Les valeurs de x et y données par les équations

a? = asin 3 ^ y = bcos z t

vérifient l'équation (1); par conséquent la courbe considérée peut être représentée par ces équations, où t représente une variable indépendante. En posant dans ces équations

tang — t = z > on obtient celles-ci:

qui expriment x et y en fonction rationnelle de z et dont il résulte que la courbe considérée est unicursale. On pouvait prévoir cette circonstance, car la courbe possède dix points doubles, et son genre est donc égal à 0.

En comparant l'équation des tangente? à la courbe à cette autre:

wY + t>X = l,

on obtient les relations

b^yifi = 1 , a^xv z = 1 .

En éliminant maintenant x et y entre ces équations et l'équation (1), on obtient V équation tangentielle de la courbe que cette dernière équation représente, savoir:

et on voit que cette courbe est de quatrième classe.

On obtient aisément, au moyen de l'équation qu'on vient d'obtenir, les foyers de la courbe correspondante, en appliquant une méthode utilisée déjà au n.° 195. En posant, pour cela, v = iu, on trouve

a?bhfî <= « 2 — ô 2 .

Donc, les équations des tangentes à la courbe ayant pour coefficientes angulaires et — i sont

±\Za*—b*(Y±iX)==ab,

et par conséquent les coordonnées de ses foyers réels sont ( = ^, oV en supposant 6 > a.

D'un autre côté, l'équation de l'ellipse dont la courbe définie par l'équation (1) est la développée est

Donc, les foyers de la courbe (1) coïncident avec ceux de V ellipse dont elle est la développée.

362. L'aire comprise entre la courbe (1), l'axe des ordonnées et le vecteur du point (œ 9 y) est déterminée par la formule

Ai = -g- / (ydx — xdy) = ~- ab / s\n*2tdt,

ou, en représentant par A l'aire comprise entre i'astroïde correspondante à 6 = a et les mêmes droites,

Ai = — A.

En particulier, Y aire limitée par la courbe est égale à —izab.

La rectification de la courbe considérée peut être obtenue au moyen de la formule

s = J V ' dx l + dy l = ?> J sin £ cos £ \/ a 2 sin 2 £ + 6 2 cos 2 £ . dt o o

= 3j° sin t cos « j/6 2 +(a 2 — b^JsmH . dt, o

d'où il résulte

ia longueur totale de la courbe est donc égale à 4 — ^ — p •

363. La développée de l'hyperbole est représentée par l'équation

et on en déduit des conséquences analogues à celles qui résultent de l'équation (1).

La nouvelle courbe a, comme on le voit aisément, la forme indiquée dans la figure 93. Elle est composée de deux branches infinies MAN et PBQ, symétriques par rapport aux

axes des coordonnées, et possède deux points de reb vous sèment réels A et B, où x = a et x = — a, et deux autres imaginaires ayant pour coordonnées (0, bi) et (0, — bi). La même courbe possède encore deux points de rebrousseraent à l'infini et quatre noeuds imaginaires à distance finie.

La courbe considérée peut être représentée par les deux équations

Fig. 93

t représentant une nouvelle variable indépendante. En faisant ë = z, on obtient ces autresrelations

qui déterminent x et y en fonction rationnelle de z. La courbe considérée est donc unicursale. On voit aussi aisément que X équation tangentielle de la développée de l'hyperbole est

et que les foyers de cette courbe coïncident avec ceux de l'hyperbole dont elle est la développée.

364. Avant de terminer la doctrine relative aux développées de l'ellipse et de l'hyper-

bole, nous rappellerons encore que ces développées et les quartique cruciforme et puntiforme sont rattachées par des relations intéressantes indiquées aux n. os 304 et 305.

Nous remarquerons enfin que la courbe définie par l'équation (1) est un cas particulier d'une classe de courbes représentées par la même équation rapportée à des axes de direction arbitraire. Dans le cas où ces axes sont obliques, la courbe a la forme indiquée dans la figure 94 ; alors les tangentes aux points de rebrousseraient sont des diamètres conjugués de la courbe.

Les courbes qu'on vient de définir ont été étudiées, sous le nom de tetracuspides, par

Bellavitis dans son Sposizione del Metodo délie Equipollenze (Modena, 1854, n. os 189-191) (*). On peut généraliser à toutes ces courbes les propriétés de la développée de l'ellipse démontrées aux n. os 358 et 359. On a confondu quelquefois les tetracuspides avec les courbes parallèles à l'astroïde, comme nous l'avons déjà dit; mais ces courbes sont distinctes, Les tetracuspides possèdent, comme les courbes parallèles à l'astroïde, quatre points de rebrousseraient, mais les tangentes à ces points sont toutes distinctes dans le cas de ces dernières courbes et B se réduisent à deux clans le cas des tetracus-

Fig. 94 pi des. Nous ajouterons encore que la tetracus-

pide a deux points de rebrousseraient imaginaires à l'infini, et que pour lui donner ce nom, on tient compte seulement des points de rebrousseraient réels.

Le scarabée.

365. Considérons deux droites AO et OB perpendiculaires l'une à l'autre (fig. 95) et un segment rectiligne AB mobile de grandeur constante, dont les extrémités soient situées sur ces droites. Prenons sur la bissectrice OX de l'angle AOB un point fixe P, et par

( l ) Une traduction française de ce Mémoire fut publiée par M. Laisant dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (2. e série, t. xm).

ce point menons une perpendiculaire PM à AB. Le lieu décrit par M, quand ÀB varie, est la podaire, par rapport au point P, de l'enveloppe de AB, c'est-à-dire de Vastroïde, et a été

nommé scarabée (Laurent : Traite d } Analyse, t. il, p. 183; Painvin: Géométrie analytique, p. 432, etc.).

Pour obtenir l'équation de cette courbe, prenons le point P pour origine des coordonnées, OP pour axe des abscisses et la perpendiculaire PY à OP pour axe des ordonnées, et cherchons les équations des droites AB et PM, qui, par leur intersection, déterminent le point M. En posant, pour cela, OA = a, OB = 3 ; PO = a, et en remarquant que la droite AB passe par les points A et B dont les coordonnées sont

Fig. 95

jW2-a, -l«t/2) ? (-i-pt/2-a, \ ^2) ,

on voit que l'équation de ci tte droite est

La droite PM est perpendiculaire à AB, et par conséquent son équation est

+ a)y + (p-cc)tf = 0.

On a encore, l représentant la grandeur du segment AB,

0? + pa = IK

L'équation cartésienne de la courbe résulte de l'élimination de a et [5 entrejes deux dernières équations et cette autre:

qui est une conséquence des deux premières, et elle est donc celle-ci: (1) 4 (oê + f + axf (*» + f) = P (f -xy.

L'équation polaire de la même courbe est

p == — a cos 6 + -çr- 1 cos 20.

VOL. IV

300. Nous allons chercher maintenant, au moyen de cette équation, la forme de la courbe considérée.

l.° Pour cela, supposons premièrement qu'on ait l<^2a.

En considérant d'abord la partie da la courbe correspondante à l'équation

p = — a cos — ~ l cos 26,

représentons par Oi le plus petit des angles positifs qui vérifient celle-ci :

a cos 6 + tt ^ cos 20 = 0,

c'est-à-dire l'angle déterminé par l'équation

cos 0{ ■■

Cet angle est inférieur à—, et, quand 6 varie depuis jusqu'à ôi, o est négatif et varie

depuis — a —l jusqu'à 0; le point (0, p) de

la courbe décrit alors l'arc AM'B (fig. 96).

Quand ensuite 6 varie depuis 6i jusqu'à p

varie depuis jusqu'à -—l, et le point (0, p)

décrit l'arc BO; et, quand enfin 6 varie entre ic 1

Fig. 96

x Y et

varie depuis — l jusqu'à a — ,

et le point (0, p) parcourt l'arc CD. La partie de la courbe correspondante aux valeurs de comprises entre % et 2iz est symétrique de celle qu'on vient de déterminer, par rapport à l'axe des abscisses.

Considérons maintenant la partie de la même courbe correspondante à l'équation

p = — a cos + 1 cos 26.

Si l'on remplace dans l'équation (3) par MBX, on trouve, en faisant MBX = 0', l'équa-

tion

» — a cos 6' — \r-l cos 20',

qui détermine un point M ; . Si maintenant on remplace dans l'équation (4) 6 par 0' -f ~, on obtient l'équation

p = a cos + i cos 20',

qui détermine le même point M 7 . Par conséquent l'équation (4) détermine les mêmes points que l'équation (3).