MP DO YEN

laissera la variable x immobile. Effectivement, les valeurs de ces dernières substitutions, déterminées par les équations (18), ou, ce qui revient au même, par les suivantes

ON NPD RER Um P'RP*, V—P'RPESN = PrRP", seront respectivement (21) (Ys u,w,0, 3), (Ys p) (u, w), (rs ?, w, 3), Er u) (3, w), 4 3, V, W, u).

D'ailleurs, chacune des substitutions S, T, U, V, W, étant une dérivée de R et de P, n’altérera pas Q. On pourra prendre pour Q l’une des substitutions du cinquième ordre

S —(7,u,w,v,2), W=(7,23,9,#, 4) qui sont inverses l’une de l’autre. Si, pour fixer les idées, on pose Q=(7y,u,w,v,3) ou, Ce qui revient au même, (22) dis, 7,uw,rv)}=P'RP, on aura

Ajoutons que la substitution

U—(7,#,w,3) sera évidemment l'inverse de la substitution

R=— (7,3, ",9), de sorte qu'on aura encore (24) UrR”, Ainsi, les trois substitutions

A Fa. À

seront trois dérivées des substitutions Q et R.

D'autre part, s’il existe réellement une fonction Q de x, y, 3, u,v,w, qui soit doublement transitive et offre six valeurs distinctes, alors, en vertu des principes établis dans le $ III, les vingt substitutions qui n’altéreront pas Q considéré comme fonction des cinq variables

devront se réduire aux dérivées des deux substitutions Q—=(: y,u,w,v), H=(Y,:,w,0),

dont l’une est du cinquième ordre, et dont l’autre, étant du quatrième ordre, vérifie les équations symboliques

n(Géimte(6}æ (1)

Donc alors les substitutions T et V devront être, aussi bien queS, V, W, des dérivées de Q et de R.

Réciproquement, si T et V se réduisent à des dérivées de Q et de R, alors le système des substitutions

fée KO CR PE |

et de leurs dérivées, étant réduit au système des dérivées de Q et R, sera du vingtième ordre; et par suite, en vertu des principes établis

dans la séance du 8 décembre (vorr le théorème IT de la page 1251 ("), les dérivées diverses des deux substitutions P et R formeront un système dont l’ordre sera représenté par le produit

6:90 22 120, Donc alors la fonction Q de æ, y, z, u, v, w, qui ne sera point altérée par les substitutions P, R, offrira cent vingt valeurs égales et six valeurs distinctes.

Donc, en définitive, la seule question à résoudre est de savoir si les deux substitutions Pepe) Cum © V = (y;u)}(r#) se réduisent à des dérivées des substitutions Q et R. Or, comme des cinq variables NRA Ti Ve æ et y sont celles qui prennent la place de w, en vertu des substitutions T et V, il est clair que, pour obtenir à la place de T et V deux substitutions qui laissent immobile la variable &, il suffira de multiplier T et V par les deux puissances de Q qui font succéder « à w et à y, c’est-à-dire par Q*' et Q. Done les substitutions OR: QY renfermeront seulement les quatre variables Ds ts AP, et chacune d’elles ne pourra être dérivée de Q et R, que dans le cas où elle deviendra une puissance de R. Donc la question est de savoir si QUES ON se réduisent à des puissances de R. Or cette réduction a effectivement lieu ; car on trouve QUT—= (7, w) (sv) =R, QV—(y,w) (3,9) =R' et, par suite, (25) T=QR, V—OQ-'R:

(1) Œuvres de Cauchy, S.1,T. IX, p. 462.

OEuvres de C.— S.1,t. X. ; (4

Donc T, V seront, aussi bien que RL N,

des dérivées de Q, R, ou même, eu égard à la formule (22), des dérivées de P, R; et l’on peut énoncer la proposition suivante :

TaéorÈme. — Avec six variables indépendantes Ds: Vs tar Ur: Vs

on peut toujours composer des fonctions, triplement transitives, qui offrent seulement six valeurs distinctes. D'ailleurs, pour caractériser une telle fonction, il sufiit de dire que sa valeur n'est pas altérée par les dérivées des

trois substitutions circulaires PE (x 7,4 40.08 Q(a7, 8 vw), Rip s,.4v)

ou, ce qui revient au même, par les dérivées des deux substitutions P et Q ou Pet R; attendu que les deux substitutions Q, R sont liées l’une à

l’autre et à la substitution P par la formule

| Q-— P'RP, de laquelle on tire RP=P10 et niP'OPE

M. Hermite, dans les recherches que nous avons mentionnées, avait déjà rencontré des fonctions transitives de six variables, qui offraient six valeurs distinctes. Désirant comparer le résultat qu'il avait obtenu avec celui que je trouvais moi-même, je lui ai demandé comment il s’y prenait pour construire de telles fonctions; sa réponse a été la règle que je vais transcrire.

Pour obtenir une fonction de six variables indépendantes

“ D M hr AE LE 4

qui, sans être symétrique par rapport à cinq d'entre elles, offre six valeurs distinctes, prenez une fonction symétrique s des trois quantités

EXTRAIT N° 321. 39 la fonction f(x, y) étant elle-même symétrique par rapport à x et y; puis appliquez à la fonction s la substitution circulaire (zx, 6, Ÿ» Ô, £, 6)

et ses puissances. Vous obtiendrez cinq valeurs distinctes

de s; et, si vous nommez

une fonction symétrique des cinq valeurs distinctes de s, Q sera effectivement une fonction qui, sans être symétrique par rapport à cinq des variables indépendantes «, 6, y, à, e,t, aura seulement six valeurs distinctes.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur un nouveau caleul qui permet

de simplifier et d'étendre la théorie des permutations.