En faisant

dans les expressions des coordonnées des points de la courbe en fonction de i, données au n.° précédent, on obtient les égalités

2az a (1 — z^) 2

qui déterminent x et y en fonction rationnelle de z, Il en résulte que le bicorne est un quartique anicursale.

332. On peut construire aisément le bicorne par le procédé suivant, donné par M e,le Charlotte Scott dans V Intermédiaire des mathématiciens (1896, p. 250).

Décrivons deux circonférences (G) et (C) (fig. 74) de rayon égal à a ? tangentes l'une à l'autre, et prenons un point quelconque M sur la circonférence (C). Ensuite traçons la parallèle MP à la droite qui passe par les centres C et C des deux circonférences, et la polaire AB de M par rapport à (C). Les droites MP et ÀB se coupent à un point K qui appartient au bicorne.

Pour démontrer cela, prenons pour origine des coordonnées le centre de (C), pour axe

des ordonnées la droite GC / et pour axe des abscisses la perpendiculaire à cette droite au

point C ; les équations des deux circonférences sont

et l'équation de la polaire AB du point M est

Xa?i + Yyi — a 2 ,

(a?i, y\) étant les coordonnées de ce point. Or ; les coordonnées (x : y) du point K doivent satisfaire à cette équation et les coordonnées (a?i, y\) de M doivent satisfaire à l'équation du cercle (C) ; on a donc

x = x\ , xxi + = a 2 ,

i% 74 x \ + (yi- 2a) 2 = a 2 .

En éliminant maintenant a?i et yy entre ces équations, on trouve une autre qui coïncide avec l'équation (1).

Conchoïdes focales des coniques.

333. Considérons une ellipse et sur chacune des droites qui passent par l'un des foyers prenons, à partir du point A où cette droite coupe la courbe, un segment AM de longueur constante h. Le lieu des points M qu'on obtient ainsi est la conchoïde focale de l'ellipse donnée.

Il résulte immédiatement de cette définition que, comme l'équation polaire de l'ellipse, rapportée à un foyer, est

^ 1 +ecos 6 '

l'équation de la conchoïde correspondante est

les constantes p et e sont liées aux axes 2a et 2b de l'ellipse par les relations

Vcfi-tf c

L'équation cartésienne de la eonehoïde considérée est (2) (œ 2 + 3/ 2 - hexf = (œ 3 + y 2 ) ( p + A - ea)*.

33 l. Pour déterminer la forme de cette courbe, on peut chercher premièrement les points multiples, en égalant, pour cela, les dérivées partielles par rapport à x et y des deux membres de cette équation. Ou trouve ainsi qu'elle possède trois points doubles ayant pour coordonnées (0, Oj, (au, {x\ ) — y\) 7 les valeurs de x\ et yi étant déterminées par les égalités)

En différentiant deux fois l'équation (2) et en posant ensuite x = et ?/ = 0, on trouve que les coefficients angulaires des tangentes à la quartique considérée à l'origine sont exprimés par l'équation

/ z 2 e 2 — ( jp -|- /z)2 J

^ "V (p + hf fr 2 + ah v ' 1 ;?

d'où il résulte que y est réel quand

ou par suite

Donc, si h est négatif et sa valeur absolue est comprise entre a — -c et a~\-c, la courbe a un noeud à V origine des coordonnées; si h = c — a ou h = — a — c, elle y a un point de rehaussement; dans les autres cas la quartique y a un point isolé.

On voit encore, au moyen de l'expression de yi^ que les conditions pour que cette quantité soit réelle sont

p -p h > 0, Ae 2 >p J r h; ou p + h < 0, lie- <p~v h; ou p + h = 0' : ou he % =p + li.

Les deux premières inégalités donnent h > — p et h < — a et sont par conséquent incompatibles. Il résulte des autres inégalités que y\j est réel quand la valeur de h est comprise entre - a et — p, et quand elle est égale à l'un ou à l'autre de ces nombres.

VOL. IV 00

Donc, les points doubles ayant pour coordonnées (œj, +yi) sont réels quand' h est négatif et sa valeur absolue est comprise entre p et a ou est égale à l'une ou à l'autre de ces quantités .

L'explication géométrique de l'existence des points doubles mentionnés est bien facile. En effet, si h est négatif et sa valeur absolue est comprise entre a — c et a-\-c, c'est-à-dire entre les nombres correspondants aux segments FA et FB, il existe deux vecteurs de l'ellipse, FP et FQ (fig. 76), dont la longueur est égale à h. Par conséquent le foyer F est un point de 'a conchoïde, correspondant aux points P et Q de l'ellipse. De même, si la valeur absolue de h est comprise entre p et a, c'est-à-dire entre les nombres correspondants aux segments FR et AO (fig. 76), il existe deux cordes égales de l'ellipse, SSi et UUi, qui passent par le

Fig. 75 Fig. 76

foyer et dont la longueur est égale au double de la valeur absolue de h; alors chacun des points M et Mj, situés au milieu de ces cordes, est un point de la conchoïde, correspondant aux deux points de l'ellipse qui forment les extrémités de la corde qui passe par ce point, et il est par conséquent un point double de cette conchoïde.

335. Il résulte de tout ce qui précède et de la définition de conchoïde, que les courbes considérées admettent les formes qu'on va voir.

Si h est une quantité négative et sa valeur absolue est comprise entre a — c et p, ou entre a et a -f c, la courbe a la forme indiquée dans la figure 75, où h = AK = BH et FA << BH < FB. Si la valeur absolue de h est comprise entre p et a, la courbe a la forme indiquée dans la figure 76, où h = AK = BH et FR<BH < AO. Dans les deux cas, les abscisses des points H et K sont égales, respectivement, à a — c -{-h et — (a + c + A), et les tangentes au point F sont FP et FQ.

Si h = c — a ou A = — (c + a), le point H coïncide avec Fi, et la courbe possède un point de rebroussement en F (fig. 77).

Si h = —p = — FR, la courbe a la forme indiquée dans la figure 78. Alors les tangentes au point F coïncident avec l'axe des ordonnées,,

Si h = ----- a, la courbe a la forme indiquée clans la figure 79. Alors les points doubles M

et Mi qu'elle possède au cas corresponç clant à la figure 76 , sont réunis à 0.

Dans tous les autres cas la courbe est composée d'un ovale et d'un point isole à F ; alors elle n'a pas d'autres points doubles réels.