A*B* + 4B 2 + 4A 2 C + 18 ABC - 27C

ou

A = œ i + y^ — A3 - a» - b\ B = b *x* + a 2 ?/ 2 - aV^ - bVê - a 2 /; 2 , C = aWB.

Cayley a fait l'étude de la courbe considérée au moyen de cette équation; mais on peut déduire directement les propriétés de cette courbe des équations (2), comme nous l'avons fait dans un écrit inséré aux Mémoires couronnés et autres mémoires publiée par V Académie Royale de Belgique (1898, t. lviii), dont nous allons extraire la partie qui se rapporte à la même courbe. On peut voir dans le même écrit plusieurs théorèmes sur les normales à l'ellipse que nous y avons obtenus au moyen des courbes qui lui sont parallèles.

380. Les deux courbes parallèles à une ellipse donnée correspondantes aux équations

Ri = R + & et Ri = R — Je sont deux branches d'une même courbe algébrique, dont les points sont déterminés par les équations suivantes:

+ a 2 t / 6 Z - b'k 2 + b* / d'ii 1 - 6 2

qui résultent des équations (2) et qui expriment les coordonnées de ces points en fonction d'un paramètre 6. Les points réels de cette courbe correspondent aux valeurs de d comprises entre bk et ah, et entre — bk et — ak.

Il résulte aussi des mêmes équations (2) les relations

dx 6 3 + a*h*l<? dy 3 + aïVtë

dd 02 \/ C( ;i & s/& - bVâ dO \/ d l - b* s/dW - 0*

et par suite

x(0 + tf)

On peut déterminer au moyen de ces équations et des équations (3) la forme des toroïdes, et on retrouve ainsi les résultats déjà obtenus ci-dessus géométriquement, au moyen de la considération de la développée de l'ellipse; on peut déterminer, au moyen des mêmes équations, les points singuliers imaginaires de la courbe et la nature des points que la courbe possède à l'infini.

381. En cherchant premièrement les noeuds que la courbe possède à distance finie, nous examinerons les trois cas suivants: