En comparant l'équation de la tangente à Pastroïde

x* Y + y à X-(fe/) 3 = 0,

à l'équation

uY + vX + l=0,

on obtient les relations

„JL L

w = -(fy) \ v=-(Px)"\

dont il résulte, en tenant compte de (1), V équation tangentielle de Pastroïde

cette courbe est donc de la quatrième classe.

348. On trouve aisément, en appliquant la formule générale correspondante à cette question, que le rayon de courbure R de Pastroïde au point (x, y) est déterminé par l'équation

W = 21lxy.

La développée de la même courbe peut être obtenue aisément, en remarquant d'abord que Pastroïde peut être représentée par les équations

(2) a? = £sin 3 £, ?/=Zcos 3 £,

t étant une nouvelle variable indépendante ; ces valeurs de x et y vérifient, en effet, l'équation (1). En partant de ces relations et en appliquant des formules de Calcul différentiel bien

connues, on trouve que les coordonnées (sci, yC) du point de la développée correspondant au point (x, y) sont déterminées par les formules

x\ = l sin 3 t-^-31 cos 2 1 sin t, yi=l cos 3 t-\-2l sin 2 £ cos

ou, en prenant pour nouveaux axes des coordonnées les bissectrices des angles formés par les axes primitifs,

x% =-——(x{ — y\) = / (sin £ — cos t) 6 == sm d U — ) ?

2/2 = (a?i + yi) = ^f- l (sin « + cos £) 3 = 21 cos 3 (t —

ou, en faisant £ = — >

a? 2 = 2Z sin 3 £i, ^ = 2£ cos 3 t{ .

On voit, au moyen de ces équations, que la développée de Vastroïde est une autre astroïde ayant le même centre que la première et inscrite dans un cercle de rayon double de celui où est inscrite la première. Les droites passant par le centre et par ses points de rehaussements forment des angles de 45° avec les droites passant par le centre et par les points de rebrous sèment de Vastroïde donnée.

349. La valeur de l'aire comprise entre Vastroïde, Taxe des ordonnées et le vecteur du point (a? ? y) peut être calculée par la formule

i\ = -1 J (ydx — xdy) = -g- V 2 J sin

En posant t = et en multipliant le résultat par 4, on voit que l'aire de Vastroïde est

égale à -^-rJ 2 .

350. La longueur de chacun des arcs de Vastroïde compris entre les points correspondants aux abscisses et x est donnée par la formule

s = j 1 \/dx^ + dif = 31 j ' sin t cos t dt = -|- 1 sin 2 1 = -|- (Zcc 2 )

donc, la longueur de Varc de Vastroïde compris entre les points (0, l) et (x, y) est proportionelle au carré de V abscisse x.

La longueur de Varc compris entre deux poin's de rehroussement est égale à l (Jean Bernoulli : Opéra omnia, t. ni, p. 446).

Il résulte de la dernière formule et de l'égalité R = 3Z sin £cos en éliminant t, V équation intrinsèque de l'astroïde, savoir

En remplaçant s par 5 + h cette équation peut être réduite à la forme

Il résulte encore des formules précédentes que, si l'on représente par (V, y') les coordonnées du centre de gravité d'un arc de Pastroïde compris entre le point A et un point quelconque de l'arc BA, et par s la longueur de cet are, on a, en appliquant des formules de Mécanique bien connues,

xds = I sin 4 1 cos tdt= — P sin 5 1.

/S ni 3

yds = 3V 2 / cos 4 1 sin t dt = — P(l — cos 5 ^).

3 2 Si s représente le quart BA de la courbe, on a s == — l, et par conséquent x' = — l }

y' = —l. Le centre de gravité de Varc AB est donc situé sur la bissectrice de V angle AOB à

distance du centre O égale à ^ l\Z2„

Les résultats qu'on vient d'obtenir furent indiqués par M. Haton de La Goupillière dans un Mémoire sur la recherche des centres de gravité des courbes et des surfaces qu'il a publié clans le cahier XLill, p. 141, du Journal de V École Polytechnique de Paris. Ils sont des corollaires de théorèmes généraux sur les arcs et les centres de gravité des courbes cycloïdales, donnés par cet éminent géomètre clans ce beau mémoire, théorèmes qu'on verra plus loin.

351. L'astroïde fut étudiée par Jean Bernoulli au lieu mentionné ci-dessus, où il en a obtenu l'équation, la forme et la longueur. La même courbe fut aussi considérée par D'Alembert dans le volume correspondant à 1748 des Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris et dans ses Opuscules (t. IV, n.° xxm). Le nom par lequel cette courbe est connue lu a été donné par Amstein {Société vaudaise des Sciences naturelles, t. XV, p. 175).

Le nombre des travaux qu'on a consacré à l'astroïde est considérable. On peut voir dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (2. e série, t. Xlll, p. 534 et t. XIV, p. 94) une intéressante notice de M. Haton de La Goupillière sur ces travaux, dont plusieurs se rapportent à

des modes d'engendrer cette courbe. Parmi ces manières d<? l'obtenir nous mentionnerons celles-ci :

1.° L'enveloppe d'une ellipse variant de manière que le centre, les directions des axes et la tomme des dimensions des mêmes axes reste constante, est Vasiroïde.

2. 6 L'astroïde est le lieu du sommet d\me parabole qui roule sur deux droi es perpendiculaires l'une à Vautre, en se déformant de manière que le foyer décrive une circonférence autour du point d'intersection de ces deux droites (Bispal : Nouvelles Annales de Mathématiques, 2. e série, t. IV, p. 331).

3.° Le lieu des points qui ont pour coordonnées orthogonales les rayons de courbure d'une ellipse aux extrémités de ses diamètres conjugués, est l'astroïde (Brassine, Nouvelles Annales de Mathématiques, 2. e série, t. II, p. 12).

D'autres modes d'engendrer l'astroïde ont été donnés par Pigeon {Nouvelles Annales de Mathématiques, 2.° série, t. m, p. 60) 5 par Lemoine (1. c, t. xiu, p. 334); par Barbarin (1. c, t. xiv, p. 328); etc.

La courbe qu'on vient d'étudier sera retrouvée plus loin, dans le chapitre consacré aux courbes cycloïdales, où l'on verra qu'elle est le lieu décrit par un point d'une circonférence de

rayon égal à — l roulant intérieurement sur la circonférence d'un cercle fixe de rayon égal à L

Ce théorème a été attribué a Sturm (Nouvelles Annales, t. 1, p. 395). A cause de ce dernier mode de génération, l'astroïde fut désignée par Montucci (Comptes rendus de V Académie des Sciences de Paris, t. lx ; p. 440 et 846) par le nom de cubo-eycloïde.

Les courtes parallèles à l'astroïde.

352. Si l'on prend sur chacune des normales à une courbe donnée, à partir du point où elle coupe orthogonalement cette courbe, dans les deux sens, des segments de longueur constante h, on obtient deux courbes ou, en quelques cas, deux branches d'une même courbe, qui sont dites parallèles à la première. Il résulte de cette définition que les ra) r ons de courbure R et Ri de la courbe donnée et de la nouvelle courbe sont liés par la relation R 1 = R + /i, et par conséquent qu'elles ont le même nombre de points d'inflexion.

Si la courbe donnée est une astroïde, les courbes parallèles correspondantes jouissent de quelques propriétés intéressantes que nous allons indiquer.

Pour obtenir d'abord l'équation de ces courbes, remarquons que les équations de l'astroïde

x = l sin 3 1, y = 1 cos 3 1

donnent ~j~^ = — cot£, et que, par conséquent, t représente l'angle formé par la normale au

point (x } y) avec l'axe des abscisses. Il en résulte que les courbes parallèles à celle-là peuvent être représentées par les équations

x = l sin 3 t + h cos y = l cos 3 t + h sin

h étant une constante positive ou négative.

353. La forme de chacune des courbes parallèles à l'astroïde peut être obtenue aisément. Il est évident qu'elle ne possède pas de branches infinies réelles et qu'elle est symétrique par rapport aux bissectrices des angles formés par les axes des coordonnées, c'est-à-dire par rapport aux bissectrices des angles formés par les droites joignant le centre de l'astroïde à ses points de rebroussement, Ces dernières droites ne sont pas d'axes de symétrie de la courbe parallèle à l'astroïde, mais elles sont des axes de symétrie du couple de courbes qui correspondent à deux valeurs de h de la même grandeur absolue et de signes contraires. On voit au moyen des équations

dx ~~aT

= 3/ sin 5 t cos t — h sin £,

cly

clt

■ 3 l cos 2 t sin t-\~h cos t

que chacune des courbes considérées possède quatre points de rebroussement à distance finie, distincts ou coïncidents, correspondants aux valeurs de t déterminées par l'équation

31 sin 2t = 2/2,

lesquels sont réels quand 4/z 2 < 9Z 2 ou 4h^ = 9Z 2 , et imaginaires dans le cas contraire. Cette courbe possède donc une seule branche, qui a la forme d'un ovale quand 9Z 2 , et la forme indiquée dans la figure 91, ou une forme analogue où les arcs MMi et M2M3 se coupent en deux points de CD, dans le cas contraire. Elle n'a pas de points d'inflexion, puisque l'astroïde n'a pas aussi de points de cette nature.

On détermine aisément la condition pour que la courbe ait des noeuds réels. Remarquons

pour cela que Taxe CD est représenté par l'équation y J \-x=Q, et que, par conséquent, ii coupe la courbe aux points correspondants aux valeurs de t déterminées par l'équation

l (sin 3 t + cos 3 i) -f h (cos t -f sin t) = 0,

qui donne

sin t -f cos t = 0, Z sin 2t = 2 (Z + A).

Aux valeurs de £ qui vérifient la première de ces équations correspondent les points C et D de la courbe. Aux valeurs de t qui satisfont à l'autre correspondent deux noeuds, distincts ou coïncidentes, situés sur CD, qui sont réels quand 4 (/i -f Z) 2 <J T 2 , et imaginaires dans le cas contraire.

De même, Taxe BA rencontre la courbe aux points A et B et à deux noeuds correspondants aux valeurs de t déterminées par l'équation

Zsin 2* = 2 (A — Z),

qui sont réels quand 4(/i — lf~^H~, et imaginaires dans le cas contraire.

Nous ajouterons encore que, si 4/& 2 = Z 2 , deux noeuds coïncident avec le centre de la courbe, où elle a alors un noeud à tangentes coïncidentes (taenode) ; et que, si 4/£ 2 = 9Z 2 , deux des noeuds et les points de rebrousseraient mentionnés ci-dessus forment, en se réunissant, deux points triples à tangentes coïncidents, situés sur l'un des axes de la courbe. La courbe a dans ce dernier cas, comme on a déjà dit, la forme ovale.

354. Pour continuer l'étude des courbes mentionnées, cherchons maintenant la longueur du segment d'une tangente quelconque déterminé par les points d'intersection de cette droite avec celles qui correspondent aux équations

Y = Xtangp, Y = XtangP'.

Comme la tangente considérée a pour équation

Y — l (cos 3 1 + h sin t) + [X — l sin 3 1 — h cos t] cot t = 0,

les coordonnées (X[, Yi) et (X2, Y2) des points mentionnés sont déterminées par les formules

(l sin t cos t + h) cos [3 v (1 sin / cos t -f h) sin |3

v (Z sin £ cos £ + A) cos p' v (Z sin t cos £ + /z) sin [3' 2 = costf' — ' 2 ^ cos (p' - t) ?

et la longueur A du segment compris entre ces points est exprimée par cette autre:

(Zsin t cos t + h) sin (p — p') cos(J3 — T) cos(p / — t)

11 résulte de cette égalité que la condition pour que les droites considérées limitent sur toutes ies tangentes à l'astroïde un segment de longueur constante A, c'est qu'on ait, quelle que soit la valeur de t,

sin (p - p') {l sin t cos t + h) = k [cos p cos p ; — cos (p + p ; ) sin 2 t + sin (P + 0') sin £ cos f],

et par conséquent

(3) h sin (P - P') = A cos p cos p', tang p tang P' = 1, Z sin (p - p') = A sin (P + p').

Pour déterminer la valeur de p ? nous éliminerons de la dernière équation p' et A au moyen des deux premières, ce qui donne

(4) h tang 2 p - 1 tang p + h = 0, et par conséquent

tang|

De même

f fi , l + \/P-4h*

Donc p et P' sont les deux racines de l'équation (4).

Après avoir déterminé ainsi les valeurs de p et p 1 , on obtient au moyen de la première . des équations (3) celle de A.

Il résulte de ce qui précède qu'à toute courbe parallèle à Vastroïde correspondent deux droites qui déterminent par leurs intersections avec les tangentes à cette courbe des segments de longueur constante. Ces droites sont réelles quand Z 2 >4^ 2 , imaginaires si P < 4A 2 , et coïncident lorsque V 2 = 4Ji 2 .

On en conclut aussi que, si Z 2 >4/* 2 , toute courbe parallèle à Vastroïde est V enveloppe d'une droite qui se déplace de manière que la longueur du segment compris entre deux autres droites fixes reste constante.

On voit aussi aisément que, réciproquement, Y enveloppe d'une droite qui se déplace de manière que la longueur du segment A compris entre deux autres droites données soit constante, est une courbe parallèle à Vastroïde.

En effet, en prenant pour axe des abscisses la droite qui passe par le point d'intersection des deux autres droites mentionnées et forme un angle de 45° avec la bissectrice de l'angle 2a de ces dernières droites, et en désignant par p et P' les angles que ces mêmes droites forment avec l'axe des abscisses, on a

Ces angles p> et $ ! satisfont donc à la deuxième des équations (3), et, si A représente la longueur du segment donné, la première et la troisième équation déterminent ensuite h et Z, et font voir que la courbe parallèle à l'astroïde représentée par les équatims

sur i ? y — —r—^r- cos d t,

sin 2a J sin 2a

correspondante à la valeur de h déterminée par l'expression

-j a) cos (

cos , , - , . t „ ,

h - - A — L- — — = - — A cot 2a,

sin 2a 2

est l'enveloppe mentionnée dans l'énoncé du théorème.

355. L'enveloppe des droites qui coupent les côtés d'un angle quelconque 2a en deux points tels que le segment qu'ils limitent ait une longueur constante, fut étudiée pour la première fois dans les tomes I et v des Nouvelles Annales de Mathématiques par Merlieux et Joachmisthal. Salmon (Courbes planes, p. 148) a remarqué la coïncidence de ce lieu avec une courbe parallèle à l'astroïde, et quelques auteurs l'ont nommée tetracuspide, à cause des quatre points de rebroussement réels qu'elle possède. On a attribué cette désignation à Bellavitis; mais, comme nous l'avons fait remarquer dans un article inséré au Mathésis (t. xxi, 1901, p. 217), la courbe à laquelle cet illustre géomètre a donné ce nom est différente de celle qui précède et sera étudiée plus loin. Nous avons appelé l'enveloppe correspondante

aux cas où a>^- ou a <-^p astroïde à deux axes, dans un article publié dans El Progreso

mathemâtico (2. e série., t. n, 1.899), et celle qui correspond au cas où a = -^-) astroïde à quatre axes.

356. L'aire comprise entre la courbe représentée par les équations (2) et les vecteurs des deux points où la normale forme des angles égaux à / et ti avec l'axe des abscisses, est exprimée par la formule

hl 3 + — (cos 2t[ — cos 2f Q ) + — V (sin U\ — sin 4t ).

En posant t = ~Tt, t\ = — t:, et en multipliant le résultat par 4, on trouve que la valeur

VOL. IV RR

de l'aire totale de la courbe est déterminée par la formule

La longueur des arcs de la même courbe peut être obtenue aisément au moyen de la formule

= i (3Z sin t cos t — /*),

d'où il résulte, en représentant par t Q et ti les valeurs que t prend aux extrémités de l'arc considéré et en supposant ces points compris entre les mêmes points de rebroussement,

1 (sin 2t{ — sin 2t ) — h (h — 1 )

où Ton doit choisir le signe de manière que la valeur de s soit positive.

Si la courbe n'a pas de points de rebroussement réels, sa longueur est égale à 2 (6l-\-hiz).

357. Pour rendre plus facile l'étude des courbes parallèles à Vastroïde, nous avons employé, pour faire cette étude, les relations (2), au lieu de l'équation cartésienne de ces courbes. Si Ton veut obtenir cette dernière équation, il faut éliminer t entre les équations (2). On obtient ainsi; par un calcul que nous ne reproduirons pas ici, l'équation suivante:

[3 (a 3 + if - P) - 4A 3 ] 3 + [27 to/ - Qh (se 3 + if) - ISPh + 8A 3 ] 2 = 0.

On obtient aussi aisément Y équation tangentielle des mêmes courbes en comparant l'équation de leurs tangentes

Y sin t — X cos t = l sin t cos t -\- h à l'équation wY + i;X= 1. On trouve ainsi les relations

sin t cos t

Z sin £ cos £ + h l sin £ cos t + h'

d'où il résulte, par l'élimination de t,

Ihflv* + (2hl - 1 ) (u 3 + +■ &a (u 3 + v a ; a = ; les courbes considérées sont donc de quatrième classe.

La développée de l'ellipse et de l'hyperbole.

358. L'astroïde est comprise dans la classe de courbes définies par l'équation

qui comprend aussi la développée de l'ellipse. Cette dernière courbe fut considérée pour la première fois par Huygens dans l'écrit intitulé: De horelogio oscillatorio, paru en 1673; l'ellipse est, en effet, une des courbes auxquelles le grand inventeur de la théorie des développées a appliqué la même théorie dans cet ouvrage célèbre. La même courbe est l'enveloppe des normales à l'ellipse, et elle sépare, par conséquent, la région du plan où sont situés les points d'où l'on peut mener à cette conique quatre normales réelles de celle qui contient les points par lesquels passent deux normales réelles et deux imaginaires. Cette division du plan de l'ellipse en deux régions déterminées par la condition précédente fut remarquée par Apollonius, le célèbre fondateur de la théorie des coniques, qui, sans considérer explicitement la courbe (1), l'a ainsi indirectement définie.

Les courbes représentées par l'équation (1) ont la forme indiquée dans la ligure 92. Elles

sont symétriques par rapport aux axes des coordonnées et possèdent quatre points de rebroussement réels A, C, B et D, ayant pour coordonnées (a, 0), ( — a, 0), (0, &), (0, — b). Comme l'équation qu'on obtient en posant dans l'équation (1 ) x = ax{ et y = byi coïncide avec celle de l'astroïde, on voit que toutes les courbes représentées par l'équation (1) sont affines de l'astroïde, et que, par conséquent, elles possèdent, comme cette dernière courbe, deux points de rebroussement imaginaires à V infini et quatre noeuds imaginaires à distance finie, et qu'elles n'ont pas de points d'inflexion.

Fig. 92

359. L'équation de la tangente à la courbe (1) au point (a?, y) est

(2) {a?xf Y + (bhjf X = {aW xy)\

et il en résulte que les coordonnées des points P et Q d'intersection de cette droite avec les axes sont

Si par ces points on trace les droites PM. et QM, parallèles à ces axes, on détermine un point M, dont les coordonnées sont

AJ A A

#â = ci x , 2/2 = o ?/ ;

et en substituant dans l'équation (1) les valeurs de ce qui résultent de ces relations, on obient celle-ci:

Donc, si la tangente PQ à la courbe représentée par V équation (1) varie de position, le point M décrit une ellipse qui passe 'par les points de rebrou s sèment de la première courbe; et, réciproquement, V enveloppe des positions que prend PQ ; quand M décrit V ellipse (3), est la courbe (1).

360, Les courbes représentées par V équation (1) sont les enveloppes des ellipses correspondantes aux V équations

JÏL-4- ?L-1 i J 1

En effet, en dérivant les deux membres de ces équations par rapport à a, [î étant considérée comme une fonction de a, on obtient les équations

a 3 da ' a ^ J da >

et, pour trouver l'enveloppe des ellipses considérées, il faut éliminer a, |3 et ~— entre les quatre équations précédentes. Or, les dernières équations donnent

et par conséquent, en faisant a» 3 =- la 3 ,

y- = —, — ? ce- = :

et, en substituant ces valeurs de x 2 et y 2 dans l'équation de l'ellipse et en tenant compte de la deuxième des équations données, on trouve X= 1, et pourtant

i ^ « = («^) 3 , p-(fy*)\

Il suffit de remarquer maintenant que, si Ton substitue ces valeurs dans la relation qui lie [3 à oc, on obtient l'équation (1), pour compléter la démonstration du théorème énoncé.