REA
r sera une racine primitive de l’équivalence æ'= I] (mod. p),
et l'indice modulaire maximum de R,, correspondant à la racine prumi-
live r!, sera, ou le nombre p, ou l'unité, suivant que le nombre l'sera unfeà ,\ rieur OÙ RON À — De ce premier théorème, on peut déduire la proposition suivante : Tuéorëme Il. — Faisons (7) u—a+ bp,
a, b étant deux nombres entiers premiers entre eux, dont la somme ne
soi pas divisible par n; et supposons que la factorielle (8) I N(a+bo),
correspondante au binôme radical a + b5, ait pour facteurs premiers les
entiers P»:q,;..., en sorte qu'on ail (9) Le pratiis Concevons d'ailleurs que, l'étant l'un quelconque des entiers
RMS DS hais Ne,
on nomme a, un autre de ces entiers choisi de manière à vérifier la conditon (10) la; =1 (mod. x).
Enfin, soit r celle des racines de l ‘équivalence
(11) x'=1 (mod. F),
CEuvres de C. — S.1,t.X. 46
qui vérifie la condition (12) a+ br=o (mod. ),
el nommons R,, R;, ... les diverses valeurs de R, qu correspondent (voir
le théorème 1) à la racine r et aux divers modules Ps 4; ...3 OR aura
(13) Us, Voila RO RTL NS
(2) étant un diviseur de l'unité, qui se réduira, au signe prés, à une
puissance entière de pe
Corollare. — Si le nombre Test une puissance entière du degré n», le produit
RiRY...
sera de la forme [F(2)f*, F(2) étant une fonction entière de 9, à coefficients entiers, et l’on obtiendra la proposition suivante :
ThéorRÈME IT. — Les mémes choses étant posées que dans le théorème IT,
st le nombre X se réduit à une puissance du n°°"° degré, on aura
(14) lala as = LF(p})}l"&(e),
F(p) étant une fonction entière à coefficients entiers, et 5(2) un diviseur de l’unué, qui se réduira, au signe prés, & une puissance entière de p. Si
d’ailleurs on pose, pour abreger.
(15) pres ; Pen
sera une puissance entière de 2, On trouvera (16) Fu later Pa FT D
: désignant un nombre entier.
EXTRAIT N° 376. 363 Corollaire 1. — Comme, en supposant toujours a + b et, par suite, I non divisibles par z, on aura
(17) à Vr=1 (mod. x), la formule (16) entrainera la suivante
Or Va Pas: Pa (mod. x},
qui coincide avec la formule (21) de la page 358. De plus, si @&, étant l’un quelconque des termes de la suite
dis As .…..s An 1
et a, celui d’entre ces mêmes termes qui satisfait à l’équivalence (19) dy =Ets"a, (mod, »), on désigne par 4, celle des deux quantités +1, — 1 qui vérifie la
condition or.
Th,m —= = k
alors, en nommant w la valeur numérique de la résultante
de Mydshi:
on déduira de l'équation (16) une autre équation de la forme (20) "Ps Qi,
z étant un nombre entier, et © étant de la forme
GES F(pT" ) "
Enfin, comme on aura
(22) Or= 1 (mod. 7),
on trouvera encore °9 = p* (mod. »),
et l’on sera ainsi ramené au théorème IX de la page 358. Ajoutons que
la valeur de w, déterminée par la formule
(23) nn à Ao,9 + + + An—1 Ju SE
n’est pas toujours la plus petite de celles que l’on peut adopter dans la formule (20), et que, en attribuant successivement à z les valeurs
Lis) die Pit 5 :080)
Corollaire 11. — Des seules propositions énoncées dans cet article et dans le précédent, on peut déjà déduire diverses conséquences relatives au dernier théorème de Fermat. Il en résulte, par exemple, que, pour démontrer l'impossibilité de résoudre l'équation
at+ br+ ct—o
ar des entiers premiers entre eux et premiers à », 1l suffit de s’as- P P
surer que la somme
NESUT n—# + ont nt, + : )
ne]
n’est pas divisible par 7, ou bien encore que w est un nombre premier à »?. On voit done combien il importe de déterminer la valeur du nombre w, ou du moins le reste qu’on obtient en divisant w par ». On y parvient à l’aide d’une méthode qui permet de résoudre facilement une classe très étendue d'équations linéaires, et que je vais indiquer en peu de mots.
Soient données, entre »? inconnues
M 5 PRE ES der EP;
Lt ptet net
n équations linéaires de la forme
Al + MY + A3 +.1. + Apnol + An30 = Ko, ‘se + y + 453+...+Anniu+ 9 =,
(24) / AT + dY+ASs+... + dou + dv ms,
| MN 0 0 US CR SR Éd RUE AUS es 6 8 0.0 0 de dé Sepi les ets Le ss ,
Fo: D “be DY+d3+... + dn-slu + One — Nos:
et posons, pour abréger, (25) c T+Y+3+.. +Uu+V—=s.
On observera d’abord que, des formules (24) combinées entre elles par voie d’addition, on tire
(26) — Hot kit Ros A+ A+... + An]
Pour trouver ensuite les valeurs des diverses inconnues YU TS Suis U, P,
on multipliera les formules (24), avant de les ajouter entre elles, par les divers termes de la progression géométrique Pr9$6 8 AU RO Frac e étant une racine primitive de l'équation
Ann — .
Et
et l’on trouvera ainsi
Ko+ k10 + kopa+...+ ki 0-1 (27) +py+pts+... + prrtiu — ° “ 22 ssl + dot Ap + A0 +... + np"
Done, si l’on pose, pour abréger,
Ko+ k9 + Kep?+... + k, iprt dr pp +... +an ip"!
= ÀÂ5+ A1p-!+ Asp-?+,..+ A, pri,
on aura
(28) æ—=A;+cC, y=A;+cC, SA; +C, es u=A, EC,
C étant une quantité dont la valeur se déduira aisément de l’équation (26), puisque, en vertu des formules (28), on aura
(29) nC—s—A,—A,—A:—,..—AÀ, :.
Lord TnéortE DES NOMBRES. — Mémoire sur diverses propositions relatives
à la théorie des nombres ( suite ).
