BM LM KP BD ~~ SD " W

d'où il résulte, en tenant compte des signes de x et X,

En substituant maintenant la valeur de X donnée par cette équation dans l'expression précédente de y, on voit que la courbe engendrée par le point M, quand le segment se déplace dans les conditions définies plus haut, est représentée par l'équation

^ ^ — m ^/ x z — 2mx + i/ — x% — 2 m am y

En remplaçant dans cette équation p par (3 [/— 1, on voit que, si la conique donnée est une hyperhole, la courbe engendrée par M a pour équation

-j- ax.

k — ni / 5 — - — BZc / q

y = 1/— # 2 — 2wi£c + - 1 — V / x* + 2 -

m * am y

On verrait de même que, si la conique donnée est la parabole définie par l'équation

Y 2 = 2a(X-/£ + m), la courbe correspondante serait représentée par l'équation

2ak , k — m

y = t / x + \/ — x 1 — 2mx.

Il est à remarquer que, si le point M est situé à gauche de la droite RR| ? on doit changer le signe de m dans les équations qu'on vient d'obtenir; dans ce cas le point est aussi situé à gauche du point K.

La méthode par laquelle nous venons de trouver le lieu du point M dans le cas général de coniques est une généralisation facile de la méthode employée par M. Castizo pour traiter la même question dans le cas particulier du cercle.

Le bicorne.

330 e Les anglais donnent le nom de Cochet Hat (Ediicational Times, 1 896) à la courbe définie par l'équation

se 2 (x* + y 2 ) + Aaxhj — 2a% 2 + 3a 2 ?/ 2 - éa*y + a 4 = 5

étudiée par G, de Longchamps dans le Journal de Mathématiques spéciales (1897, p. 35) sous le nom de bicorne, suggéré par M. Brocard. En mettant cette équation sous la forme

et en tenant compte de l'égalité

; — 4ax + x v'a" 1 — x* V ~ (2a + \/a?-'x^f '

on obtient aisément la forme de la courbe (fig. 73). Elle est symétrique par rapport à l'axe

des ordonnées, qu'elle coupe à deux points C et D ?

dont les ordonnées sont égales à a et à a, et

où la tangente est parallèle à Taxe des abscisses. Ce dernier axe est coupé par la courbe à deux points de rehaussement A et A ; , dont les abscisses sont égales à a et — a, et les tangentes à ces points forment avec A' A des angles de 45° et passent par suite par le sommet C. Les parallèles à l'axe des ordonnées passant par les points de l'axe des abscisses compris entre les points A

Fig. 73

et A' coupent la courbe en deux points réels. Nous ajouterons encore que la même quartique a un point isolé à l'infini.

En posant dans l'équation (1) x = \/ a? — f 2 , il vient

la branche supérieure de la courbe correspondant aux valeurs positives de t et la branche inférieure aux valeurs négatives de cette variable ; et par suite

cPy __x'y" — y'x" a 2 {ot — 2a) ~dx^~ x 1 * == t^a-tf

La quartique considérée a donc deux points d'inflexion, correspondants aux valeurs de t données par l'équation

et dont les coordonnées sont par conséquent -t/5, - ^ ci).