L'aire du folium simple a cette expression

fJ 5 A == a 2 / cos 6 6 dO = ira 2 .

La différentielle des arcs de la même courbe est déterminée par la formule

ds = a cosH (9 — 8 cos 2 0) 2 dd

ou ? en faisant d --=~ — co,

8 \± cfo = — 3a sin 2 co ( 1 — -g- sin 2 co ) 2 c? co.

En posant, pour abréger,

Aco == y 1 — sin 2 to

et en tenant compte de la identité suivante, qu'on peut vérifier directement ou déduire d'une formule connue de la théorie des intégrales elliptiques:

Aco sin 2 co dm = . 4—- + Aco c/co \-d (sin 2co Aco),

Z4 Aco z4 o

on réduit encore l'expression de la différentielle considérée à la forme

do)

ds= ~î

— — -f- 7 Aco c?co Aco

~ ci (sin 2co Aco),

d'où il résulte que calcul de la longueur des arcs du folium simple dépend des intégrales elliptiques de première et de deuxième espèce.

Le folium double ou Mfolium.