La courbe représentée par l'équation polaire

et par l'équation cartésienne (2)

p = cos- 6 (a cos 6 -{-b sin 6) (x? + y^f — x % (ax + by)

fut nommée par G. de Longchamps folium double dans un article inséré en 1886 au Journal de Mathématiques spéciales et dans son Essai sur la Géométrie de la régie (1890, p. 122). Cette quartique représente la solution du problème suivant, proposé en 1869 dans les concours pour l'admission à l'École Polytechnique de Paris: chercher le lieu des projections du sommet de l'angle droit d'un triangle rectangle isocèles sur les axes des paraboles tangentes aux trois cotés du même triangle {Nouvelles Annales de Mathématiques, 1869, p. 378); problème étudié ensuite par G. de Longchamps dans le travail mentionné ci-dessus et par M. Brocard dans deux articles insérés au Journal de Mathématiques spéciales (1887, p. 66; 1891, p. 108).

On peut construire aisément la courbe considérée par la méthode suivante, donnée par le premier de ces géomètres.

Prenons deux droites formant un angle droit AOB (fig. 65) et sur ces droites deux

segments OA et OB, respectivement égaux à a et b. Par les points A et B traçons les droites AM et BM, perpendiculaires l'une à l'autre ; par le point M, où elles s'interceptent, menons la droite MH, perpendiculaire à AO, et par le point II la droite HK, perpendiculaire à AM. Le lieu K/ j décrit par K, quand AM varie, en tournant autour de A,

est le folium double.

En faisant, en effet, AK=p, KAH = 0, on trouve

Fig. 65*

p = AH cos = AM cos 2 6 = (AO cos + OB sin 6) cos 2 0.