On envisage de même le cas où Z>2a
Alors les deux valeurs de cos 6 déterminées par l'équation
a cos 6 -j- — l cos 26 =
sont inférieures à l'unité et de signes contraires, et à ces valeurs correspondent deux valeurs de que nous représenterons par Oi et — 6i, comprises entre — — et — , et deux autres, que
& £ rrr
prises entre — et — % et entre — et %
prend les valeurs 0, 0i, 62 et tc, le vecteur p
nous représenterons par 62 et — 62, comprises entre et — % et entre -~ et t. Quand
|- 1, 0, ~ l, et a — y ^
acquiert les valeurs — a
et la courbe a par suite la forme indiquée dans la ligure 97, où
AB = a + 4"^ BD = a— BC=~ Z *
367. Il résulte de l'analyse qui précède que le scarabée possède trois points multiples B, S et S 7 à distance finie. Pour déterminer leurs coordonnées, appliquons la méthode générale correspondante à ce problème, laquelle conduit aux deux systèmes d'équations
ax --
d'où il résulte que l'origine des coordonnées est un de ces points, comme on le savait déjà, et
que les coordonnées de S et S 7 sont
a et
. Nous ajouterons que
le point B est quadruple et que les deux autres sont doubles. On détermine les coefficients angulaires X], X2, h et Xi des tangentes à la courbe considérée au point B par l'équation
qui résulte de l'équation (1) en y posant y = Xv ; les quatre tangentes sont donc, réelles
quand Z>2cr, et en sont réelles^seulement deux quand l <^2a.
Il est à remarquer encore que la courbe considérée a deux points doubles à l'infini, car
1 yi
en posant dans son équation x = — , y = — , on obtient une transformée qui représente
une courbe ayant deux noeuds imaginaires aux points (0, + i).
Les tangentes et les normales à la courbe peuvent être obtenues au moyen de la sousnormale polaire, laquelle est déterminée par la formule
Su = ^rr = « sin in Z sin 26.
au
368. La valeur de l'aire balayée par le vecteur p, quand 6 varie depuis jusqu'à 6 y peut être calculée par la formule
1 rO rfî Z 2 rO
A«-J- / 9 Èâ0=s ^J- (l+cos2fl)tf0 + j£ / (1+ 00s 46) dfl
aZ f0
+ — -r -/ (cos 36 + cos 6) dO,
qui donne
A = ^( / « 2 + ^6 + ? ^sin40 + ^sin30 + ^«2 S in20 + ~sin 0. 4 \ . 4/ 64 ^12 8 ^4
L'atriphtlialoïdc.
369. La courbe définie par l'équation polaire (1) p 2 fp-^) + /^sec 2 6 =
fut rencontrée par Haughton dans ses recherches sur la forme de la surface des mers recouvrant une sphère attractive, et fut appelée par ce géomètre atriphthaloïde. Les propriétés géométriques de cette courbe furent étudiées par K. Townsend dans un travail intitulé: On geometrical propevties ofthe Atriphthaloid, inséré aux Proceedings of the Royal Irish Academy,
1882, et par Gh de Longchamps dans une Note insérée au Journal de Mathématiques spéciales, t. xvn, 1893, p. 63, où est donnée une méthode pour en construire les tangentes.
L'équation cartésienne de l'atriphthaloïde est (2) (x* + if) = (hx* - kh\
et il en résulte une manière de construire cette courbe. En effet, en faisant x- -f ?/ 2 = p 2 , on trouve
et par conséquent une circonférence de rayon arbitraire p, ayant le centre à l'origine des coordonnées, détermine par son intersection avec les droites représentées par ces équations huit points de la courbe, lorsque p est compris entre deux nombres convenablement choisis.
370. Pour déterminer la forme de la courbe, remarquons d'abord qu'elle est symétrique par rapport aux axes des coordonnées. Remarquons ensuite que, en mettant l'équation (2) sous la forme
on voit immédiatement que Taxe des ordonnées en est une asymptote, et que les droites parallèles à cet axe coupent la courbe en deux points, réels ou imaginaires, situés à distance finie. Cette asymptote rencontre la courbe en six points coïncidents situés à l'infini, où elle a un point quadruple. La courbe a encore deux asymptotes imaginaires, dont les équations sont y = ix et # = — ix, et chacune de ces droites est encore tangente à la même courbe en deux autres points.
En donnant maintenant à l'équation (4) la forme
(hx 2 — k' è — x*) ilix* — k è + x è )
on voit que les abscisses des points où la courbe rencontre l'axe des abscisses sont les racines des équations
(5) ce 3 - hx* + k 3 = 0, x* + hx* - k 3 = 0,
et que, si a, p et Y représentent les racines de la première de ces équations, celles de la
deuxième sont — a, — - p et — y, et on a
Cela posé, nous allons considérer les trois cas qui peuvent se présenter.
1. ° Si les trois racines a, p et y sont réelles, c'est-à-dire si 4& 3 >27/£ 3 , la courbe coupe Taxe des abscisses en points A, A', B, B', C, C (fia. 98), dont les coordonnées sont,
respectivement, (0, a), (0, -«), (0, p), (0,-p), (0, T ), 0, - 7 ). En supposant alors a- < [B- < y 2 , les valeurs de ?/ sont imaginaires quand a? 2 ^>y 2 et quand a 2 < ce 2 < p 2 , et sont réelles lorsque p 2 < a? 2 < y 2 et lorsque a? 2 < a 2 . Par conséquent la courbe possède deux branches infinies passant par les points A et A 7 , qui ont pour asymptote commun Taxe des ordonnées, et deux ovales passant par les points B, C, B', C ; . Les tangentes à la courbe aux points A, A', B, B 7 , C, C sont
parallèles à Taxe des ordonnées.
2. ° Si 4h 3 = 27& 3 , deux des racines ce, [3 et y sont égales, et, en résolvant la première
des équations (5), on trouve a = — h, p = — - y = — Donc les points B et C coïnci-
dent et les ovales sont remplacés par deux points isolés ayant pour coordonnées ( + --^-^, 0) .
3. ° Si 4& 3 <27À; 3 , deux des racines de la première des équations (5), a et p par exemple, sont imaginaires. Alors le produit des facteurs x 2 — a 2 et ?/ 2 — P 2 est positif, et la valeur de y est par conséquent imaginaire quand a? 2 > y 2 , et est réelle quand x 2 varie entre et y 2 ; la courbe se réduit par suite aux deux branches infinies.
371. Cherchons maintenant les points de l'atriphthaloïde où l'ordonnée y prend une valeur maxime ou minime.
Considérons, pour cela, premièrement les branches finies de la courbe, correspondantes
Fig. 98
aux équations
aa+y'-pS -P = A— (p>0).
En différentiant la première de ces équations et en tenant compte de la deuxième, on trouve
x dx -f- y dy = p c?p = p cZsc,
et par conséquent, en faisant y ! = et en éliminant ensuite ce 2 ,
et enfin, en faisant p = pi + ^
(6) pï + Apï-y *"=■<>•
Cette équation et la relation p = pi-j-& déterminent les valeurs que prend le rayon p du cercle considéré au n.° 368 aux points où l'ordonnée y prend une valeur maxime ou minime. Les équations
déterminent ensuite les coordonnées de ces points, lesquelles sont réelles quand 0>pi> — h
et ^ > x~.
De même, pour déterminer les points des branches infinies de la courbe considérée, correspondantes aux équations
où y prend une valeur maxime ou minime, on peut employer les équations (6 ; ) p?-^î+ -1/^ = 0,
V pi
qui admettent des solutions réelles quand pt>& et p 2 ># 2 .
On voit aussi aisément que, quand les ovales considérés ci-dessus existent, la courbe
possède seulement quatre points. M, N, M' et N ; ? où les ordonnées sont maximes ou minimes, et que, si ces ovales n'existent pas, la courbe ne possède pas de points de cette nature. Pour cela, envisageons les polynômes de Stiirm correspondants à l'équation (6):
p?+Apî-lft», 3pf+2A P „ |^p,+l/c 3 , A(2--JQ^.
Pour que les deux ovales mentionnés existent, il faut qu'on ait 4A 3 >27/{; 3 , et alors les polynômes précédents prennent les signes suivants, quand on y fait pi— et pi = — h:
pi = 0, - + + pi =A, - + - +.
Par conséquent, entre pi = et pi = — h existent deux valeurs réelles de pi qui satisfont à l'équation (6), et auxquelles il correspond des valeurs positives de p et des valeurs réelles de œ. Mais, comme le nombre des points d'ordonnée maxime ou minime de chaque demiovale BMC doit être évidemment impair, les valeurs de y correspondantes à l'une de ces valeurs de pi sont réelles et celles qui correspondent à l'autre sont imaginaires, et les ovales ne peuvent par conséquent posséder que quatre points M, N, M' et W où y soit maxime ou minime.
Pour considérer maintenant les branches infinies de la courbe, remarquons que le nombre des racines de l'équation (6') comprises entre h et co est égal à celui des racines de l'équation (6) comprises entre — h et — co, et qu'il peut être déterminé au moyen des signes suivants, que prennent les polynômes considérés ci-dessus en y faisant pi — — ce, pi = — h:
pi= — CO, |- j-
pi = — h, — + — +;
ce nombre est donc égal à zéro, et pourtant les branches infinies de la courbe ne possèdent pas de points d'ordonnée maxime ou minime.
Envisageons maintenant le cas où la courbe ne possède pas d'ovales, c'est-à-dire le cas où 4& 3 ^ 27 & 3 .
Pour résoudre alors la question, il faut chercher le nombre des racines de l'équation (&) comprises entre h et co. Ce nombre est égal à celui des racines de l'équation (6) comprise» entre — h et — co, et peut donc être obtenu au moyen des signes que prennent les polynômes écrits ci-dessus dans les cas suivants:
h° Si 27& 3 >12A 3 ,
pj ^ - + +
