En posant en

m*œi rn*y\

(6) x= 4 + fî' +

on trouve l'équation suivante :

w?Xi = c (x\-\-yf) — 2 (oiXi + Pj/i) Xi.

Donc, la courbe inverse de la cissoïde crunodale, acnodale ou cuspidale, par rapport au point double, est, respectivement, une hyperbole, une ellipse ou une parabole, qui passe par ce point.

Réciproquement, la courbe inverse d'une conique par rapport à un de ses points est une cissoïde crunodale dans le cas de l'hyperbole, une cissoïde acnodale dans le cas de l'ellipse, une cissoïde cuspidale dans le cas de la parabole.

En effet, en prenant le centre d'inversion pour origine des coordonnées, on peut donner à l'équation de la conique la forme

(7) A,a î ï + Bi^i + C,yï + D 1 œ 1 + E,yi = 5 l'équation de la courbe inverse est alors

(8) (Dix + E*y) (x? + 1/) + m 2 (Aicc 2 + Biœy+ C^f) = et peut être réduite à la forme

x (x* + ?/) = Mœ 2 + T?xy + % 2 ,

en prenant pour axe des ordonnées une droite parallèle à l'asymptote réelle de cette courbe; on en conclut que la courbe cherchée coïncide avec la cissoïde dont les paramètres a, p et c sont déterminés par les équations

On voit encore au moyen des équations (7) et (8) que V asymptote de la cubique est parailèle à la tangente à la conique au centre, d'inversion et que les tangentes à la cubique au point double sont parallèles aux asymptotes de la conique.

Si le centre d'inversion coïncide avec un sommet de la conique, la cissoïde correspondante est droite; dans le cas contraire, elle est oblique.

27. La transformation qui fait correspondre à un point un autre dont les coordonnées (œ, y) sont liées à celles (a?i, y\) du premier par les relations (6), ou dont les coordonnées polaires (0, p) sont liées à celles (0j, p) du premier par les relations 0i = 6, ppi = m-, est nommée, comme on sait, transformation par rayons vecteurs réciproques ou inversion. Elle sera employée dans cette ouvrage plusieurs fois; et nous allons pour cela rappeler ici les propriétés principales, bien connues et, d'ailleurs, faciles à démontrer.

1. ° La transformée d'une droite ou d'un cercle passant par l'origine des coordonnées (pôle ou centre d'inversion) est une droite ; la transformée d'un droite ou d'un cercle qui ne passe pas par l'origine est un autre cercle.

2. ° Les tangentes à une courbe et à l'inverse aux points correspondants forment des angles égaux avec îa droite qui passe par ces points.

3. ° Si deux courbes se coupent à un point A, différent du centre d'inversion, leurs transformées se coupent à un point B correspondant, et l'angle formé par les tangentes aux deux courbes en A est égal à l'angle formé par les tangentes à leurs transformées en B.

4. ° Si deux courbes sont tangentes en un point, différent du centre d'inversion, leurs transformées sont aussi tangentes au point correspondant.

5. ° Les transformées des cercles tangentes à une même droite en le centre d'inversion sont des droites parallèles à celle-là.

28. Nous rappelerons encore ici qu'on donne le nom de foyer d'une courbe quelconque à tout point («i, pi) par lequel passent deux tangentes à cette courbe dont les coefficients sont égaux à + i et — ?, i représentant \/ — 1; et qu'il résulte immédiatement de cette notion générale, introduite par Plucker dans la Géométrie, que le point inverse d'un foyer d'une courbe est un foyer de la courbe inverse, si le centre d'inversion ne coïncide 'pas avec ce foyer-là. En effet, si les droites y — Pi = + ^(^ — ai) sont tangentes à une courbe en un point situé à distance finie, leurs transformées

m 2 pi , . / wi 2 cl\ \

. aï + pï \ 3Ï + PÎ/-

sont tangentes à la transformée de la courbe donnée au point correspondant. Donc

2 ~ + Pi