C.R., T. XXIE, p. 53 (12 janvier

L'adoption des lettres caractéristiques 4 et à, employées par Leibnitz et par Lagrange pour représenter les différentielles et les variations des fonctions, a, comme on le sait, ouvert aux géomètres des voies nouvelles, et donné naissance à de nouveaux calculs. Effectivement, le Calcul infinitésimal a permis de résoudre des problèmes qui dépassaient autrefois les forces de l'Analyse, et l'intégration des équations différentielles a fourni des résultats qu'on ne pouvait atteindre en s'appuyant sur la seule résolution des équations algébriques.

L'adoption d’une seule lettre caractéristique employée pour indiquer une substitution, c'est-à-dire un échange opéré entre les diverses variables que renferme une fonction donnée, me paraît offrir, dans la théorie des permutations, des avantages analogues à ceux que pré-

sente emploi de la caractéristique d ou à dans les calculs que je viens de rappeler. Déjà, dans mes précédents Mémoires, on a vu comment, à l’aide d'équations symboliques qui renferment seulement les lettres caractéristiques de diverses substitutions, on peut arriver à découvrir les propriétés mystérieuses et cachées de certaines fonctions, et à établir, pour la recherche de ces propriétés, des méthodes générales qui semblent devoir contribuer notablement aux progrès de l'Analyse mathématique. Mais, pour tirer de la nouvelle notation tout le parti possible, 11 convenait de faire encore un pas de plus, et il fallait introduire les lettres caractéristiques des substitutions, non seulement dans les équations symboliques dont j'ai parlé, mais encore dans les équations mêmes par lesquelles des fonctions diverses se trouvent liées entre elles. On verra, dans le présent Mémoire, comment eette introduction s'effectue, et combien elle peut être utile, soit pour découvrir les propriétés des fonctions de plusieurs variables indépendantes, soit pour construire des fonctions qui jouissent de propriétés données, et offrent un nombre donné de valeurs distinctes.

$S I. — Considérations générales.

Soient s une fonction de 2 variables indépendantes æ, y, z,... et$ l’une quelconque des substitutions qui peuvent être formées avec ces variables. Je désignerai par la notation

Ss

la valeur nouvelle que recevra la fonction s quand on lui appliquera la substitution S. Si, pour fixer les idées, on prend

FSI 1;5, 49) et

on aura DE HT; at; 0,4)

Si l’on prenait, en particulier,

s— 22354 uv’,

on trouverait Ss— y3? ri + pt ui.

Soient maintenant HE UE

diverses fonctions de

liées entre elles et à une autre fonction Q@ par une équation de la forme

(1) dette En désignant toujours par S une des substitutions que l’on peut former avec les variables æ, y, 3, ..., on aura (2) DSC RUDX, SY, S2,.::) Soit enfin (3) PR un système de substitutions conjuguées, de l’ordre M; et supposons que | (4) X, Y» 2

représentent précisément les valeurs distinctes acquises par la fonc-

tion x quand on lui applique les substitutions 1, P, Q, R, ...; de sorte

que x, v,z,.. se confondent avec les termes distincts de la série

(5) Pr Qu REX, Si l’on prend pour $ l’une quelconque des substitutions

1; P, Q, R, res la série

(6) Ds 0, SR

aura pour termes les termes de la série (3), rangés dans un nouvel ordre; et, par suite, il suffira aussi de ranger dans un nouvel ordre les termes de la série (5) pour obtenir la suivante

(7) Sx, SPx, SQx, SRx,

D'ailleurs, P, Q, S étant des termes quelconques de la série (3), de deux équations de la forme

PO, SPx — SOXx,

la première entrainera toujours la seconde et réciproquement; et il en sera encore de même si dans ces deux équations on substitue à x une fonction quelconque, par exemple un quelconque des termes de la série (4). On doit en conclure qu'aux termes égaux ou inégaux de la série (5) correspondront des termes égaux ou inégaux de la série (7). Donc, si l’on nomme v le nombre des termes égaux à x dans la série (5), v sera encore le nombre des termes égaux à Sx dans la série (7), ou, ce qui revient au même, dans la série (5), puisque ces deux séries offrent les mêmes termes, diversement rangés; donc le nombre des termes égaux à x, dans la série (5), sera encore le nombre des termes égaux à Px:= y, le nombre des termes égaux à Qx —z, etc.; et le nombre total 4 des termes divers de la série (5) sera le produit du facteur y par le nombre des termes distincts. Donc, si l’on désigne

-par & ce dernier nombre, on aura 8 M = puy.

be

I y à plus : aux & termes distincts

de la série (5) correspondront y termes distincts (9) à j PS. AE #

de la série (7); et, par conséquent, les termes de la série (9) se confondront avec les termes de la série (4), rangés dans un nouvel ordre. Donc le second membre de la formule (2) sera la valeur qu'acquiert la fonction

ENT, ) quand on échange entre elles, d’une certaine manière, non plus les variables æ, y, z, ..., mais les variables x, y, z, ..., c’est-à-dire quand

on applique à la fonction Q une certaine substitution 8 formée avec les variables x, y, z, .... Cela posé, l'équation (2) donnera

(10) sU-60

La formule (ro), qui subsistera quelle que soit la fonction Q, est évidemment analogue aux équations qui, dans le Calcul différentiel, résultent des changements de variables indépendantes. Si, dans cette même formule, on fait coincider successivement S avec les divers termes de la série (3), les valeurs correspondantes de $, représentées par les termes d’une autre suite

(11) NU. NAS IET seront ce que deviennent les substitutions R,

quand on les exprime, non plus à l’aide des variables æ, y, 3, ..., mais à l’aide des variables x, v, z, ...; et, puisque la série

RQ R,

renferme toutes les dérivées d’une ou de plusieurs des substitutions P, Q,R,...,ilest clair que la suite