En posant dans l'équation

; — k sin <

b = k cos i

on obtient cette autre :

p = k cos 2 6 sin (0 + cd),

d'où il résulte que, si les nombres a et b sont positifs, la courbe a la forme indiquée dans la

figure 66. L'arc ABO correspond aux valeurs de 6 comprises entre et l'arc OCDO cor-

respond aux valeurs de comprises entre et 71—03; et l'arc OEA correspond aux valeurs

du même angle comprises entre % — co et 7t; aux autres valeurs de 6 ne correspondent pas de points distincts de ceux qu'on vient de mentionner. Le segment OA est égal à a. La quartique a un point triple à 0, où sont réunis un point de rex broussement formé par les arcs OB et OC, tangents à l'axe des ordonnées, et un point simple de l'arc DOA ; la tangente à cet arc au point fait avec l'axe des abscisses un angle égal à — a). ■pi qq En différentiant l'équation (2), on voit que les

points B, C et E, où les tangentes sont parallèles à l'axe des abscisses, sont situés sur le cercle ayant pour équation

4 (ce 2 + ?/ 2 ) — 3 ax — 2by = 0;

ce cercle passe par le point triple et les coordonnées du centre sont ^-jj- a, -^-b

321. Le folium double est une courbe unicursale. En faisant, en effet, dans l'équation (2) y == fx ? on trouve

a-\-bt t(a-\-bt)

On voit au moyen de ces relations que les valeurs que t prend aux points E, B et C, où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, sont déterminées par l'équation

2fo 3 + 3a£ 2 — 2bt — a = 0,

et que les valeurs que prend la même variable aux points D et F, où la tangente est perpendiculaire à cet axe, sont données par celle-ci :

322* L'aire balayée par le vecteur d'un point du bifolium, quand 6 varie depuis

jusqu'à ô, est déterminée par la formule

cos 4 sin 2 (0 + o>) dd