C.R., T. XXV, p. 129 (6 juillet

La nouvelle théorie des imaginaires que j'ai présentée à l’Académie dans l’une des précédentes séances offre le double avantage de faire complètement disparaître l’une des plus grandes difficultés qu'offrait l'étude de l’Algèbre, et de s'appliquer avec un égal succès aux diverses branches des Sciences mathématiques. Pour mettre cette vérité dans tout son jour, je me bornerai iei à quelques exemples.

On dit, en Algèbre, qu’une équation du degré » a toujours » racines réelles ou imaginaires. Cette proposition acquiert un sens facile à saisir dans la nouvelle théorie, et s'énonce alors dans les termes suivants :

f(x) étant une fonction entière de x, si l’on pose æ = a+ bi, a, b,i clant des quantités réelles, on pourra toujours choisir a el b de manière

que le reste de la division de f(a + bi) par & + 1 s'évanouisse, quelle que

soit la valeur réelle de 1. St d’ailleurs la fonction {(x) est du degré n, le nombre des systèmes de valeurs de a et b qu rempliront la condition indiquée sera précisément égal a n.

Ajoutons que les racines réelles de l’équation f(æ)}=0

seront évidemment les valeurs de a qui correspondront à des valeurs nulles de 4.

En Trigonométrie, le théorème de Moivre peut s’énoncer dans les

termes suivants :

«< St l’on divise la n°"° puissance de cosa + isina par à +1, le reste

de la division sera cosna +isinnc.

Appliquée à des questions des nombres, la nouvelle théorie transforme une racine p de l'unité qui entre dans un polynôme radical f(+) à coefficients entiers en une quantité indéterminée; et, si cette racine est du degré z, la lettre x désignant un nombre premier, on n’a même plus besoin de prouver que l'équation

f(p) LT © entraine la suivante æÆŒ— 1] LA 2 hs Ge" Fe)

F(x) désignant encore une fonction entière à coefficients entiers. Car la première équation n’a plus d'autre sens que celui qu’elle acquiert . quand on la transforme en la seconde. Alors aussi tous les théorèmes établis dans mes précédents Mémoires deviennent faciles à saisir; et toutes les formules auxquelles je suis parvenu subsistent pour des valeurs réelles quelconques des quantités que désignent dans ces formules les lettres 9 et 0, pourvu que l’on réduise les deux membres de chaque formule aux restes que l’on obtient quand on divise ces deux membres par les facteurs binômes

p—1 et 0P—1.

Enfin, la nouvelle théorie des imaginaires fait encore disparaitre

ae.

les difficultés que l’on reneontrait, en Géométrie, quand on voulait étendre la démonstration de certaines propriétés des figures au cas où certaines lignes, certains points, cessent d’être réels. La loi de continuité, dont un de nos honorables confrères, M. Poncelet, a fait dans ses Ouvrages des applications si élégantes et si dignes de remarque, prend alors une signification précise. Seulement chacune des lignes droites ou courbes, que l’on appelait émaginaires, se trouve remplacée par un système de lignes de même nature, qui changent de forme avec la valeur variable d’un paramètre indéterminé. Il en résulte que, en Géométrie, les solutions imaginaires résolvent toujours des questions plus générales que celles que l’on avait posées. Rendons cette méthode plus sensible par un exemple. Soient

(1) IG PF) 20, FH Y)= 0 les équations de deux courbes réelles dont on cherche les points com-

muns. Si elles ne se coupent pas, on pourra du moins satisfaire aux équations données par des valeurs imaginaires de la forme

æ—=a+ fi, Y=y+dE

ou, pour parler plus exactement, on pourra choisir les quantités réelles &, 8, y, © de manière que l’on ait, quelle que soit la valeur

réelle de £, f(a+Bi,y+di)—(1+)],

F(a+Bi,y+di)—(1+&)], 1, J étant des fonctions entières et déterminées de x. Cela posé, les

solutions imaginaires des équations proposées feront connaître les points d’intersection de deux courbes quelconques, représentées par

deux équations de la forme

(2) Hz, J)=G+8)L Fa y)= (+8);

et si une combinaison linéaire des équations (1) produit une troisième équation

En OX

CEuvres de C. — S.I, 1. X.

qui représente une courbe réelle, cette troisième courbe renfermera toujours les points d’intersection des courbes représentées par les équations (2), quelle que soit d’ailleurs la valeur réelle attribuée au

paramètre £.

Supposons, pour nous borner à un cas très simple, que les équations (1) représentent deux cercles, et soient de la forme

(4) (z—-a)P+PM=r, (+) + Er.

En les combinant entre elles par voie de soustraction, on obtiendra une troisième équation (5) Z=0, qui représentera la droite d’intersection des deux cercles, dans le cas où ils se couperont, c’est-à-dire lorsqu'on aura ar. Si a devient supérieur à r, les valeurs imaginaires

| 1 (6) die 0; y=E(a-r°)*6, qui sont censées vérifier les équations (4), satisferont en réalité aux

suivantes (æ—a)+y=r+(a—r)(G+E),

et ces dernières représenteront, quel que soit #, deux cercles qui se couperont suivant la droite représentée par l'équation (5).

THÉORIE DES NOMBRES. — Mémotre sur diverses proposuions

relatives à la théorie des nombres.