ADDITION AU L

Sur une propriété des cubiques circulaires.

Si un cercle coupe une cubique circulaire aux points A, B ? C et D, le cercle passant par A, B et un point quelconque de la cubique et le cercle passant par C, D et coupent la. même cubique a deux autres points E et F tels que le cercle qui passe par ces derniers points et par est tangente à la cubique en ce point.

On peut déduire ce théorème de celui qu'on a démontré au n.° 96 au moyen de la trans-

mation par rayons vecteurs réciproques, en procédant comme dans la démonstration du théorème analogue sur les quartiques bicirculaires (n.° 270), le point étant pris pour centre de la transformation. Le théorème démontré au n.° 96 est un limite de celui qu'on vient d'énoncer, correspondant au cas où le point est à l'infini sur l'asymptote réelle.

Ce théorème et celui qu'on a énoncé au n.° 96 peuvent être généralisés aisément, au moyen de la transformation homographique, en procédant comme au n.° 161. On trouve ainsi, en considérant seulement le second théorème, le résultat suivant:

Si une conique coupe une cubique .aux points Ai, Ag, A, B, G, D, les droites AB et CD coupent la même cubique à deux nouveaux points E et F tels que la droite EF passe par le troisième point d J intersection de Ai A2 avec la cubique.

En se basant sur ce théotème, et en procédant comme dans l'application qu'on a fait du théorème du n.° 96 à la construction du cercle osculateur des cubiques circulaires, on peut construire une conique passant par deux points Ai et A2 d'une cubique donnée et ayant avec cette ligne un contact du deuxième ordre dans un point donné A.