cos cp
a j/l — X 2 sin 2 cp
l/l — A: 2 sin 2 cp
où X 2 :
— ^ — , par lesquelles on peut établir les propriétés des toroïdes qu'on a obtenues en et
se servant des équations (3). Mais nous ne ferons pas ici cette étude, et nous allons seulement nous en servir pour déterminer la longueur des arcs et les valeurs des aires des courbes considérées.
Les équations qu'on vient d'écrire donnent
Sx dtp
= a cos cp -f- •
kb cos cp
a(l — X 2 sin 2 cp) '
> sm cp -
kb 2 sin cp
a 2 (t-X 2 sin 2 cp)
et par conséquent la valeur de l'aire balayée par le vecteur d'un point de la toroïde, quand cp varie depuis jusqu'à cp, est donnée par la formule
ou
Mais
Donc
-if
1 r f if dx
ab 9 + —j
(Acp) 2
y dy X c?<p,
■ ka
dtp
dy ' Acp r/cp
r<? c/cp ~|
Acp = \/\ — À. 2 sin 2 cp.
Y'A ? ^-> 2sin< f C0St ?
<? rftp
~ — arc tang ^ cot cp^
abrç + & 2 -9- — & 2 arc tang ( -7- cot cp
aa2 cos^m ? +2fca
On conclut de cette formule que l'aire Ai balayée par le vecteur d'un point de la courbe
considérée, quand cp varie depuis jusqu'à — , est déterminée par l'équation
/2 Àcp 0?Cp
Les formules qu'on vient d'obtenir correspondent à l'une des branches de la courbe; en changeant k en — k 9 on obtient celles qui correspondent à l'autre. L'aire A2 comprise entre les deux branches est déterminée par l'égalité, due à Cauchy (1. c) :
A 2 = 8ka J ' Àcp d!<p.
Pour déterminer maintenant la longueur s des arcs de la toroïde, remarquons qu'on a, en représentant par s[ la longueur des arcs de l'ellipse correspondante,
et par conséquent dx
= a cos cp + kha % cos cp
) ? — — - — — - 6 sm cp —
cp — kah % sin cp (^""^ e
Donc
ds{ . ( d(D \ 2 -7— +
acs \ asi
et par conséquent
s = si
-si — & arc tang ( -7- cot cp j -f- C,
C représentant une constante arbitraire; ou, en prenant pour origine des arcs si et s les points de l'ellipse et de la toroïde correspondants à cp = 0,
s = si+k~ — k arc tang i^- cot vyj •
Mais on a
dy dx
tang cp ;
et par suite, en représentant par co l'angle formé par l'axe des abscisses avec la normale à
îa toroïde au point qui correspond à la valeur considérée de cp 7
tang o) = -y cot cp.
Donc l'expression de s prend la forme
s*=S{ -\-k — toj,
remarquée par Breton de Champs (1. c).
Les podaires centrales des toroïdes.
387. Nous avons étudié la podaire centrale de la toroïde dans le Mémoire sur les Courbes parallèles à l'ellipse mentionné au n.° 379, où nous en avons trouvé les propriétés qu'on va exposer.
Soient X et Y les coordonnées du point de la podaire considérée qui correspond au point (x, y) de la toroïde. Les équations de la tangente à cette courbe au point (x, y) et de la perpendiculaire à cette droite tirée par le centre de l'ellipse sont (n.° 385)
et par conséquent les coordonnées des points de la podaire de toroïde sont déterminées par les équations
où 8 joue le rôle de paramètre arbitraire.
La courbe représentée par ces équations est composée de deux branches réelles fermées, dont l'une correspond à la branche extérieure et l'autre à la branche intérieure de la toroïde. On détermine les points d'une branche en faisant varier 6 entre ah et bk; et ceux de l'autre correspondent aux valeurs de 6 comprises entre — bk et — ak. On trouve facilement, au moyen des équations (1) et de cette autre
( ' dX ~ 20 2 + m - Wk* V a% 2 - 2
la forme de la courbe. Les deux branches sont symétriques par rapport aux axes des coordonnées, et elles coupent orthogonalement ces axes aux points + 0) et (0, b + k). En outre, la branche extérieure possède quatre points où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, lesquels correspondent à la racine positive de l'équation
quand cette racine est comprise entre les nombres bk et ak; et la branche intérieure possède aussi quatre points jouissant de la même propriété, qui correspondent à la racine négative de cette équation, quand cette racine est comprise entre — bk et — ak. De même, à la racine positive de l'équation
26i + ^d-bV^=0,
correspondent quatre points d'une des branches où la tangente est parallèle à l'axe des ordonnées, quand cette racine est comprise entre bk et ah, et à la racine négative de la même équation correspondent aussi quatre points satisfaisant à la même condition, quand cette racine est comprise entre — bk et — ak.
Si &> a ou k<^b; la courbe possède un point quadruple isolé à l'origine des coordonnées; si 6<&<o, elle y a un noeud quadruple. Seulement deux des tangentes au point quadruple
sont distinctes, et leurs coefficients angulaires sont égaux à + A
■Je
9 9. Dans le dernier cas, h* —
la branche intérieure de la courbe a la forme indiquée dans la figure 101.
Enfin, si Ton a k = a ou k = b, la courbe a encore un noeud quadruple à l'origine des coordonnées, et la branche intérieure est composée de deux ovales tangentes tn ce point à l'axe des abscisses quand k = a, ou à l'axe des ordonnées quand k = b t
888. On déduit facilement des équations (1) l'équation cartésienne de la podaire centrale de la toroïde. Ces équations donnent, en effet,
Fi y. 101
et, en tirant de là la valeur de 6^ pour lu substituer clans l'une des équations (1), on obtient l'équation demandée:
(3) [(«* + f-f - («W - r IV) - * 2 (** + f)T = W («V -f i>Y) (** r).
VOL. iv YV
On en conclut, en premier lieu, que la courbe possède quatre asymptotes, déterminées par les équations
y =■. ix + ^- i y ' a* — 6° 2 5 y = — ix + ~ i \/ a* 2 — 6 2 ,
À Ci
et que chacune de ces asymptotes est double. On en conclut aussi que la courbe possède deux points quadruples aux points circulaires de l'infini, et deux foyers singuliers, dont les coor-
données sont i^r-^Va 2 — 0J .
389. Les coordonnées de la courbe qu'on vient de considérer, peuvent être exprimées par des fonctions elliptiques méromorphes d'un même argument. On a, en effet, comme au n.° 385,
^ b (sn u + Je) en u y a sn u ~t~ c ^ n u ~ VW^aJ ' ~~ V 7 ^ 2 ^ 2
