L. T-! IL
330* Etudions maintenant la conefcoïde focale de l'hyperbole.
Comme l'équation polaire de cette conique, rapportée à F un des foyers comme pôle, est
Fig. 79
Pi =
1 + e cos ()
ou
2a et 2b représentant les axes, p le paramètre et e l'excentricité, l'équation polaire de la
c o n choïde focale est
1 + e cos 6
et l'équation cartésienne de la même courbe est donc
(a* -j- f ;^)2 = + if)(p + /z - ex) 2 .
On voit au moyen de cette équation, en procédant comme clans le cas de la conchoïde de l'ellipse, que la courbe qu'elle représente a un noeud à l'origine des coordonnées F quand
(Ii — a — c) (h — a -f- c) > 0,
c'est-à-dire quand h>a-\-c et quand h<^a — c; et que la même courbe a un point de rehrous sèment à F quand h = a -f- c et quand h = a — c, et un point isolé dans les autres cas. On voit aussi aisément que les points ayant pour coordonnées
sont doubles, et que ces points sont reefe lorsque À 5; a et lorsque /z< — p, et imaginaires dans
^ les autres cas.
La courbe est formée de deux branches infinies, correspodantes aux deux branches de l'hyperbole, lesquelles se coupent quand h^> a et sont tangentes l'une à l'autre si h = a. L'une de ces branches est MPQ (fig. 80, 81 et 82) et ressemble à celles de l'hyperbole, x L'autre a la forme DFK HKi FDi indiquée dans la figure 80, quand h>a + c; elle a la forme DFKi HKFDi indiquée dans la figure 81, quand h < a — c et h^—p; et elle a la forme indiquée dans la figure 82, quand h < a — c et Sih = a + c ou A = a — c, les points H et F coïncident, et la courbe a un ^oin* de rehaussement en F, comme dans le cas de la conchoïde de l'ellipse.
Si Ji -• p, la courbe prend dans .'es environs du point F une forme semblable à celle que
prend la conchoïde elliptique dans les environs du point F de la figure 78 ; dans ce cas les deux tangentes en F à la courbe coïncident avec l'axe des ordonnées. Dans tous les autres cas 5 la deuxième branche de la conchoïde ressemble à celle de l'hyperbole dont elle dérive.
337. Envisageons maintenant en particulier le cas de la conchoïde elliptique où li = — a et le cas de la conchoïde hyperbolique où h = a.
L'équation des deux conchoïdes prend dans ce cas la forme
p c-\- a cos
a + ccoso/
1 + e cos
laquelle coïncide avec celle des courbes rencontrées par Jarabek (MathesiSj t. v, p. 161) comme solution du problème suivant :
Soient M (fig* 83) un point d'une circonférence de centre C, À un point fixe du plan de
cette circonférence, AK une perpendiculaire à la droite AM ; et K Je point d'intersection de AK avec CM; on demande le lieu décrit par K, quand M parcourt la circonférence.
Pour déduire l'équation de ce lieu, désignons par a le rayon de la circonférence et par c la distance CA, et supposons que le point A soit situé à l'intérieur de la circonférence, c'est-àdire qu'on ait c < a.
En représentant par p et 0i les coordonnées polaires CK et KCA, on trouve
KM* - (a - p) 2 = AK 2 + AM 2 ;
mais
AK 2 = p 2 + c 2 — 2pc cos 0i, AM 2 - a 2 + c 2 - 2ac cos { ;
donc
c — a cos 6{
P = c fi
c cos vi — a
ou, en faisant 6\ = — ~,
c + acos0 a + ccos0
La courbe qui répond au problème est, par suite, la conchoïde elliptique correspondante à Ji~ — a.
On verrait de même que, si c > a, c'est-à-dire si le point A est situé à l'extérieur de la circonférence, la courbe qui satisfait au même problème est la conchoïde hyperbolique correspondante à 7^ = a.
Les courbes de Jarabek furent étudiées par M. Dewulf, qui en a remarqué l'identité avec les conchoïdes mentionnées (h c, p. 113), et par M. Neuberg, qui a indiqué quelques problèmes de Géométrie à deux et à trois dimensions qui sont résolus par ces courbes.
337. Nous avons mentionné déjà l'équation de la conchoïde focale de la parabole au n.° 122, où l'on a vu que, si l'équation de la parabole est
p 9 1 — cosfl'
p représentant le double de la distance du foyer à son sommet, l'équation cartésienne de la conchoïde focale correspondante est
(V 2 + f + hxf = (p + h + xf (x* + y*).
Cette équation est identique à celle qui résulte de l'équation de la conchoïde elliptique en y posant c = — -1. Pour obtenir les points doubles de la conchoïde parabolique, il suffit donc de faire c — -- l dans les formules par lesquelles on détermine ceux de la conchoïde ellipti-
que. On voit ainsi que la conchoïde focale de la parabole possède un noeud, coïncidant avec
le foyer de la parabole correspondante, quand h < — un point de rebrous sèment quand
, un point isole quand h^> — Elle possède, en outre, deux autres points doubles
ayant pour coordonnées
lesquels sont réels quand h <— p et quand h = — p, et imaginaires quand -p.
Voici maintenant les formes que peut prendre la conchoïde focale de la parabole NMAMiNi (fig. 84, 85 et 86), dont le foyer est F,
l.° Si A > — ^- , 4r représentant la distance ÂF, la courbe est composée d'une branche
U Ci
Fig. 84
Fig. 85
de configuration analogue à celle de la parabole correspondante et d'un point isolé coïncidant avec F.
2.° Si h = —p, la conchoïde considérée a la forme indiquée dans la figure 84. La courbe a alors à F un noeud d' oscillation et les tangentes à ce noeud coïncident avec la perpendiculaire h l'axe de la courbe.
Si h est compris entre
et —p, la conchoïde a une forme que ne diffère pas de
celle qui précède que par la forme du noeud, lequel est semblable à celui que possède la
conchoïde de l'ellipse dans le cas considéré dans la figure 75. p
4.° Si h = — 4yi ^ a conchoïde considérée a un point de rebrousseraient à F (fig. 85).
5.° Si h<^—.p, la courbe a la forme indiquée dans la figure 86.
Dans tous ces cas, la courbe s'étend jusqu'à l'infini dans le sens des abscisses négatives.
Mais il convient de remarquer que entre les modes comme la conchoïde hyperbolique et la conchoïde parabolique tendent vers l'infini, il existe une différence essentielle. En effet, la conchoïde de l'hyperbole possède deux asymptotes rectilignes, qui coïncident avec celles de la conique correspondante; au contraire, la conchoïde de la parabole n'a pas d'asymptotes à distance finie. Cependant cette dernière conchoïde admet pour asymptote curviligne la parabole dont elle provient.
33®. Les courbes qu'on vient de considérer et le limaçon de Pascal sont les seules conchoïdes des coniques dont l'équation est du quatrième degré. Dans tons les autres cas, l'équation de la conchoïde d'une conique est une courbe du sixième ou du huitième degré.
En effet, en prenant pour origine des coordonnées un point quelconque du plan de la conique et pour axe une droite parallèle à un axe de la même conique, l'équation polaire de cette courbe prend la forme
(A cos 2 + B sin 2 0) p 2 + (D cos + E sin 0) p + F = 0.
L'équation de la conchoïde correspondante est donc
(A cos 2 + B sin" 2 0) (p + hf + (D cos + E sin 0) f p + h) + F = 0.
Or, cette équation représente deux courbes, distinctes ou coïncidentes, quand elle est décomponible rationnellement en deux facteurs du premier degré par rapport à p, c'est-à-dire quand l'équation de la conique est susceptible de cette même décomposition ; dans les autres cas l'équation considérée représente une seule courbe.
L'équation de la conique est décomponible de la manière mentionnée quand l'origine des coordonnées coïncide avec un foyer de la conique, et quand on a F = 0, c'est-à-dire quand cette origine est située sur la conique. Dans le premier cas, on a les conchoïdes focales qu'on vient d'étudier. Dans le second cas, la conchoïde de la conique est représentée par l'équation
(A cos 2 + B sin 2 0) (p + h) + D cos + E sin = 0, ou, en coordonnées cartésiennes,
(A* 2 + Bf + Bx + E?/) 2 (œ« + f ) = h? ( Aœ» ■■{- By 2 ) 2 ,
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d'où il résulte qu'elle est une courbe du sixième ordre quand A est différent de B. Mais, si A = B, cette équation se décompose dans celle d'un cercle de rayon nul et celle du limaçon de Pascal.
Dans les autres cas, la conchoïde est une courbe du huitième ordre, représentée par l'équation
[(Ax^ + Bif) (x* + if + h*) + (Dx+Ey + F) (x 2 + y*)]* = W (x*+y*) [2 (Aœ 2 + Btf) + Dx-\- E?/] 2 ,
quand les constantes A et B sont différentes, et elle est une courbe du sixième ordre, quand A = B 7 c'est-à-dire quand la conique se réduit à un cercle. Dans ce dernier cas, l'équation de la conchoïde peut être réduite à la forme
( œ a + y % + j) lX + ^ + F y2 ^ + y %} = h i ^ ( œ 2 + ^) + D^] 2 , par un changement de la direction des axes des coordonnées.
Notice suceintc sur l'origine et le développement de la théorie des quartiques.
340. Après avoir consacré les chapitres IV et v à l'étude de quelques-unes des quartiques les plus remarquables et du plus grand intérêt, nous terminerons la partie de cet ouvrage destinée spécialement à ces courbes par quelques indications succintes des écrits les plus importants concernant l'origine et le développement de la théorie générale des mêmes courbes.
L'étude des courbes du quatrième ordre est la continuation immédiate et l'extension naturelle de celle des courbes du troisième ordre, entreprise et fondée, comme d'ailleurs nous l'avons déjà remarqué, par Newton dans sa célèbre Enumeratio. Mais, comme la nouvelle étude est beaucoup plus difficile et complexe, ses progrès ne furent pas aussi rapides que ceux que la première avait réalisés en peu de temps; et aujourd'hui encore le chapitre de la Géométrie des courbes relatif aux quartiques ne possède pas entièrement l'organisation systématique harmonieuse et parfaite de celui des cubiques. Cela se comprend aisément, car le nombre des formes qu'il faut considérer dans les quartiques dépasse notablement celui des cubiques, et les. difficultés de l'analyse qu'il faut employer pour l'étude des premières courbes sont aussi très supérieures à celle des cubiques.
Les quartiques furent envisagées d'abord par Maclaurin dans sa Geometria organica, publiée en 1730; et presque simultanément par Bragelongue en trois mémoires présentés à l'Académie des Sciences de Paris en 1730, 1731 et 1732. Quelque temps après le même sujVt fut considéré par Euler dans le chapitre XI du tome II de son Introductio in analysin infinitorum, et par Cramer dans son Introduction à V analyse des lignes courbes, qui ont donné VOL. IV PP
les premières classifications de ces courbes, basées, comme celle de Newton pour les cubiques, sur la nature des points situés à l'infini.
Le classement des quartiques suivi par Euler fut examiné et corrigé de quelques erreurs par Plûeker dans un mémoire inséré au tome i du Journal de Lioumlle; et postérieurement ce géomètre, lui-même, a établi une autre classement beaucoup plus parfait des mêmes courbes, basé sur la nature des points singuliers, dans sa Théorie der algebraichen Curven (Bonn, 1839).
Le problème de rénumération systématique des formes qui représentent les quartiques a été étudié de nouveau, d'une manière profonde et avec de richesse de détails, par Zeûthen dans un remarquable écrit inséré au tome vu, p. 140, des Mathematische Annalen, Un précieux complément à cette étude est une brouchure parue récemment à New- York sous le titre: On the forms of the Plane Quartic Curves, dont l'auteur est M. R. Gentry, et où Ton trouve exposés et commentés les résultats obtenus par réminent géomètre danois dans le mémoire qu'on vient de mentionner.
Dans le classement des quartiques adopté par Zeûthen, dont nous venons de faire mention, jouent un rôle fondamental non seulement les points singuliers de ces courbes, mais aussi les bitangen'es aux mêmes courbes. Ces droites singulières n'existent pas dans les cubiques, et leur étude, dans le cas des quartiques, a donné l'origine à de beaux et importants travaux, parmi lesquels, par son rôle fondamental, nous devons citer un de Steiner, inséré au tome xlix du Journal de C relie, et ceux de 0. Hesse, insérés aux tomes xlix, LU et lv du même recueil.
Le classement des quartiques au moyen de leurs points singuliers doit être naturellement précédé d'une étude approfondie de ces points, en commençant pour observer que, dans les quartiques il existe non seulement des points singuliers de la même nature que ceux que nous avons rencontrés dans les cubiques, lesquels sont dits ordinaires, mais encore d'autres points singuliers d'un ordre plus élevé. L'énumération de ces nouveaux points et la détermination de l'équivalence de chacun d'eux avec un certain nombre de points ordinaires sont des questions primordiales étudiées par Cayley en plusieurs travaux remarquables publiés dans le tome v des Mathematical Paper s.
Parmi les questions relatives aux points singuliers qui ont attiré l'attention des géomètres, nous mentionnerons celle de la disposition des points d'inflexion et celle de la détermination du nombre des points réels de cette catégorie. La première de ces questions a été étudiée par M. Brill en plusieurs écrits intéressants publiés dans les Mathematische Annalen (t. xn, p. 90; xin, p. 103, 175 et 517), où sont considérées les quartiques à point double; elle n'a pas eu de solution satisfaisante jusqu'à présent pour les quartiques dépourvues de points doubles. La deuxième question fut envisagée par Zeûthen (1. c.) ? qui a montré que les courbes du quatrième ordre, sans points doubles, possèdent huit points d'inflexion réels.
En terminant ces indications très succintes sur la théorie générale des quartiques, nous ajouterons que dans l'ouvrage magistral de Salmon, Courbes planes, déjà cité ici souvent, est consacré à cette théorie un chapitre substantiel par lequel on en peut aborder l'étude.
