ADDITION AU N

Sur la verslera.

La courbe définie par l'équation (1) œy 2 = (a — x) ,

que nous avons considérée au n.° 133, peut être construite de la manière suivante. Prenons la conique représentée par l'équation

(x — ai) 2 y 1

où ai = -i-a, et traçons la tangente à cette conique au sommet (2ai, 0), et la tangente à la

même courbe à un point quelconque A. Ces deux droites s'interseptent à un point B. Si maintenant on tire une parallèle à l'axe des abscisses passant par B et une parallèle à l'axe des ordonnées passant par A, on obtient un point M, où ces droites se coupent, lequel appartient à la cubique envisagée.

VOL. IV YY

En effet, l'équation de la tangente à la conique au point A est

a^y Y + S 2 (x — ai) X = atjfix,

et l'ordonnée yi du point B, où elle coupe la droite X = 2«t, est par conséquent déterminée par l'équation

or, les coordonnées du point M sont (x, #1), et elles vérifient par conséquent l'équation qui résulte de l'élimination de y entre cette équation et celle de la conique, c'est-à-dire l'équation

Si a =25, la conique considérée se réduit à un cercle, et la courbe coïncide avec celle qu'on a étudiée au n.° 126. Alors la construction précédente coïncide avec celle qu'on a indiquée au paragraphe mentionné pour ce cas particulier.

Si a = Z> , la cubique correspondante est la versiera (n.° 123). Cette manière de construire cette courbe a été remarquée par M. Retali dans un travail sur une transformation géométrique très générale, inséré aux Mémoires de la Société royale des Sciences de Liège (3. e série,

La méthode qu'on vient d'employer pour dériver la cubique (1) de la conique considérée est une application de la transformation de Roberval définie au n.° 126; ainsi, la cubique est la robervallienne de la conique. Gomme complément à ce qu'on a dit au n.° 126 sur cette transformation, nous ajouterons encore que l'éminent géomètre l'a mentionné dans une lettre adressée à Torricelli et publiée plus tard dans le tome vi des Mémoires de V Académie des Sciences de Paris ; la passage de cette lettre qui se rapporte à la transformation envisagée, est insérée à la page 465 de ce volume, et en découle que Roverbal l'avait déjà communiquée à Torricelli dans une lettre antérieure qui n'est pas connue.

Il résulte de ce qu'on vient de dire et de ce qu'on a vu au n.° 133, que les propriétés de la cubique qu'on vient de considérer sont une généralisation immédiate des propriétés de la versiera; nous croyons donc convenable de désigner toutes ces courbes par ce nom.

On a mentionné aux n. os 123 et 126 les premiers géomètres qui se sont occupés de l'étude des courbes définies par des équations de la forme (1) On doit ajouter à cette liste le nom de Laîouvère, qui, d'après un renseignement que je dois à M. Aubry, a envisagé le cas où a = 2b dans un ouvrage intitulé: Veterum Geometria promota in septem de cycloïde libris (Toulouse, 1660, p. 399), où il dit qu'il en a proposé la quadrature à Fermât. Nous croyons, avec M. Aubry, que Fermât se rapporte à ce géomètre quand, en s'occupant de la quadrature de la courbe envisagée au n.° 123, il dit que ce problème lui avait été proposé par un géomètre érudit.

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