La courbe dont l'équation polaire est
p = 4a cos (20 — oo) cos (6 — w)
fut nommée trifolium par Gr. de Longchamps et étudiée par ce même géomètre dans son Traité de Géométrie analytique (1884, p. 512), dans un article inséré au Journal de Mathématiques spéciales (1887, p. 203 et 220), et plus tard dans son Essai sur la Géométrie de la régie (1890, p» 125). La même courbe fut aussi étudiée par M. Brocard dans deux articles insérés au Journal de Mathématiques spéciales (1887, p. 68; 1891, p. 32, 56, 80, 106, 123 et 177) et dans un autre article publié dans El Progreso matematico (t. il, p. 271). Si cd = 0, le folium est dit droit; dans les autres cas il est dit oblique. Le problème qui a amené Gr. de Longchamps à s'occuper de l'étude du folium fut celui de la recherche de la podaire de Yhypocycloïde à trois rebrous sèment s par rapport à un point quelconque du cercle tritangent; on verra, en effet, au chapitre consacré à cette dernière courbe que cette podaire est un trifolium. M. Brocard a été conduit à s'occuper de la même courbe par un autre problème qu'on va voir.
Considérons une circonférence de centre (fig. 67) et de rayon égal à a, un point P de cette circonférence et une droite OL. Traçons par le point P la droite variable PR, et par le point R où elle coupe la circonférence, la droite RS parallèle à la droite fixe OL. Ensuite prenons sur la droite RS, à partir des points où elle coupe la circonférence, les segments RM, RM 7 , 8m et Sm', égaux à PR. Cela posé, cherchons le lieu décrit par les points M, M ; , m, ml , quand PR varie, en tournant autour du point fixe P.
Traçons par P la droite PLi, parallèle à OL, et représentons par to l'angle LOQ, par Y K TJ l'angle MPO et par p le segment
" JA » RPM = RMP = MPLi
L = MPO - LiPO = — co,
Fig. 67
RPLi = 2MPLi = 2(0-co), PR = 2a cosRPO = 2acos(RPL| + to) = 2a cos (20— - o>),
et par conséquent
p = PM = 2PR cos (0 — o>) = 4a cos (0 — co) cos (20 — to).
Le lieu cherché coïncide donc avec le trifolium.
L'équation qu'on vient d'obtenir peut être mise sous la forme
(j = 4a cos 6' cos (20' + co),
en posant 6 — co = 0', et on en déduit 1 ? <
équation cartésienne de la courbe:
(# 2 + y^f = 4aa? (a? 2 — ?/ 2 ) cos c> — 8ax 2 y sin co,
P étant l'origine des coordonnées, PL* l'axe des abscisses et la perpendiculaire à cette droite au point P l'axe des ordonnées.
324* Comme conséquence de la manière d'engendrer le trifolium qu'on vient d'exposer, on obtient aisément la propriété suivante de cette courbe, signalée par M. Brocard:
Chacune des tangentes au cercle PQR parallèles à la droite OL, est aussi tangente au trifolium en deux points êquidistanis de ses points de contact avec le même cercle.
En effet, si la droite SR se meut, en se conservant parallèle à PLi, et devient tangente au cercle PSR au point K, les points S et R tendent vers K et la droite PR tend vers PK; et, puisque les segments RM et Sra sont égaux à PR, les points de la courbe M et m tendent vers un même point U, situé sur la tangente KT au cercle considéré, et tel que KU = PK ; cette droite est donc tangente au trifolium au point U. De même, la droite KT est tangente au trifolium au point V, où KV = PK.
325. Voici encore une autre propriété remarquable du trifolium, démontrée aussi par M. Brocard:
Les points, différents de P, où le cercle PKR coupe le trifolium sont les sommets d'un triangle êquilatere.
En effet, les points d'intersection du cercle considéré avec le trifoliurn sont déterminés par l'équation p = 2acos# de ce cercle et par l'équation (1), qui peut être mise sous la forme
p = 2 a cos 6 + 2a cos (30 — 2io) ;
les valeurs que 6 prend à ces points sont donc données par l'équation (le point P étant exclu)
cos [36 — 2co) = 0,
d'où il résulte
= 3O° + |-co, 90° + y eu, 150° + |-co, 210° + 1- cû.
Les valeurs des angles formés par PO avec les droites qui passent par le centre du cercle et par les points de son intersection avec la quartique considérée sont par suite
60° + A œ? 180° + A «o, 300° + ^-to, 420° + i-co 5
et la différence entre deux de ces valeurs consécutives est par conséquent égale à 120°. Le dernier point coïncide donc avec le premier, et les trois premiers divisent la circonférence du cercle considéré en trois parties égales.
326. La forme de la courbe considérée peut être obtenue aisément au moyen de l'équation (2), comme on va voir.
Supposons, pour fixer les idées, qu'on ait <o < L'équation (2) (fig. 68) fait voir que, quand d 1 varie depuis jusqu'à — ~- } p varie depuis 4a cos to jusqu'à 0; l'arc correspondant de la courbe est ABP. Quand ff
varie depuis —
jusqu a -—, p est négatif et sa valeur absolue varie depuis jusqu'à une certaine limite supérieure et décroît ensuite jusqu'à 0; l'arc correspondant de la courbe est PDEFP. Aux g valeurs de ! compri-
ses entre — et — — correspond l'arc PGHKP, et aux valeurs de 6' comprises entre
— % — —et x correspond Tare PLA. Aux valeurs de 6 r supérieures à tc ne correspondent pas
de points de la courbe différents de ceux qui précèdent.
On conclut de ce qui précède que la quartique considérée a un point triple à P, et que
les trois tangentes à ce point forment avec l'axe des abscisses des angles égaux à ~
— , — r— tc — . Une des tangentes à la quartique au point triple coïncide donc avec Vaxe des
ordonnées et les deux autres sont perpendiculaires l'une à Vautre (Brocard).
Le trifolium a deux bitangentes réelles, HB et EL, parallèles à Vaxe des abscisses (n.° 324); les valeurs que & prend aux points de contact sont déterminées par Féquation
qui résulte de la formule
et elles sont donc
cos (4co ; + co) = 0,
dy cos (40 ; -f 03)
dx 2 cos r sin (30 1 -f o>)
On voit par la même formule que les valeurs que 6' prend aux points où la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées sont
TU 03 2x 03
327. Avant de terminer cet article, nous allons considérer spécialement le folium droit, pour indiquer un mode d'engendrer cette courbe qui n'a pas encore été remarqué, je crois.
Prenons sur une droite trois points A, B et C et traçons un cercle ayant pour diamètre le segment AB ; ensuite menons par le milieu du segment BC deux tangentes à ce cercle. Le lieu des positions que prennent les points de contact de ces tangentes, quand le point B varie, A et C restant fixes, est le trifolium droit.
En effet, en représentant par 4a la distance des points À et C, par b le rayon du cercle et par (a?, y) les coordonnées des points de contact des tangentes considérées, rapportées à la droite AB, prise pour axe des abscisses, et à la perpendiculaire à AB passant par A, prise pour axe des ordonnées, et en remarquant que l'abscisse du milieu de BC est égale à b + 2a, on a
x % + 3/ 2 - 2bx 0, y 2 = (x - b) (b + 2a - x), et, en éliminant b entre ces équations,
(x 2 -p y-j 2 = 4ax [x? — y 2 ).
VOL, IV
NN
Les qxiartiques de M. Kuiz-CastizOo
