En tenant compte de ces résultats et des égalités

dx r [(kr — am) 3 + a 3 m m' 2 '] dr a(kr — am) 3

<ty lf F (r) (kr-am)-4k¥{r) dr ~~ 2a' 2 (kr — amf /î>j

où

F (r) = — (r — ai) (r — as) . . . (r — a 8 ),

on peut obtenir la forme générale de la courbe, en considérant pour cela les trois cas suivants.

1. ° Supposons que les racines ai, ag, . .., as soient toutes réelles et inégales et que «8>a7]>a6>. . . >aj. Alors l'ordonnée y sera réelle et finie quand la valeur de r est comprise dans les intervalles (as, c^), ( a 6, a o)> a 3) et ai), et imaginaires dans les autres cas. Par conséquent la courbe sera composée de quatre ovales, symétriques par rapport à Taxe des abscisses, qu'ils coupent perpendiculairement aux points où r prend les valeurs ai, a*, . . . , ag.

Pour déterminer les points de ces ovales où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, c'est-à-dire à l'axe de la courbe, il faut résoudre l'équation du huitième degré suivante, par rapport à r:

(8) F 7 (r) (kr - am) - 4k F (r) - 0.

Or, comme l'on a

F (r) = — [(r — a 7 ) (r — a 6 ) . . . (r - a { ) + (V— a 8 )(r — a 6 ). . .(r — ai)

la fonction F ; (r) est négative quand r prend les valeurs ag, ai, ou et positive quand r prend les valeurs «7, as, a\\ ou a\\ et par conséquent le premier membre de l'équation (8) change de signe six ou sept fois, quand on donne à r les valeurs as, «7, «6, «, a i* O n en conclut que trois des ovales considérés possèdent un point de chaque côté de l'axe de la courbe où la tangente est parallèle à cet axe, et l'autre ovale peut posséder un ou trois points jouissant de cette propriété.

La tangente est perpendiculaire à l'axe des abscisses, c'est-à-dire à l'axe de la courbe, aux points où elle coupe cette droite et aux points correspondants aux valeurs de r déterminées par l'équation

(kr — anïf -f a 3 w?wi /2 = 0.

A la racine réelle de cette équation correspondent deux points, symétriquement situés par rapport à Taxe des abscisses, lesquels sont réels quand r appartient à l'un des intervalles (#8? «7), (#6, «s), («4, «3), («2 5 <*iX e * imaginaires dans le cas contraire.

2. ° Si deux des racines «j, «2, * • #8 sont égales, on voit de même que la courbe est composée de trois ovales, ayant un même axe, qui coïncide avec celui des abscisses ; les points où la tangente est parallèle ou perpendiculaire à cet axe, sont déterminés par les mêmes équations que dans le cas précédent.

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3.° Si les deux racines de la deuxième des équations (5) sont égales, l'expression de cesracines est

où l'on doit employer le signe supérieur quand k = ( \/m-\- vW) 2 , et le signe inférieur quand k = (s/m — S/m'f. Alors deux des ovales dont la courbe est composée ont un point commun, situé sur Taxe des abscisses, lequel est par conséquent un point double de la courbe. L'abscisse de ce point est égale à l'une des valeurs de r qu'on vient d'écrire.

390. En se basant sur les indications qu'on vient d'exposer, on peut déterminer aisément dans chaque cas la forme de la courbe. La disposition des ovales dont elle est composée, par rapport aux foyers, et les modifications que la forme de ces ovales subit, quand k varie, furent déterminées d'une manière presque intuitive par Cayley dans le beau Mémoire mentionné ci -dessus, comme on va le voir.

Remarquons d'abord que les ovales dont la courbe est composée varient d'une manière continue avec k, et qu'elles ne peuvent jamais passer par les foyers O et ; ; et rappelons que la courbe est composée de trois ovales quand la valeur de k est comprise entre ( \/ m — \/m ! y 2 et (l/m + tArc') 2 , et de quatre ovales dans les autres cas. Remarquons encore que l'équation (1) peut être remplacée par ces deux:

en rendant explicites les signes de r et r'. Remarquons enfin: que, quand k tend vers l'infini, l'un des vecteurs r et r 1 tend vers zéro et l'autre tend, par conséquent, pour a, et que les ovales s'approchent des cercles de centre O et / représentés par les équations

et que, quand k tend vers zéro, deux des ovales tendent vers le cercle correspondant à l'équation mV 2 = m ,2 r 2 et les deux autres tendent vers l'infini.

Cela posé, voici les positions que prennent les ovales, quand k varie depuis l'infini jusqu'à zéro.

1. ° Si kXV'm + s/m'f, deux des ovales A et B contiennent à l'intérieur les deux autres C et D, et le foyer O' est à l'intérieur de A et C et le foyer O à l'intérieur de B et D.

2. ° Quand k = (\/m-\-s/m!f, les deux ovales A et B ont un point commun, situé sur Taxe de la courbe, et la courbe prend la forme d'un huit (fig. 102) ayant l'un des ovales C et D à chaque boucle ; les points O et O' sont encore à l'intérieur de D et C, respectivement.

o.° Quand k décroît ensuite, à partir de (Vm+ vV) 2 , les deux points qui forment le point double de cet huit, seloignent de l'axe de la courbe en deux directions symétriques

Fig. 102 Fig. 103

par rapport à cet axe, et les ovales A et B se réduisent ainsi à un seul ovale (fig. 103) ayant à l'intérieur les ovales C et D.

Quand ensuite k, en continuant à décroître, s'approche de ( S/m — l/m') 2 , l'un des ovales intérieurs, C par exemple, prend la forme indiquée clans la figure 104, et ensuite il s'allongue

Fig 104 Fig. 105

de manière à embrasser l'ovale D ? et prend la forme indiquée dans la figure 105 quand k prend la valeur (l/m — \/m ! y l .

4. ° Quand k = (\/m — s/m f, la courbe est composée de deux ovales B et C ayant un point commum, situé sur l'axe de la courbe, et de deux autres D et A situés, respectivement, à l'intérieur et à l'extérieur de celles-là. Le foyer est à l'intérieur de D, le foyer 0' est à l'intérieur de A et B et à l'extérieur de C.

5. ° Quand k devient inférieur à (s/m — \/m'f, les deux ovales B et C se séparent et la courbe est composée de quatre ovales A, B, C et D, chacnn desquels contient à l'intérieur celui qui suit. Le foyer est à l'intérieur de D et le foyer 0' est à l'intérieur de A et B et à l'extérieur des autres deux ovales.

Il est facile de voir que, si l'on supposait que les ovales varient d'une manière différente de celle qu'on vient d'indiquer, ou arriverait à une disposition finale de ces ovales incompatible avec ce qui, d'après ce qu'on a vu ci-dessus, arrive lorsque k tend vers zéro.

397. Les points d'intersection de la courbe (1) avec une transversale quelconque jouissent de quelques propriétés intéressantes que nous allons indiquer.

La droite représentée par l'équation

coupe la courbe envisagée en huit points où r prend les valeurs déterminées par l'équation suivante, qui résulte de l'élimination de x et y entre l'équation de la droite et les relations (3) et (4):

A [(a 3 + r 2 ) (kr - amf - a W] + B& 3 V 7 F (7-) + 2aC (kr - amf = 0,

mà F ('/•) — j (kr - am) 3 [2aC + A (a 2 + r 2 ) - aW* r 2 1 2 = 0,

là (A 2 + B 2 ) r 8 - 4amJfc 3 (A 2 + B 2 ) r 7 + . . . +a*ro* [BV + (2aO + Aa 2 ) 2 ] = 0. Or, il résulte de cette équation les conséquences suivantes :

1.° La somme des distances rg, . , . , r$ des points d'intersection de la transversale considérée avec la courbe au foyer pris pour origine des coordonnées vérifie la condition

111 A am

T\ + 7*-2 + ?'3 + • • • + Ts = 4

et, de même, la somme des distances r[, 1% r 3 ', . . . , r$ des mêmes points à l'autre foyer vérifie cette autre condition

Donc, Za somme des distances des points où une transversale coupe la courbe (1), à l'un quelconque des foyers est constante.

2.° Les mêmes distances ri, ra, . . - , r$ vérifient la condition

d'où il résuite qu'on a

quand- C + Aa — 0, c'est-à-dire quand la transversale est représentée par l'équation

A(aj — a) + By = 0.

Alors cette transversale passe par le foyer (a, 0), et on a donc la proposition suivante: Le produit des distances des points où une transversale passant par Vun des foyers coupe la courbe, à Vautre foyer est constant.

VOL. IV XX

Nous avons indiqué ces deux propriétés de la courbe définie par l'équation (1) dans un écrit inséré aux Avchiv der Mathematik und Physik (3. e série, t. m), ainsi que la méthode analytique qu'on a employée plus haut pour étudier la même courbe.

398. L'équation qu'on vient d'étudier est un cas particulier de l'équation

m , m' , , — - H -\~ • • • + -Tïïr = 9>

où r, r\ . . . représentent les distances d'un quelconque des points de la courbe qu'elle définit à n pôles fixes, et où g, m, m\ ... sont des quantités constantes. Cette équation comprend aussi celles de deux courbes envisagées par Leibniz dans une lettre adressée à Huygens en 26 janvier 1680 (Oeuvres de Huygens, t. vm, p. 270) et dans l'écrit intitulé: Nova methodus pvo maximis et minimis, publié en 1684 dans les Acta eruditorum ; équations que le premier de ces grands géomètres a pris pour exemples de l'avantage de la méthode différentielle, exposée dans ce travail célèbre, dans la recherche des tangentes aux courbes. Il fait, en effet, remarquer que par cette méthode on détermine les tangentes à chacune des courbes envisagées sans qu'on ait besoin de faire disparaître les radicaux qui entrent dans son équation, tandis que pour appliquer les autres méthodes alors connues on était obligé à rendre d'abord l'équation de la courbe rationnelle, ce qui exigait un long calcul.

L'application de cette méthode à la courbe considérée est, en effet, bien facile. En posant,

(ci, 5), (a', S'), . . . étant les coordonnées des pôles, on trouve la relation

par laquelle on détermine le coefficient angulaire de la tangente, sans qu'on ait besoin de rendre d'abord rationnelle l'équation de la courbe envisagée.

Xotice sueeintc sur Forigioc et le développement des eoorbes algélbriqiies

de la théorie

399c En terminant la partie de cet ouvrage consacré aux courbes algébriques spéciales plus remarquables, nous allons donner quelques indications historiques et bibliographiques succintes sur la théorie générale des mêmes courbes. Ces indications font suite à celles que sur les cubiques et sur les quar tiques nous avons exposé à la fin des chapitres consacrés à ces courbes (n, os 164 et 340).

L'opuscule de Newton Enumeratio linearum tertii ordinis, cité ici à divers reprises, constitue le point de départ et la base de la théorie générale des courbes algébriques, non seulement parcequ'on y trouve consignés les premiers théorèmes généraux sur ces courbes, mais aussi parceque la démonstration des propositions, relatives aux cubiques, énoncées dans cet ouvrage admirable, données plus tard par d'autres géomètres, a exigé l'emploi de méthodes et de raisonnements dont la généralisation aux courbes d'ordre supérieur est très facile et naturelle, comme on le reconnaît en lisant attentivement le commentaire de Stirling à cet opuscule de Newton, mentionné au n.° 164.

Aux théorèmes généraux de Newton sur les courbes algébriques ont été ajoutés d'autres par Stirling, Nicole, Maclaurin, Cotes, Euler et Cramer; et, en outre, ces deux derniers géomètres ont organisé et exposé systématiquement pour la première fois la théorie des mêmes courbes, l'un dans son Introductio in Analysin infinitorwn, et l'autre dans son Introduction à V Analyse des lignes courbes. Dans ces deux ouvrages justement célèbres, on trouve exposés les fondements de la théorie des intersections des courbes algébriques, de leurs centres et diamètres, de leurs points singulier s > de leurs asymptotes, etc., théories qui dès lors jusqu'à nos jours ont été envisagées par plusieurs géomètres illustres et enreehies de nouveaux et importants théorèmes.

Dans cette première période de l'histoire de la Géométrie des courbes algébriques furent aussi données des méthodes générales pour tracer ces courbes par Maclaurin (Geometria or- (janicct; 1720) et Braikenridge (Exercitatio geometrica de descriptione linearum curvariim, 1733), auxquelles furent ajoutées plusieurs autres dans les périodes suivantes.

Les premiers progrès importants accomplis postérieurement dans la théorie générale des courbes algébriques ont été dus à Plùcker. Cet éminent géomètre a établi la notion générale de foyer (Journal de Crelle, t. x, 1833), déjà indiquée et employée plusieurs fois dans le présent ouvrage; il a aussi introduit dans la Géométrie les coordonnées tangentielles (System der analytischen Géométrie, 1835), et il a montré l'importance de la représentation analytique

des courbes algébriques par leurs équations tangentielles; il a donné (l. c.) les formules célèbres, connues par son nom, qui lient les nombres exprimant V ordre et la classe d'une courbe algébrique à singularités ordinaires avec ceux qui désignent combien de points et tangentes singulières la courbe possède; etc. Ces découvertes importantes servirent de point de départ à d'autres travaux de grand intérêt entrepris par plusieurs illustres géomètres du XIX e siècle, ayant pour but de déterminer le nombre et la position des foyers et de rechercher les propriétés focales de ces courbes ; d'étudier la nature et la disposition des points et des tangentes singulières , et d'étendre l'application des formules de Plùcker; d'exposer des méthodes pour la détermination de ces points et de ces droites ; etc.

À la notion de classe, introduite par Plûeker dans la science géométrique, Riemann ajouta celle de genre, de non moins grande importance, comme peu après l'a fait voir Clebesch, quand il s'est occupé du problème de la représentation des coordonnées des courbes algébriques par des fonctions, de nature déterminée, d'un paramètre arbitraire. Cet éminent géomètre a, en effet, démontré que les courbes du genre zéro sont unicursales; que les coordonnées des courbes du genre un peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles d'un paramètre arbitraire et de la racine carrée d'une fonction entière, du troisième ou quatrième degré, du même paramètre ; etc. Il fut ainsi amené à introduire dans l'étude des courbes non unicursales l'usage des fonctions elliptiques, hyper elliptiques et abstiennes, en recourant aux propriétés de ces fonctions pour obtenir des propriétés correspondantes des mêmes courbes, et en ouvrant ainsi une voie qui a été suivie avec succès par quelques-uns des plus illustres géomètres contemporains.

Dans l'étude des courbes on emploie fréquemment les méthodes de transformation, par lesquelles on fait dépendre l'étude d'une courbe de celle d'une autre, par quelque concept plus» simple, liée à la première par les relations analytiques ou géométriques qui définissent la transformation considérée. Parmi les nombreuses et variées transformations qu'on peut employer, on distingue par leur fécondité la transformation homo graphique, imaginée par Newton et étudiée principalement par Poncelet et Chasles ; la transformation par polaires réciproques, étudiée aussi par ces deux géomètres ; la transformation par rayons vecteurs réciproques, étudiée par Bellavitis, Stubbs, Liouville, etc., et les transformations Irrationnelles d'un degré quelconque, envisagées par Cremona, dont sont des cas particuliers la transformation homographique et la transformation par rayons vecteurs réciproques, employées souvent dans cet ouvrage, et encore la transformation par laquelle on dérive d'une comrbe son hyperbolisme, que nous avons aussi appliquée quelquefois. La première de ces transformations ne fait pas varier ni le nombre des points singuliers ni la nature de ces points; et, d'après un théorème très remarquable de M. Noether, on peut toujours réduire au moyen de transformation birationnelles les courbes où existent des points doubles avec tangentes coïncidentes à d'autres qui possèdent seulement des points doubles à tangentes distinctes. À tout cela nous ajouterons encore que, d'après Riemann, ni ces dernières transformations, ni même les transformations plus générales où à chaque point de la courbe donnée correspond un seul point de la transformée, font varier le genre de la courbe proposée.

On a associé, pour divers buts, à chaque courbe d'autres liées à la première par des

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relations géométriques ou analytiques déterminées et qui en sont aussi de véritables transformées. De ce nombre sont sa développée et ses développantes, ses podaires, ses conchoïdes, ses cis soïdes, ses polaires, et bien d'autres. Quand la courbe proposée est algébrique, ces courbes jouissent des propriétés générales communes à toutes les lignes de ces noms, et, en outre, de propriétés spéciales, dont l'étude constitue autant d'intéressants chapitres de la Géométrie des courbes algébriques. Mentionnons encore les courbes covariantes introduites dans la science par 0. Hesse, Cayley et Steiner, et que par ce motif on désigne par le nom de hessienne, cayleienne et steinérienne, lesquelles ont une grande importance dans la Géométrie moderne.

Bien d'autres questions relatives aux courbes algébriques ont été envisagées par les géomètres. Ainsi M. Klein a découvert une relation entre le nombre des points et tangentes singulières réelles d'une courbe d'ordre quelconque; Cayley, M. Gerbaldi, etc. se sont occupés de la détermination des points où cette courbe a un contact du 5. e ordre avec une conique ; Staudt, M. Zeuthen, etc. ont cherché le nombre de ses branches; Cremona, Caporali, M. Guccia, etc. ont étudié les systèmes linéaires de courbes, et, en particulier, les gerbes et les réseaux; MM. Brill, Noether, Segre, etc. ont étudié les propriétés des groupes de points résultant de l'intersection d'une courbe par des systèmes définis d'autres courbes d'ordre quelconque ; etc.

On a aussi étudié de nombreuses classes de courbes algébriques spéciales, caractérisées par des propriétés déterminées. Quelques-unes de ces classes de courbes sont étudiées habituellement dans les traités de Géométrie générale, et nous ne nous en occuperons pas ici; quelques autres seront envisagées dans une autre partie de cet ouvrage.

Dans l'étude des questions variées et complexes de la théorie générale des courbes algébriques, quelques mathématiciens ont suivi des méthodes purement géométriques; d'autres ont préféré employer des procédés analytiques, plus féconds et aussi, en général, d'une application plus facile. Parmi ces procédés sont compris ceux qui dérivent de l'Algèbre et, en particulier, de la partie de la même science consacrée à la Théorie des formes, qui dans la Géométrie des courbes algébriques a ses plus belles et importantes applications. La substitution des méthodes algébriques aux méthodes infinitésimales dans l'étude de ces courbes a été initiée par De Gua en 1740 dans son opuscule, Usage de V Analyse de Descartes, ou les premières méthodes sont employées et récommendées ; mais l'application des méthodes algébriques à la théorie des courbes n'a pris son entier développement que dans le xix e siècle, après les progrès considérables qu'a fait l'Algèbre et, en particulier, la branche de cette science mentionnée ci-dessus.

Le nombre des notes et des mémoires destinés à l'exposition des multiples et variés sujets signalés est naturellement très considérable, ce qu'on peut vérifier complètement en parcourant les tables des revues scientifiques et des publications mathématiques des cinquante dernières années, et nous ne pouvons pas les mentionner ici; nous nous bornerons à citer, comme étant d'une lecture profitable pour tous ceux qui désirent acquiérir une parfaite connaissance de l'histoire et de la bibliographie des courbes algébriques, Y Aperçu historique de Chasles, les ouvrages de MM. Cantor et Loria mentionnés au n.° 164, et le rapport remarquable sur

l'état actuel de la théorie des fonctions algébriques, liée étroitement à celle des courbes algébriques, présenté par MM. Brill et Noether en 1894 à la Société des mathématiciens allemands et inséré au tome ni de son Jahresbericht. De même, pour l'étude systématique de cette belle et importante doctrine, nous récommenderons les ouvrages classiques de Saîmon et Clebesch, déjà cités aussi au n.° 164, où la théorie générale des courbes algébriques se trouve merveilleusement traitée par les méthodes analytiques, et celui de Cremona, intitulé Introduzione a una teoria geometrica délie curve piane (Bologne, 1862), digne aussi de grand éloge, où les mêmes courbes sont étudiées par les méthodes purement géométriques.