L'équation (1) y = + \/ x [ \/ p — ax + \/ r — bx

ou

[j/ 2 -f (a + 5) ce 2 — + = 4sc 2 (p — asc) (r — 6a?), dont nous allons nous occuper maintenant, comprend comme cas particulier l'équation

y = l/ao? + 1/ 2aa? — a? 2 ,

considérée par Cramer dans Y Introduction à V Analyse des lignes courbes, p c 239, et les quartiques rencontrées par M. Ruiz-Castizo, clans un opuscule intitulé: E studio analitico de un lugar geomêtrico de cuarto orden (Madrid, 1889), comme solution du problème qui a pour but de déterminer le lieu engendré par un point d'un segment de droite de longueur constante, quand ce segment se déplace sur un plan de manière que ses extrémités décrivent une droite et une circonférence données.

Dans l'étude succinte que nous allons faire des courbes représentées par l'équation (1), nous supposerons, pour fixer les idées, que les quantités a, b, p et r sont positives et qu'on

a on peut voir aisément que les courbes correspondantes au cas où toutes ces

quantités sont négatives, ou au cas où quelques-unes sont positives et les autres négatives, ont

la même forme que celles qui correspondent au cas où elles sont toutes positives.

Il résulte immédiatement de l'équation (1) que chacune des courbes qu'elle représente est

symétrique par rapport à Taxe des abscisses ; que les parallèles à l'axe des ordonnées passant

par les points dont les abscisses sont comprises entre et — coupent cette courbe en quatre

points réels situés à distance finie; que la droite x— ~ est bitangente à la même courbe;

et que les autres parallèles à l'axe des ordonnées ne la rencontrent pas à des points réels. On voit aussi, au moyen de la même équation, que la quartique considérée possède deux points doubles , l'un situé à l'origine des coordonnées et l'autre déterminé par les coordonnées

lorsque /?>?• ou p<r; ou un point triple, qui coïncide avec l'origine des coordonnées, si p = r.

En développant suivant les puissances de x le second nombre de l'équation (1), on obtient l'égalité

d'où il résulte que les deux tangentes à la courbe au point double coïncident avec l'axe des ordonnées quand p > r ou p<r, et que l'une de ces tangentes coïncide avec l'axe des ordonnées et l'autre avec l'axe des abscisses quand p = r.

Les courbes considérées ont'donc les formes indiquées dans les figures 69, 70 et 71; la

Fig. 69 Fig. 70 Fig. 71

première figure correspond au cas où x\ est compris entre et la deuxième à celui où a:i<0 ou a?j>— , la troisième au cas où p = r. Dans le premier cas la courbe a un tacnode à et un noeud au point (x\, 0), dans le deuxième cas elle a encore un tacnode à et un point isolé ayant pour coordonnées (a?j, 0), dans le troisième cas elle a à un point triple, formé par la réunion d'un point simple et d'un point de rebroussement.

On peut déterminer les abscisses des points où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses au moyen de l'équation

ou par suite

(p — 2axf (r — bx) = (r — 2bxf (p — ax) ; et on peut déterminer les abscisses des points d'inflexion au moyen de l'équation

qui donne

Il résulte de cette dernière formule que la courbe considérée a un point d'inflexion réel et deux imaginaires quand cette valeur de x est comprise entre et — , qu'elle n'a pas de

points d'inflexion quand p — r, et qu'elle a trois points d'inflexion imaginaires dans les autres cas. Il est géométriquement évident que le cas où la courbe a un point d'inflexion réel coïncide avec celui où elle a un point isolé, et que par suite le nombre des points réels où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses est égal à deux ou à quatre.

Les courbes qu'on vient d'étudier peuvent être engendrées par un point M (fig. 72)

d'un segment de droite BD, quand ce segment se déplace de manière que l'extrémité D décrive une conique quelconque donnée ADE et l'extrémité B décrive la droite RRi, perpendiculaire à l'axe AE de la même conique à un point K dont la distance au point A soit égale à la longueur du même segment BD.

Supposons premièrement que la conique donnée soit une ellipse ayant le centre à C, et que les axes de cette ellipse soient égaux à 2a et 2|3 ; supposons encore que est la position iniciale du point mobile M, et qu'on a par censéquent MD-=OA ? MB = KO et BD = KA.

En prenant pour origine des coordonnées le point 0, pour axe des ordonnées la droite OY, parallèle à RRi, et pour axe des abscisses la droite OC, et en représentant par m

Fig. 12

et k les segments KO et KA, on peut mettre l'équation de l'ellipse sous la forme

(X-k + m + af Y 2 __

et, en désignant par x et y les coordonnées du point M correspondant au point D de l'ellipse, on a par suite

y = MP = MQ + QP = l/MD 2 -QD a + QD = v/(A;--w)»--(X + Y

= L v / a 2„(X — k + m+af + s/(k - mf — (X - xf.

Mais, les côtés des triangles BML et BDS sont liés par les relations