Soit k~^>a. Si l'on fait = — S 2 , il vient
Comme on a k^>a>b J , les points de la courbe déterminés par les deux premières équations sont imaginaires, et en chacun de ces points y' a deux valeurs différentes, déterminées par la troisième; la courbe a par conséquent en chacun de ces points un noeud imaginaire.
En posant maintenant = — a 2 , on obtient les équations
( 6) *-o, ^±^V/7^, y^tv-y-»'^
qui déterminent deux points de la courbe sur l'axe des ordonnées, en chacun desquels y' a
VOL. IV UU
deux valeurs réelles quand d eu x valeurs imaginaires quand k>~. Dans le premier
cas, la courbe a deux noeuds réels sur l'axe des ordonnées (qui coïncident quand k = a) • dans le second cas, elle a deux points isolés.
2. ° Soit maintenant a^>k>b. La courbe a alors quatre noeuds imaginaires. Les valeurs des coordonnées de ces points résultent des équations (5) et (6).
3. ° Soit k^b. Alors, si l'on sl — , la courbe possède deux noeuds réels (qui coïncident quand k = b) 1 dont les coordonnées sont déterminées par les formules (5), et elle a deux
noeuds imaginaires, dont les coordonnées résultent des formules (6): si Ton a k< — ,1a
courbe possède encore deux noeuds imaginaires, et, au lieu des deux noeuds réels, elle a deux points isolés.
De cette discussion il résulte le théorème suivant:
Chacune des courbes algébriques représentées par les équations (3) a, à distance finie, quatre
noeuds. Deux de ces points sont toujours imaginaires ; les autres sont aussi imaginaires quand
k est compris entre b et a, et ils sont réels dans le cas contraire. Si k^> -j- ou k<l — . ces der-
nier s points sont isolés.
382. Les valeurs que 6 prend aux points de rebroussera. en t doivent satisfaire aux équa-
' dsc du
tions — ^- = 0, ~]'^" = 0? e ^ es sont > P ar conséquent, données par l'équation
On en conclut qu'il existe quatre rebrous sements réels, quand la racine réelle de cette équation est comprise entre — bk et — ak, c'est-à-dire quand k satisfait aux conditions
— < k < -j- ; la courbe a. en outre, huit points de rehaussement imaginaires. Quand ces conditions ne sont pas satisfaites, la courbe a douze jjoints de rebroussement imaginaires.
Les points de rebroussement peuvent encore être obtenus d'une autre manière. Ils doivent, en effet, satisfaire à l'équation R 2 = /<; 9 , R représentant, comme ci-dessus, le rayon de courbure de l'ellipse envisagée, ou
Cette équation représente trois ellipses, une réelle et deux imaginaires, lesquelles déterminent, au moyen de leurs intersections avec l'ellipse proposée, douze points, dont quatre
b^ cfê
sont réels quand k est compris entre — et -j-. Les centres de courbure correspondants à ces points de l'ellipse proposée sont les points de rebroussement cherchés.
383. Dans l'étude précédente, on n'a pas considéré le cas de k = — , ni celui de k = — „
Dans le premier de ces cas, les points de rebroussement réels et les noeuds réels qui
existent sur l'axe des ordonnées quand a < /b < -y , forment, en se réunissant en les extrémités du grand axe de la développée de l'ellipse, deux points triples, ou la tangente est parallèle à Taxe des abscisses. La courbe a alors la forme d'un ovale convexe.
Si k = — les points de rebroussement réels et les noeuds réels qui existent sur l'axe des a b*
abscisses quand — , forment, en se réunissant en les extrémités du petit axe de l'el-
lipse, deux points triples, où la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées. La courbe a encore la forme d'un ovale convexe.
384. Pour compléter l'étude des points singuliers de la toroïde, il faut encore étudier les points situés à l'infini, et, pour cela, nous en allons chercher les asymptotes.
Il résulte des équations (3) que, quand 6 tend vers 0, x tend vers zoo, et y vers gc; et,
si l'on prend les valeurs de x et y qui ont le même signe, — tend vers -y i. De même,
y * y quand d tend vers co, x tend vers oo et — vers i.
On a ensuite, dans le premier cas,
lim (x — % iy] = ± 1 lim \ibk (l+^r) (l 07 1 79 + - .
aVc . / , 1«
Donc la courbe a deux asymptotes dont les équations sont
ou
?/ = ix + — — & 2 ,
et aussi deux asymptotes représentées par l'équation
y = — ix+ — i/a 2 — 6 2 .
Dans le second cas
lim (y-ix) = ± J lim j/fl (l - + -
Donc la courbe a encore quatre asymptotes imaginaires, dont les équations sont
y = ix + i V ' a* — 6 2 , y = — ix + i i^a 2 — & 2 .
À chacun des couples d'asymptotes qu'on vient d'obtenir correspond un noeud à l'infini.
La toroïde possède par conséquent quatre noeuds imaginaires à l'infini.
Les points de l'infini peuvent être étudiés encore au moyen des équations qu'on obtient
en remplaçant dans les équations (2) x par — et y par savoir
I a 2 -6 a fl + 6 a
x - 'o + a* y e*-w y-e + a*-\/ 0*-bW
La courbe représentée par ces équations coupe l'axe des ordonnées en quatre points, dont
les ordonnées sont égales a z, — ^ — i, — — i, et 1 on peut voir, en procédant comme pour
les noeuds de la courbe (3), que ces points sont des noeuds de la nouvelle courbe.
385. On vient de voir que la toroïde possède douze points de rebroussement et huit noeuds, ou deux points triples, six noeuds et huit points de rebroussement. On en conclut, au moyen de la formule de Plùcker employée au n.° 147, que cette courbe n'a pas de points d'inflexion ni réels ni imaginaires, comme on l'avait déjà dit. On en conclut encore que ces courbes sont du genre un, ce qui résulte d'ailleurs immédiatement de la forme des équations (3), qui déterminent x et y en fonction rationnelle de et du radical
On en déduit enfin, en s'appuyant sur la formule de Pliïcker écrite au n.° 85, que la classe de cette courbe est égale à quatre, et que par conséquent son équation tangentielle est du quatrième degré.
On trouve facilement cette équation au moyen de l'équation de la tangente à la courbe
v/a a ft a -fl a v , t/fl*-i a A a
(6 + lê) Va? - o 2 (0 2 + 7« 2 ) Va? - & 2 En comparant, en effet, cette équation à cette autre
on trouve
(0 + /c 2 ) Va 3 - è 2 ' (0 + fc») Va 2 - 6 2
d'où il résulte, en éliminant 0, l'équation cherchée
On peut déterminer aisément, au moyen de cette équation, les foyers de la courbe considérée, en employant une méthode déjà appliquée souvent dans cet ouvrage. On trouve ainsi que la toroïde a deux foyers réels, qui coïncident avec les foyers de l'ellipse, et que ces foyers sont singuliers (n.° 28).
Les coordonnées cartésiennes et tangentielles des courbes parallèles à l'ellipse peuvent être encore représentées par des fonctions elliptiques méroinorphes d'un même argument. En faisant, en effet, dans les formules (3), d=^bkt et ensuite t = snu, et en supposant que le
module de cette fonction est égal à — , on trouve
\/bV^ - tf 2 = hk i/l — « 2 = hk sn u, \Ja*k?> - 0* = ak \J 1 - $ = k dn u, et par conséquent
(hk sn u + a 2 ) en u a (k sn u + h) dn u
sn u V h % — a 2 " sn u y o? — 5 2
On peut exprimer de même les coordonnés tangentielles u et v par des fonctions rationnelles de snu, cnu et dnu.
Les courbes considérées furent étudiées au moyen des fonctions elliptiques par Schwering* dans un opuscule publié en 1877 sous ce titre: Die parallelcurve der Ellipse, als curve von range eins.
380* On peut encore étudier les courbes parallèles à l'ellipse par une autre analyse qu'on va exposer.
En effet, en représentant par a et (3 les coordonnées des points de l'ellipse donnée, on peut poser.
a = asincp, p=5cos<f,
et alors on a, pour déterminer les coordonnées des courbes parallèles à cette ellipse, l'équation
(x — a sin <p) 2 + (y — h cos cp ) 2 = & 2 ,
qui représente un cercle de rayon égal à k ayant le centre sur l'ellipse, et celle-ci:
a(x — asincp) b (y — b cos <p) sin <p cos cp
qu'on obtient en dérivant les deux membres de celle qui précède par rapport à cp Ces équations déterminent, en effet, l'enveloppe des positions que prend le cercle quand son centre parcourt l'ellipse.
Or, ces équations donnent ces autres:
x = a sm cp-
bk sin cp 7 , k cos cp
