Si 27F<12/* 3 et 27ft
pi = — oo ? — + — —
pi= — ^ — + — --.
On voit donc que, dans tous ces cas, le nombre des racines de l'équation (6') comprises entre h et oo est égal à 0, et que par conséquent la courbe ne possède pas de points d'ordonnée maxime ou minime.
372. L'abscisse du point où la normale à l'atriphthaloïde coupe l'axe des abscisses est déterminée par l'égalité
X = x + yy' = ±^~,
qui peut être utilisée pour le tracé de cette droite.
La détermination des points d'inflexion de l'atriphtlialoïde dépend d'une équation du cinquième degré ; qu'on obtient du mode suivant.
Remarquons, pour cela, que cette courbe peut être représentée par les équations
p désignant maintenant une variable indépendante positive ou négative, et que de ces équations résultent d'abord ces autres :
(9) (x + yy') x 3 = p = h - k' 6 x~ À ,
et ensuite celle-ci:
ya 4- yi j! + i = 2/, 3 x ~' d - 6p 1<? x' 4 = 4k G x- 6 - 6p£ 3 x~ f \
En posant maintenant y' = 0, on obtient l'équation
y 3 = 4k Q x- 6 — 6p 7c 3 ar~ 4 - 1 ,
d'où il résulte, en éliminant y 1 au moyen de la première des relations (9) et ensuite ?/ 2 et au moyen des équations (8), cette équation du cinquième degré:
G p 5 — 12 Ap* + 6 Ji 2 p 3 1 5 ky - 1 8 hP ? + 4 A% 3 = 0,
VOL. IV TT
par laquelle on détermine les valeurs que p prend dans les points d'inflexion. Les coordonnées de ces points sont déterminées ensuite par les équations (8).
3?3. La quadrature de Tatriphtlialoïde dépend de l'intégrale
ou, en faisant x* = t,
fydx = -^ jt-z \/t [(ht-Wf^W].dt,
ou
OÙ
T = (7i* — l)f 3 — 2Ai 3 * a + Jk 6 f
Cette quadrature dépend donc de trois intégrales elliptiques de première, deuxième et troisième espèce, qu'on réduit aisément h la forme normale adoptée par Weierstrass.
La courbe de Talbot-
374. On désigne par le nom de courbe de Talbot l'enveloppe des droites perpendiculaires aux diamètres d'une ellipse à leurs extrémités. Cette courbe a été envisagée par ce géomètre [Annales de Mathématiques de Gergonne, t. XiV, p. 280), qui a remarqué que la longueur de ses arcs peut être représentée par une intégrale elliptique de première espèce et par une fonction algébrique des coordonnées de ses extrémités, en donnant ainsi pour la première fois un exemple d'une courbe qui satisfait à cette condition. L'étude de la forme de la même courbe fut faite par Roche dans le recueil mentionné (t. xiv, p. 207).
Il résulte immédiatement de la définition qu'on vient de donner de la courbe de Talbot, que cette courbe possède un centre et que sa podaire, par rapport à ce centre, est l'ellipse qui figure dans sa définition.
Pour chercher l'équation de la courbe, considérons les équations paramétriques de l'ellipse mentionnée :
x = a cos cp ; y = b sin cp,
et remarquons que l'équation du diamètre qui passe par le point (a?, y) est
Y = — X tang cp, a
et que l'équation de la droite perpendiculaire à ce diamètre à ce point est
bY sin <p -f- aX cos cp — & 2 sin 2 <p — a 2 cos 2 cp = 0.
La courbe de Talbot est l'enveloppe des droites représentées par cette équation, et son équation cartésienne résulte par conséquent de l'élimination de <p entre la même équation et cette autre:
bY cos <p — aX sin <p -f- (a 2 — 5 2 ) sin 2<p = 0.
On verra ci-dessus le résultant de cette élimination. Ici nous remarquerons que ces équations donnent ces autres:
X = (a 2 + c 2 sin 2 cp), Y = (a 2 - 2c 2 + c 2 sin 2 cp),
où c 2 = a 2 — ô 2 , lesquelles déterminent les coordonnées (X, Y) des points de la courbe en fonction d'un paramètre arbitraire cp, et qui vont être employées pour l'étudier.
375, Il résulte immédiatement de la définition de la courbe de Talbot que cette courbe
est symétrique par rapport aux axes des coordonnées et qu'elle est tangente à l'ellipse considérée aux extrémités des deux axes (fig, 99). Il en résulte aussi que l'angle formé par
ses tangentes avec Taxe des abscisses varie toujours dans le même sens, et que par conséquent elle n'a pas de points d'inflexion réels. On voit par les relations
dX sin cp . cos cp .
c/cp a v 1 acp o x 1
que la même courbe possède quatre points de rebrous sèment, déterminés par l'équation
a 2 — 2c 2 + 3c 2 sin 2 cp = 0,
d'où résultent peur cp des valeurs réelles lorsque a 2 = 6 2 ou a 2 >6 2 , et des valeurs imaginaires dans le cas contraire.
L'axe des ordonnées coupe la courbe aux deux extrémités B et D du petit axe de l'ellipse, et aux deux points doubles imaginaires déterminés par l'équation a 2 + c 2 sin 2 cp = 0. L'axe des abscisses coupe la même courbe aux extrémités A et C du grand axe de l'ellipse et aux deux points doubles déterminés par l'équation c cos cp = + Z>, lesquels sont réels quand a 2 ^2& 2 et imaginaires dans le cas contraire.
Il résulte de tout ce qui précède que la courbe a la forme indiquée dans la figuie 99 quand a 2 >2& 2 , et celle d'un ovale convexe quand a 2 < 26 2 . Si a 2 = 2& 2 , la courbe a aussi la forme d'un ovale convexe, mais elle possède un point triple à tangentes coïncidents à chacune des extrémités du grand axe de l'ellipse ; ces points sont formés par la réunion des points M, K, Q et des points N, L, P.
On voit aisément que la valeur du rayon de courbure de la courbe de Talbot peut être calculée par la formule
(a 2 - - 2c 2 + 3c 2 sin 2 cp) (a- sin 2 cp -f b'* cos 2 cp) 2
d'où il résulte que la courbe n'a pas de points d'inflexion.
376. La rectification de la courbe de Talbot dépend d'une intégrale elliptique de première espèce, comme on va le voir.
En partant, en effet, de la relation
f dsY 9 „ ^ , / cos 2 cp sin 2 cp\ bf) -(«— 2c- + oc- sin- <?)-(—,-'- + -g S i)»
et en faisant
& 2 = / , Aç= v/l-& 2 sin 2 cp,
on obtient la relation
ds = Acp d(f + — j— sin 2 <p Acp c?<p,
qui, en tenant compte de l'identité
>C) . 7 1 — A; 2 rfcp , 2fc 2 — 1 . 7 1 7 r • o An
sm 2 <p Acp d ? = • + Acp dcp — - ri [sm 2cp Acp],
prend la forme
On a donc le résultat obtenu par Talbot
7 /•<? do 3c 2 . .
On peut donc représenter géométriquement une intégrale elliptique de première espèce complète à module k au moyen de la longueur d'un arc de la courbe considérée. La courbe de Talbot est unicursale. En posant, en effet, dans les équations (1)
et, en particulier,
