L'équation (3) peut être mise encore sous la forme

[(se 2 + yy — (a*œ* + bhf) + & 2 (^ 2 + y 2 )] 2 - 4& 2 (^ 2 + #*) 3 ou, en posant cc=pcos#, y=psinô ?

(p + Jk) a = a a cos î e + 6 3 sin*fl; de sorte que l'équation polaire de la courbe considérée est

p=fc±V/a 2 cos 2 + J*sin*0.

Tl résulte immédiatement de cette équation que les podaires des courbes parallèles à l'ellipse sont concJioïdes de la lemniscate elliptique (n.° 189). Ce théorème est d'ailleurs une conséquence d'une proposition générale, qu'on démontre aisément, d'après laquelle les podaires, par rapport à un même point, de deux courbes parallèles sont des conchoïdes Tune de l'autre, et de la proposition démontrée au n.° 193, d'après laquelle la lemniscate elliptique est la podaire centrale de l'ellipse.

391. Si l'on élimine 6 entre l'équation d'une podaire centrale de la toroïde

(p Jcf = « 2 (l a2 ~~^ sin 2

et l'équation

p sin 6 = A p cos 6 + y 07

qui représente une droite passant par le point (0, y ), il vient

- cr

Celte équation détermine les valeurs que prend p aux points où la droite coupe la courbe. En désignant par pi, pi, . . . , ps ces valeurs, on a

pi + p2 + p3 + p4 ~f po + P6 + p7 + P8 = 4A.

Donc, £a somme des distances du centre aux points où une droite quelconque coupe la courbe est égale à 4Jc.

On a aussi

PipJ,== ï+T 2 '

K représentant une quantité indépendante de ?/ ; et par conséquent

pî + pI+- - ■+p! s=s2 1 + A < K >

Donc, la somme des carrés des distances du centre aux points où une droite coupe la courbe, reste constante quand la droite se déplace parallèlement à elle même.

On a encore, en représentant par co l'angle de la droite avec l'axe des abscisses et en tenant compte de l'égalité À =■■= tangos,

p, p 2 . . . p 8 = = y\ ^ - a*? cos' «>,

et par conséquent, en représentant par A la distance de la droite au centre de la courbe,

P ip i ... P 8 = A*(a ï -6*) ï .

Donc, le produit des distances du centre de la courbe aux points où une droite coupe cette courbe est constant pour toutes les droites qui sont à la même distance de ce centre.