SUR QUELQUES COURBES DU SIXIÈME ET DU HUITIÈME ORDRE

La courbe de Watt.

341. La courbe de Watt est engendrée par un point M du côté BC d'un quadrilatère articule ABCD (fig. 87), quand AB, BC et CD varient, le côté AD restant fixe. Cette courbe

l'oue, en effet, un rôle important dans la théorie de l'artifice cinématique pour la transmission du mouvement dans les machines à vapeur inventé à la fin du XVIII e siècle par le célèbre ingénieur J. Watt.

La courbe qu'on vient de définir a été considérée par un grand nombre de géomètres. Ainsi, elle fut étudiée par Prony dans sa Nouvelle Architecture hydraulique (Paris, 1796); par Hachette dans son Histoire des machines à vapeur, où est donnée l'équation de cette courbe; par Vincent dans les Mémoires delà Société Royale des Sciences de Lille, 1837, et dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (t vit, p. 61, 1848); par S. Roberts, Cayley et Clifford dans les Proceedings of the London mathematical Society (1878 et 1878); par Lacolonge dans les Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux (1885, p. 101); etc.

Dans l'étude que nous allons faire de la courbe cle Watt, nous supposerons que les côtés AB et CD du quadrilatère sont égaux, et que le point M est situé au milieu de BC. On pourrait obtenir aisément l'équation générale de la courbe, mais elle est assez compliquée pour qu'elle soit utilisable, et, pour l'étudier dans les autres cas, on a besoin cle recourir aux méthodes graphiques et cinématiques, qui n'entrent pas dans autre plan.

342. On peut obtenir aisément l'équation de la courbe de Watt, quand AB = CD et BM = MC, parle procédé suivant, employé par Catalan (Matkesis, 1885, p. 154).

Soient MO la droite qui passe par le milieu de BC et AD; BE et CF deux parallèles à MO; et EF une parallèle à BC. Comme les triangles AEO et OFD sont égaux, et, par conséquent, les droites AE et FD sont parallèles et égales, les triangles AEB et FCD sont aussi égaux. Les angles AEB et DFC sont donc égaux et en même temps supplémentaires, et par suite ils sont droits.

Cela posé, faisons AO — a, BM = c, AB = 6, et supposons que p et d représentent les coordonnées polaires OM et MOD du point M, rapportées au point O comme pôle et à la droite OD comme axe. En envisageant les triangles rectangles CDF, ODGr et OFGr, on obtient les relations

p a Œ J3 FD 2 , DG = a sin 6, FGr 2 = c 2 - a 2 cos 2 6, dont il résulte que Y équation polaire de la courbe de Watt est

p ^ = 52 [ a gm 6 s/ " C T™ 2 cog 3 J2 ?

où 6 doit varier depuis — % jusqu'à %] ou

f = J« - [ a sin ± l/c 2 -a 2 cos 2 0]*,

où doit varier seulement depuis jusqu'à x.

En posant dans cette équation as'=pcos0, ?/ = p sin S, on obtient Y équation cartésienne de la courbe considérée (Lacolcnge, 1. c.) :

+ y 2 ) 3 - 2B 2 (x^ + tff + (B* + ±ahf~) (x»~ + ?/ 2 ) - éa%hf = 0,

où

cette courbe est donc du sixième ordre.

Nous remarquerons ici qu'on pourrait arriver à l'équation générale de la courbe de Watt, et par suite à celle qu'on vient d'obtenir, par une voie purement analytique, en exprimant que les distances de B à A, de C à D, de M à B et de M à C sont égales à des quantités données et que le point M est situé sur la droite BC. On obtient ainsi cinq équations, où entrent les coordonnées {x, y) du point M et les coordonnées (V y') et {x" ', y") des points B et C. En éliminant les quatre dernières coordonnées entre ces équations, on trouve l'équation du lieu de M. Nous ne reproduirons pas ici l'analyse par laquelle on obtient cette résultante; on la peut voir dans le deuxième écrit de Vincent mentionné ci-dessus.

343. La forme de la courbe envisagée peut être déterminée aisément au moyen de

l'équation polaire de cette courbe, en tenant en même temps compte du mode comme elle est engendrée. On voit d'abord (fig. 88) que la courbe est symétrique par rapport aux axes des

coordonnées ; qu'elle a un point double à l'origine 0; qu'elle coupe perpendiculairement l'axe des ordonnées en deux points réels M et Mi, déterminés par l'équation

et en deux points imaginaires ; et qu'elle coupe l'axe des abscisses en deux points S et Si, déterminés par l'équation

x où les tangentes forment avec cet axe des angles o> donnés par la relation

t an g o) = +

ces derniers points sont réels, mais isolés, quand on suppose, comme dans le problème de Mécanique qui a donné l'origine à l'étude de cette courbe, qu'on a a > c. On voit aussi que la courbe n'a pas de branches infinies et que sa forme se ressemble à celle d'un huit, quand les côtés du y

Fig. 88

quadrilatère peuvent prendre la position indiquée dans la figure 89, où le milieu de BC coïncide avec le milieu de AD, ce qui arrive seulement quand les trois segments a, b et c peuvent former un triangle. Nous considérons seulement ce cas, qui est celui qui est applicable à la théorie des machines à vapeur.

En cherchant au moyen de l'équation polaire de la courbe les valeurs que prend 6 lorsque p = 0, et en représentant par 0' ces

Fig. 89

valeurs, on a la formule

S1I1 6 ! = -fT-y- ,

qui détermine les angles formés par les tangentes à la courbe à l'origine avec Taxe des abscisses. Mais, à chaque valeur de 0' donnée par cette équation, il correspond pour p non seulement la valeur p = 0, mais encore les valeurs déterminées par l'équation

iesquelles sont réelles quand on suppose, comme dans le problème de Watt, 6 2 -fc 2 >a 2 . On en conclut que chacune des tangentes à la courbe considérée à l'origine des coordonnées coupe cette courbe en deux autres points K et Ki (fi g. 88).

Pour déterminer le point L où l'angle formé par le vecteur d'un point de la courbe avec OX devient minime, on peut employer l'équation

c 2 = a 2 cos 2 0,

qui exprime que les deux valeurs de p correspondantes à une même valeur de 6 sont égales. En représentant donc par d' r cet angle, on a

cos 6'' = — i a

et ensuite, pour déterminer- la valeur du vecteur du point cherché,

La même courbe possède deux points d'inflexion à son centre; elle possède encore évidemment deux autres entre O et L, dans le quart MKO de la courbe, et six autres dans les restants quarts.

Dans l'application du quadrilatère articulé aux machines à vapeur il faut donner aux côtés de ce quadrilatère des dimensions telles que l'intervalle dans lequel la courbe engendrée par M se confond sensiblement avec les tangentes au point d'inflexion O, soit assez grand; et par ce motif la courbe considérée est désignée souvent par le nom de courbe à longue inflexion. Le problème qui a pour but de déterminer ces dimensions de manière à obtenir le meilleur résultat possible, problème qui fut considéré par Watt, ne peut être résolu qu'approximativement. On en trouve une solution géométrique dans l'important ouvrage de M. Haton de La Goupillière intitulé: Traité des mécanismes (Paris, 1864, p. 193), et dans Fécrit de Lacolonge mentionné ci-dessus la même question est examinée analytiquement.

344* Dans l'étude qu'on vient de faire de la courbe de Watt, on a supposé que les paramètres a, h et c satisfont à des conditions imposées par le problème de Mécanique qui a amené à son étude. Mais, quand ces paramètres ne satisfont aux conditions mentionnées, la courbe peut être étudiée de la même manière, en tenant compte des remarques suivantes sur la nature des points singuliers que la courbe possède.

1. ° L'origine des coordonnées est un point double, où les tangentes forment avec l'axe des abscisses des angles dont les valeurs 6' sont déterminées par l'équation

sin 1 = + -7T-T- ' zab

où l'on doit employer le signe supérieur quand B 2 est une quantité positive, et le signe inférieur dam le cas contraire.

La courbe possède donc à l'origine un noeud si 4a 2 5 2 > B 2 , et un point isole quand 4a 2 6 2 <B 2 .

2. ° Les points ayant pour coordonnées (+B, 0) sont doubles, et les tangentes à la courbe en ces points forment avec l'axe des abscisses les angles to déterminés par la formule

tangco = ±— 7 = T ;

la courbe a donc à chacun de ces points un noeud réel quand B 2 > et c > a, et un noeud imaginaire quand B 2 <Q et c>a; si c<a, les points considérés sont isolés.

Il convient d'ajouter encore que la courbe a six asymptotes, dont les équations sont

y = i ix, y = i i (w + a) , y = àli(w — g),

et qu'elle possède deux points triples imaginaires à l'infini.

Il est à remarquer le cas particulier où a = c. Alors l'équation polaire de la courbe est

p 2 = 62 4a a sin 2 »,

et par conséquent la courbe engendrée par M est une lemniscate elliptique (n.° 189) quand 5>2o, une lemniscate hyperbolique (n.° 198) quand b < 2a j et est composée de deux cercles quand b = 2a. Si 6 = ai/2, cette équation devient

= 2a° 2 (1—2 cos 2 (9) = 2a 2 cos 20 ;

la courbe considérée est donc alors une lemniscate de Bernoulli (n.° 205). Cette manière d'engendrer la lemniscate de Bernoulli a été donnée par Carbonnelle dans la Nouvelle Correspondance mathématique (1879, p. 249 et 233).

Avant de passer à l'étude d'une autre courbe, il convient de remarquer que le problème de la transformation du mouvement circulaire en mouvement rectiligne, dont Watt a donné une solution approchée au moyen du quadrilatère articulé considéré ci-dessus, fut résolu rigoureusement par Peaucellier en 1864 au moyen d'un appareil formé aussi par des tiges articulées (Nouvelles Annales de Mathématiques, 2 e série, t. m, p. 414, 1864; t. xir, p. 71, 1873), et que ce géomètre a fait connaître des appareils de la même nature pour le tracé mécanique des coniques, du limaçon et de la cissoïde. L'invention de Peaucellier a été l'origine d'une série d'études de Sylvester, Hart, Clifford et S. Roberts, publiées dans le Messenger of Mathematics (t. IV et v), et d'un écrit de Mannheim, inséré au Bulletin de la Société mathématique de France, consacrés au tracé mécaniques des courbes au moyen des systèmes articulés. Nous ne nous arrêterons pas sur la description des divers appareils qu'on a employés dans ce but, et nous renvoyons pour son étude à l'intéressant opuscule de M. Neuberg intitulé: Sur quelques systèmes de tiges articulés ; tracé mécanique des lignes (Liège, 1886).

L'astroïde.

345. On désigne par le nom àïastroïde la courbe qui enveloppe les droites qui coupent les côtés OA et OB (fig. 90) d'un angle droit do manière que la longitude du segment ao, compris entre ces côtés, soit constante.

Pour obtenir l'équation de cette courbe, prenons les droites OA et OB pour axes des

coordonnées et remarquons que l'équation de la droite ao est

a et p représentant, respectivement, les segments Oa et Oo, et qu'on a

l représentant le segment ao.

L'équation de l'enveloppe cherché résulte donc

de l'élimination de a, P et ~~ entre ces équations et celles-ci :

Fig. 90

da + dp = 0, otdct + pdp = 0.

Pour faire cette élimination, remarquons que les deux dernières équations donnent

et que par suite, si Ton pose

la première équation se transforme dans celle-ci :

dont il résulte, en tenant compte de l'identité a 2 -}-p 2 = Z 2 , X=Z 2 . On a donc

.(P*)T, p=(^-) 3 -(Py)T,

et par suite

qui est l'équation cartésienne de la courbe considérée.

L'équation qu'on vient d'obtenir peut encore prendre la forme

d'où il résulte que l'as/roicZe est une courbe du sixième ordre.

346» En partant de l'équation (1) et en tenant compte des relations

on détermine aisément la forme de la courbe. Elle est symétrique par rapport aux axes des coordonnées et aux bissectrices des F angles de ces droites, et possède quatre points de rebroussement (fig. 90) A, Ai, B, Bi, situés à la distance l du centre O; elle a, en outre, quatre noeuds imaginaires, dont les coordonnées sont

x = + il, y — + ilj

vol. iv QQ

et deux points de rebrous se ment imaginaires à l'infini, et elle ne possède pas de points d'inflexion.

L'ordonnée Y du point où la courbe coupe Taxe des ordonnées, la sous-tangente, la sousnormale et les longueurs de la tangente et de la normale sont exprimées par les formules

Y =(fty) 3 , S t = -(,^) 3 , S n = -(|-) 3 ,