C. R., T. XXV, p. 242 (9 août
Les propositions énoncées dans le précédent article, et les formules qu'il contient, sont relatives au cas où le nombre désigné par la lettre # est un nombre premier impair. Mais on peut généraliser encore ces formules, et en particulier celles qui se rapportent à la résolution d'une classe très étendue d'équations linéaires.
Effectivement, supposons que, z étant un nombre entier quelconque, on se propose de résoudre les formules (24) de la page 365. Pour obtenir la valeur de l’une quelconque des inconnues, de x par exemple, il suffira évidemment de combiner entre elles, par voie d’addition, ces mêmes formules, respectivement multipliées par certains facteurs
Eos Er ..s FRE Y
ces facteurs étant assujettis à vérifier les conditions | &oËo + dé +.. he uls 1 ©; &iËo + Al +... + PRET \ An1 Ë0 + doit... + Hiietonr 0,
dans lesquelles w peut être un nombre quelconque arbitrairement choisi, Or soit p une racine primitive de l'équation
(2) À Eeseoe Ke
Les conditions (1) entraineront avec elles la formule (3) D (Go + Gp Hs et Apt) (Eo+ Ep ++ En ip +),
et même cette dernière formule continuera de subsister, quand on y remplacera p par l'une quelconque des puissances de 5, c’est-à-dire, en d’autres termes, par l’une quelconque des racines de l’équation (2). Réciproquement, si la formule (3) subsiste quand on y remplace & par
une quelconque des racines de l'équation (2), alors les facteurs Cos Gis .…..s LAC
satisferont certainement aux conditions (1). D'ailleurs, si l'on pose, pour abréger,
(4) f(p)= a+ @p+...+ as jp"t,
la formule (3) donnera
w o ; G) (2) CP ALT VE PU en M ru f(p).
et, si la formule (3) subsiste quand on y remplace 9 par »”", me étant un nombre entier quelconque, on aura encore
(6) Éo+ App" +... + Encre en à Or, si dans la formule (6) on remplace successivement le nombre
par les divers termes de la suite (7) SES D es A —1,
les équations ainsi trouvées donneront
L à Gi: nl
n L f(p m ) Fe
l'étant lun quelconque des entiers inférieurs à », et le signe N indi-
quant la somme des valeurs du produit
f( pt) Î
mi
correspondantes aux diverses valeurs de 72.
Les valeurs de
=0» Ci» ARE | En-19
fournies par l’équation (8), satisfont, quel que soit w, aux conditions (1); et par suite, s’il s'agit seulement de résoudre les équations (24) de la page 365, on pourra prendre © — 1. Mais, dans certains problèmes, les valeurs des inconnues doivent être entières, et l'on peut demander, par exemple, de vérifier les formules (1) par des valeurs entières de
Éos Ets ++ En-1 w,
dans le cas où les coefficients &,, &,, ..., a,, ont eux-mêmes des valeurs entières. Or je suis parvenu à démontrer que, pour satisfaire à cette dernière condition, il suffit de prendre
(9) mA) É(p)F(p?)2us ÉCo"T 1), THÉORIE DES NOMBRES. — Mémoire sur l “emploi des racines de l'unuté
pour la résolution des divers systèmes d'équations linéaires.
