y® — x 2 , d'où il résulte que les coordonnées des points où

la tangente est parallèle à Taxe de la courbe sont 9 3 — \ 16 a > 16

317. Le folium simple peut être construit jplg Q4 aisément de la manière suivante (Gr. de Long-

champs, 1. c). Prenons deux points et 0' ; dont la distance soit égale à a; tirons ensuite par le point une droite quelconque OK, et par le point 0' une perpendiculaire O'M à OK. Par le point M, qu'on vient de déterminer, menons une perpendiculaire MH à 00' et par le point H qu'on obtient ainsi, une perpendiculaire HK à OM. Le lieu des positions que K prend, quand OM varie, est le folium considéré. En effet, on a, en posant OK = p, KOO' = 0,

p = OH . cos 6 = OM cos 2 = 00' . cos 3 = a cos 3 0.

Les tangentes et les normales au folium peuvent être construites d'une manière facile au moyen des propriétés suivantes de ces droites :