fi 2t

on obtient celles-ci:

qui en déterminent les coordonnées en fonction rationnelle de la variable £.

L'équation cartésienne de la même courbe peut être obtenue par l'élimination de cp entre les équations (1), comme on a déjà dit, ou au moyen de l'élimination de t entre celles qu'on vient d'écrire. Oe calcul a été fait par Tortolini {Nouvelles Annales de Mathématiques, 1846, p. 365), qui a obtenu une équation du sixième degré, mise plus tard par Bourget (1. c, 1880, p. 236) sous la forme suivante:

[3 (a*œ* + 6 2 y 2 ) - 4 (a 4 + & 4 - ciW)f + 4 [9 (26 2 - a 2 ) aV + 9 (2a 2 - 6 2 ) & y + 4 (a 2 + 6 2 ) (2a 4 + 2& 4 - 5a 2 è 2 )] 2 = 0.

377. On peut rapprocher de la courbe qu'on vient d'étudier, celle qui est définie par les équations

ce = ^ (1 - 2/4 + k\ sin* <p), y = n< * ? (1 + k\ sin* ? ),

considérée par Legendre dans son Traité des fonctions elliptiques (1825-1832, t. l, p. 36), ligne qui a une forme analogue à celle de la courbe de Talbot. L'équation des tangentes à la nouvelle courbe est

h (Y cos cp + bX sin cp) =. 1 — k\ sin 2 cp, et par conséquent l'équation de sa podaire, par rapport au centre, est

¥ (bhf + a?*) (a» + fY = [bhf + (1 - ftj) a*]*. La podaire de la courbe de Legendre est donc une ellipse lorsque

&' + AÏ = l,

et dans les autres cas elle est une courbe du sixième ordre. Dans le premier cas, la courbe de Legendre est identique à une courbe de Talbot.

On voit aisément que, si b et k\ sont liées par cette relation, la longueur des arcs de la courbe considérée est déterminée par la formule

^ efo k\ s = / — K ■ sin v cos cp acp,

Acp = l/l — : sin 2 Cp.

La courbe qu'on vient de considérer a été employée par réminent géomètre pour représenter les intégrales elliptiques de première espèce de module égal à k\. Il a, en effet, démontré qu'on peut déterminer algébriquement les deux extrémités d'un arc dont la grandeur soit égale à une intégrale elliptique de première espèce de module k\ donné.

Les toroïdes.

378. On a déjà dit que les courbes qu'on obtient en prenant sur chaque normale à une courbe donnée, à partir du point où elle coupe cette courbe, deux segments de grandeur constante k, sont appelées courbes parallèles à la courbe donnée, et que, si R et Ri repré-

sentent, respectivement,- les rayons de courbure de la courbe donnée et d'une des courbes qui lui sont parallèles, on a Ri^R + A;.

Il résulte de cette définition que l'enveloppe d'un cercle dont le centre décrit une courbe donnée, est formé par deux courbes parallèles à celle-là.

Les courbes parallèles à l'ellipse furent appelées toroïdes par Breton de Champs dans un écrit inséré aux Nouvelles Annales de Mathématiques (1884, t. ni, p. 442), où il en a fait l'étude, car ces courbes sont identiques à celles qui limitent les aires qu'on obtient en projetant le tore sur les plans non perpendiculaires à son axe. Cette coïncidence des deux classes de courbes peut être reconnue aisément, en remarquant: que le tore est l'enveloppe des sphères de rayon constant k ayant le centre sur la circonférence d'un même cercle; que la projection de ce cercle sur chacun des plans considérés est une ellipse, et que les projections de ces sphères sur le même plan sont des cercles de rayon égal à k ayant le centre sur cette ellipse; et que ces cercles sont tangentes aux courbes qui limitent la projection du tore. Ces dernières courbes enveloppent donc un système de cercles de rayon constant ayant le centre sur l'ellipse, et elles sont, par conséquent, parallèles à cette ellipse.

On détermine aisément la forme des courbes parallèles à l'ellipse au moyen de leur définition, en tenant compte de la relation Ri =R+&. On voit, en effet, que le rayon de courbure R est toujours fini, et que par conséquent ces courbes n'ont pas de points d'inflexion. On voit aussi que celle qui correspond à l'égalité R, =R-f-/c n'a pas de points de rebroussement réels, mais que celle qui correspond à l'égalité Rj = R — k a quatre points de rebroussement E, F, H et Gr, situés sur la développée ACBD de l'ellipse considérée, lorsque k est comprise entre les valeurs maxime et minime du rayon de courbure de l'ellipse correspondante, car alors il existe quatre points de l'ellipse tels que R = k et, par conséquent, Ri = 0. Chacune des courbes parallèles à l'ellipse a donc la forme d'un ovale convexe, ou la forme EFNHGrME, indiquée dans la figure 100, où, d'après la théorie générale des développées, ÀM est égale à la longueur de l'arc AE de la développée de l'ellipse considérée, CP à celle de l'arc CE, etc. Dans ce dernier cas, les points M et N coïncident avec le point quand l'arc AE est égal à AO, et les arcs EMGr et FNH ne se coupent pas quand l'arc AE est plus petit que le segment AO.

379. Les courbes parallèles à l'ellipse furent étudiées par Cayley en 1860 clans le tome ni des Annali di Mafematica de Tortolini (Mathematical Papers, t. iv, p. 152), et plus tard par Breton de Champs dans l'écrit mentionné ci-dessus. Mais la base de la théorie analytique des mêmes courbes avait déjà été établie par Cauchy [Comptes rendus de V Académie des sciences de Paris, 1841, p. 1062 j, qui avait remarqué que, si le centre du cercle représenté par l'équation

décrit l'ellipse correspondante à cette autre:

on obtient l'équation de l'enveloppe de ce cercle en éliminant d'abord a et [3 entre ces équations et les relations

ce qui donne

m aV i *v =ï 62x2 i °V =/-»

w (0 + a*y 1 (0+5*)* ' (fl+a 2 ) 2 + * '

et en éliminant ensuite entre ces équations.

Cette élimination fut effectuée premièrement par Catalan (Nouvelles Annales de Mathématiques, 1844, t. m, p. 553) et ensuite, au moyen d'une analyse plus simple, par Cayley (1. c), qui ont obtenu une équation algébrique du huitième degré, que ce dernier géomètre a mise sous la forme