En posant en (3) tl ~t% = ti, on obtient l'équation
3^ + il = — 2 tang a,
qui détermine un des points où le cercle oscillateur de la cissoïde touche on coupe cette courbe, quand on suppose l'autre connu.
5. ° Les cercles oscillateurs en quatre points t^ £3, il) de la cissoïde situés sur un même cercle coupent cette cubique en quatre autres points (61 ? #2, 63, 64) situés aussi sur un même cercle.
On a, en effet,
3t[ -f 0-i = — 2 tang a, + 02 = — 2 tang a, ...
cos ci (9 -j- tang- a)
et par suite
0i + 2 + 6 3 + 04 = — 2 tang ce.
6.° Les cercles oscillateurs en trois points ^, £3) s^es sur une même droite coupent la cissoïde en trois autres points (0i, 02, 63) sî^es sur une cercle qui passe par le point où elle est coupée par son asymptote.
On a, en effet,
3*i + 0i = — 2 tang a, 3£ 2 + 0^ = — 2 tang a, 3^ 3 + 3 = — 3 tang a, et par suite, en ayant égard à (2),
01 + h + 03= — 3 tang a.
Mais, le cercle qui passe par les points (0j, 02 9 03) coupe la cubique à un point 04 tel que
01 + 02 + 03 + 04 = — 2 tang a.
Donc, on a 04 = — tang a.
17. Il est facile de voir qu'on peut donner à l'équation des tangentes à la cissoïde la forme suivante:
(cos a + 2t sin a + 3t~ cos a) X + (sin a — t 2 s in a — 2tf 3 cos a) Y = 2a.
Donc, si par le point -(sci, 3/1) on mène les tangentes à cette courbe, les valeurs de t aux trois points de contact sont données par l'équation
2fiyi cos a + (yi sin a — 3a?i cos a) £ 2 — 2sci£ sin a + 2a — a?i cos a — yi sin a = 0.
Pour que ces trois points soient sur une même droite, il faut que cette équation coïncide avec l'équation (A), et, par conséquent, qu'on ait
„ 2x\ sin a m sin a + x\ cos a — 2a
2y\ = 71 — 0^1 cot a = — — = . — •
2 au — cos a zav — sin a
De ces équations il résulte d'abord que les points par lesquels on peut mener trois tangentes à la cissoïde dont les points de contact soient sur une même droite, sont places sur la droite issue du point de rehaussement qui a pour équation y — — Suçota (Balitrand : 1. e.).
Les mêmes équations donnent les coefficients u et v de la droite uX. + vY = 1 qui passe
par les points de contact considérés. Cette droite a donc pour équation
3 cos 2 a — sin 2 a ^ ^Axi cos a + a ^ j.
6a cos a 6a cota '
et, par conséquent, eZZé coupe Vaxe des abscisses, c'est-à-dire la tangente au point de rebroussement, en un point qui ne varie pas avec (a? 4, yi) (Balitrand, 1. c).
18. Nous avons vu déjà que la cissoïde coupe son asymptote au point dont le coordonnées sont
„ q a cos <x cos 2a
x= 2a cos* oc, y = : •
' J sm a
En éliminant a entre ces équations, on trouve l'équation de la courbe décrite par ce point quand a varie :
J 2a — ce
laquelle coïncide avec celle de la courbe nommée strophoïde, dont nous nous occuperons plus loin.
19. Soient pi et p2 les segments d'une droite quelconque qui passe par Ci (fig. 2), compris entre ce point et les deux autres points où elle coupe la cissoïde. On a
m représentant la distance de Ci au point double de la cubique.
Cette proposition, extension d'une propriété bien connue des transversales qui passent par un point du plan d'un cercle, est un corollaire d'une autre proposition qui sera démontrée plus tard; mais, si l'on veut, on peut la vérifier déjà en rapportant la courbe à des coordonnées polaires (r, to) dont l'origine soit le point Ci. On trouve ainsi une équation du deuxième degré, par rapport à r, dont les racines ri et r% satisfont à la condition indiquée.
2®. La méthode employée aux n. os 1 et 13 pour construire les cissoïdes peut être étendue à d'autres courbes, comme on va l'indiquer succintement.
Considérons deux courbes Ci et C2, situées sur un même plan, et un point de ce plan et prenons sur chacune des droites L qui passent par 0, un point M tel que le vecteur OM soit égal à la différence OM2 — OMi des vecteurs OM2 et OMi des points Mg et Mi où la droite L coupe C2 et Ci. Le lieu des points M qu'on obtient de cette manière est une courbe qu'on dit cissoïde ou cissoïdale de Ci et C2 par rapport au point 0. Il est évident que, si l'on change les rôles de Ci et C2 dans la définition précédente, en prenant OM = OMi — OM2, on
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obtient la même courbe dans une autre position, symétrique par rapport au point à celle qu'elle occupait dans le premier cas.
Il résulte immédiatement de la définition précédente que, si Fi (pi, 6) = et Fa(p2, 0) = O sont les équations polaires des courbes Ci et Ga, rapportées à 0, comme origine des coordonnées, on obtient l'équation polaire de là cissoïdale de Ci et C2 en éliminant pi et ps entre ces équations et la relation p 02 — pi.
On peut déterminer très aisément la normale à la cissoïdale considérée au point M, quand on connait les normales aux courbes Ci et C2 en les points Mi et M2. L'égalité
cZp C?p2 dpi 1d == 'df~~dd
fait voir, en effet, que la sous-normale polaire de la cissoïdale au point M est égale à la différence des sous-normales polaires des courbes C2 et Ci aux points M2 et Mi. On a déjà employé cette méthode aux n. os 4 et 15 pour déterminer les normales à la cissoïde de Diodes et à la cissoïde oblique.
Il résulte encore de la définition de cissoïdale que, si Mi et Ma coïncident, et M coïncideront aussi et que le segment OM tend vers zéro quand le segment Mi M2 tend vers zéro ; les tangentes à la cissoïdale au point O passent donc par les points d'intersection des courbes Ci et C%. La détermination analytique de ces tangentes est aussi facile, puisque les valeurs des angles qu'elles forment avec l'axe polaire coïncident avec les valeurs de qui annullent p( 1 ).
21. Supposons, en particulier, que C2 représente une droite et prenons pour axe des ordonnées la parallèle à C2 menée par O. On a alors, en supposant que p2 = • ^ ^ est l'équation de C2, que (x,y) sont les coordonnées du point M de la cissoïdale et que (a?i, 3/1) sont les coordonnées du point correspondant de Ci,
x = a — picos#, ?/ = atang0 — pi sin 6, x\ — pi cos 0, yi = pi sin 6 ;
et par conséquent les équations des tangentes à la cissoïdale, au point (se, y) 9 et à la courbe Ci, au point (a?i, 3/1), sont respectivement, en représentant par pi la dérivée de p par rapport à 0,
(pi sin 0— pi cos 6) Y+ (pi sin + pi cos \x= ^ a ? [ ^ °L^^ ,
V 1 cos'ô/ cosd * cos 2
(pi cos d — pi sin 6) Y — ( pi cos 6 + pi sin 0) X = — p^.
(1) Barrow, dans ses Lecciones Geometricae (leçon ix), attribue au mot cissoïdale uce signification différente de celle qu'on vient de voir.
VOL. IV C
On voit au moyen de ces équations que les ordonnées Yi et Y2 des points où ces tangentes coupent la droite C2, sont déterminés par les équations
Y 2api — pi cos — a cos (pi sin + pi cos 0)
(pi sin — pi cos 0) cos
pf — a (pi cos -|- p,j sin 0)
pi sin — pi cos
On a aussi, en représentant par Y3 l'ordonnée du point où la droite qui passe par et par le point (œ } y) de la cissoïdale coupe la droite C2,
Y3 = a tang 0.
Il résulte de ces équations l'identité
laquelle fait voir que la droite qui passe par O et par le point (x, y) de la cissoïdale rencontre la droite donnée en un point êquidistant de ceux où cette droite est coupée par la tangente à la cissoïdale au point (x, y) et par la tangente à la courbe Ci au point (x{ 9 y\).
Ce théorème est dû à Gr. de Longchamps (1. c), qui Ta obtenu par une méthode purement géométrique. Il en résulte une manière très simple de construire les tangentes aux cissoïdales, employée déjà au n.° 5 pour tracer les tangentes à la cissoïde de Dioclès.
On doit remarquer que, comme la cissoïdale déterminée par la condition p = p2 — pi est symétrique, par rapport au point O, à celle qui correspond à l'équation p = pi — p2, la tangente au point (o?, y) à cette dernière courbe passe par le point ( — a, — -Yi), symétrique par rapport au point O à celui où la tangente à la première courbe coupe la droite donnée.
22. Supposons maintenant que C2 représente, comme au n.° précédent, une droite, Ci une conique et O un point de cette conique. On a alors les cissoïdales considérées par M. Zahradnik dans un travail publié au tome LVI, p. 8, des Archiv der Mathematik und Physik, et que, par ce motif, on désigne quelquefois par le nom de cissoïdes de Zahradnik.
Soient
+ + + T>x + Ey = ; ux-\- vy = c.
les équations de la conique et de la droite.
Pour trouver l'équation de leur cissoïdale, représentons par pi et pa les vecteurs, correspondants à la même valeur de l'angle 0, d'un point quelconque de la conique et du point
correspondant de la droite, et éliminons pi et p2 entre les équations polaires de ces lignes :
(A cos 2 + Bsin0cos0 + C sin 2 d) pi + D cos 6 + E sin 6 = 0, (ii cos 6 •+ v sin 6) p2 = c,
et l'équation de définition p = p2 — pi.
On obtient de cette manière l'équation polaire de la cissoïdale considérée, dont on déduit l'équation cartésienne :
(4) (Aœ 2 + Bxy + Gif) (ux + vy)=^c (kx^ + Bxy + Ctf) + ÇDx + Ey) (ux + vy),
au moyen de laquelle on voit immédiatement que la cissoïdale considérée est une cubique unicursale.
Il est facile de voir, en appliquant à cette équation la méthode générale pour trouver les asymptotes des curves, que la droite représentée par l'équation
ux -f- vy — c
est une des asymptotes de la cubique considérée et que les autres sont représentées par l'équation
, D + Ea
a étant donnée par la relation
Ca 2 + Ba + A-0.
En comparant l'équation qu'on vient d'obtenir à celle des asymptotes de la conique donnée:
D + Ea
J B + 2Ca
on conclut que les asymptotes de la cissoïdale considérée sont symétriques à celles de la conique par rapport à l'origine des coordonnées.
Si les deux valeurs de a sont égales, on a B + 2Ga = 0, et par conséquent deux des asymptotes de la cubique sont alors situées à l'infini. Ce cas a lieu lorsque B 2 = 4AC, c'est-àdire quand la conique donnée est une parabole.
Réciproquement, l'équation
(Ai^ 2 + Bixy + Ci?/ 2 ) (uix + viy) = Mb 2 + Bxy + Q3/ 2 ,
qui représente les cubiques qui ont un point double à distance finie, est la cissoïdale de la conique et de la droite représentées par les équations écrites ci-dessus, quand on peut déter- #
miner A, B, C, D, E, w, v et c de manière que les équations
A = Ai ? B = Bi, C = Ci, m = , v = vi, cA + Dw = M, eC + Ev = Q, cB + Du + Eu = P
soient satisfaites, c'est-dire quand la quantité
B.u.v. — A.vf — C.wf 111 il il
est différente de zéro. Si Ton remarque maintenant que cette condition équivaut à celle qui exprime que les facteurs de Aice 2 + B\xy + Ci?/ 2 sont différents de wisc + ^i*/? on peut conclure que £a condition nécessaire et suffisante pour qu'une cubique ayant un point double à distance finie soit la cissoïdale d'une conique et d'une droite c est qu'elle possède, à distance finie, une seule asymptote ou trois asymptotes distinctes (Zabradnik, 1. c).
23. On voit aisément que les angles 6 Q que les tangentes à la cubique (4) au point double forment avec Taxe des abscisses, sont donnés par l'équation
(cC + Et?) tang 2 6 + (cB + Eu + Du) tang d + cA + Du = 0,
laquelle détermine deux droites réelles si la différence
(cB + Eu + Dv)% - 4 (cC + Ev) (cA + Bu)
est positive, deux droites imaginaires quand cette différence est négative, deux droites coïncidentes quand elle est nulle. Dans le premier cas la cubique a, à l'origine, un noeud, dans le deuxième un point isolé et dans le dernier un point de rehaussement. Ces tangentes passent, comme a été dit au n.° 20 et comme, d'ailleurs, Ton peut vérifier aisément, par les points où la droite coupe la conique.
24. Je m'arrêterai quelques moments au cas particulier où la conique devient un cercle, lequel comprend les courbes considérées aux n. os 1 à 19 et quelques autres courbes remarquables qui seront étudiées plus loin; et, en prenant pour axe des ordonnées une parallèle à la droite donnée, je supposerai que les équations du cercle et de la droite sont
x^-^jf — 2<xx — 2$y = } x=c.
Alors l'équation de la cissoïdale est
(5) (x 2 + if) x = c (V 2 + — 2 (ûlx + $y) x,
et cette courbe a un noeud quand la différence
est positive, un point isole si cette différence est négative, un point de rebrous sèment si elle est nulle.
M. Neuberg, qui s'est occupé du tracé mécanique des courbes représentées par (5), dans son opuscule Sur quelques systèmes de. tiges articulées (Liège, 1886), a donné à ces courbes, respectivement, les noms de cissoïde cvunodale, acnodale et cuspidale. Nous adopterons ces désignations, pour abréger le language, et nous nommerons cissoïdes droites celles qui correspondent à p = et obliques toutes les autres.
Las cissoïdes cuspidales droite et oblique coïncident avec les courbes étudiées aux n. os 1 à 19.
25. Dans le cas où la cubique a un noeud, on peut déterminer les rayons de courbure des deux arcs qui le forment, correspondants à ce point, par de la formule
qui donne, en faisant p = 0,
2 dO
de/
1 dp a sin 2 6 — (3 cos 2 6
où Ton doit remplacer o par les valeurs des angles formés par les tangentes à la courbe au point considéré avec Taxe des abscisses. Cette expression de II peut être écrite encore de la manière suivante :
sin(2fl — t)
sin (y-v
t représentant . Fangle formé par le vecteur du centre du cercle avec l'axe des abscisses et a le rayon, d'où il résulte une autre expression que nous allons déduire.
Soient (*) C le centre du cercle Ci, A un des points où la droite donnée C-2 rencontre Ci, ie point double de la cubique, F le point où la droite AC coupe la perpendiculaire OX à C$ et E le nouveau point où elle rencontre le cercle, et D le nouveau point où OX coupe le même
(1) On peut construire aisément la figure avec les indications données au texte.
cercle. La tangente en O à un des arcs de la cubique qui se coupent en est OA et normale correspondante est OE, et on a AOX = O , COX = x et, par suite,
OFE = CFD = AC D - CDF = 2d - 1, FOE = - J - d ;
donc la valeur du rayon de courbure de cet arc, au point O, est donnée par l'égalité
OE
FE
Le cercle oscillateur de la cubique considérée aux points non singuliers peut être obtenu de la manière suivante. Menons la tangente à la cubique au point donné M et par le point où elle coupe cette courbe tirons une parallèle à son asymptote réelle ; la droite ainsi obtenue rencontre la cubique en un nouveau point Mi, et la droite MMi coupe la même courbe aux points M et Mi, et à un nouveau point M2 ; le cercle qui passe par Ma et touche la cubique en M est le cercle oscillateur demandé. Cette construction sera appliquée plus tard à une classe plus générale de cubiques (cubiques circulaires) que nous étudierons, et elle sera alors démontrée.
