La courbe définie par l'équation

où m, m' et Je désignent des quantités constantes et r et r' les distances d'un quelconque de ses points à deux points fixes, situés dans son plan ? est une courbe équipotentielle étudiée par Cayley dans le PJiylosophical Magazine en 1857 (t t xiv, p. 142), Elle est, en effet, le méridian de la surface de révolution qui jouit de la propriété d'être constant, dans toute la surface, le potentiel des masses wi'et m 1 de deux centres d'attraction ou répulsion situés sur l'axe, à la distance a l'un de l'autre.

Pour déterminer l'équation cartésienne de cette courbe, prenons pour origine des coordonnées l'un des centres fixes et pour axe des abscisses la droite qui passe par les deux centres. On a alors

(2) r 2 = x* + if, r' 2 = (x - af + f ;

et ensuite, en éliminant r et r' entre ces relations et l'équation (1), on obtient l'équation cherchée :

j a V [(x - af + f] + a*m'* (x^ + f) - J$ (ce 2 + y*) [(x - af + f] j 2 = 4a 4 m 2 m /2 (a? 2 + y*) [{x - af + y%

laquelle est du huitième degré.

On voit aisément, au moyen de cette équation, que chacune des droites y — ±.ix et y = i.i(& — a) rencontre la courbe en deux points coïncidents, situés à distance finie. Par conséquent, l'origine des coordonnées et le point (a, 0), c'est-à-dire les pôles auxquels est rapportée V équation (1), sont des foyers ordinaires de la courbe.

On voit aussi, au moyen de la même équation, que les mêmes droites sont asymptotes de la courbe, et que, par conséquent, les points envisagés sont, en outre, des foyers singuliers de la même courbe.

Chacune des quatre asymptotes de la courbe est double. La courbe a donc à l'infini deux points quadruples, et à chacun deux tangentes distinctes.

394. Les valeurs des coordonnées x et y des points de la courbe peuvent être représentées par les fonctions de r suivantes, qui résultent des équations (1) et (2):

/ox (a 2 + r 2 ) (kr — am) 2 — a 2 m /2 r 2

2 a (1er — a m) 2

kW-(r-a,Ur-a,) , (r-«g) ^ 2a (kr — am) 1

où l'on représente par a\, ai, . . as les racines des équations du deuxième degré

(r — a) (kr — am) — am!r = 0, (r — a) (kr — am) -f- am'r = ?

(r + a) (kr — am) — am'r = 0, (r + a) (kr — am) + am'r = 0.

Les racines de la première, de la troisième et de la quatrième équation sont réelles et inégales. Celles de la deuxième sont réelles et inégales, lorsque

(k + m — m r f — 4ckm ^ [Je - ( \/m + s/m ] f\ [k - ( \/ m — \/m!f\ ^ 0,

c'est-à-dire quand k > ( \/ m + i/ra / ) 2 et quand k < ( s/m — s/m!) 2 ; elles sont égales quand A == ( i/m + V^w') 2 et quand k= (s/m — iAn') 2 ; dans les autres cas ces racines sont imaginaires.