C. R., T. XXV, p. 285 (23 août

J'ai montré, dans les précédentes séances, comment on peut faire servir les racines de l'unité à la résolution de certains systèmes d'équations linéaires; mais les équations que j'ai indiquées ne sont pas les seules qui puissent être ainsi résolues. D’autres, qui ne sont pas moins dignes d'attention, jouissent encore de la même propriété.

EXTRAIT No 378. 369

Ajoutons que les unes et les autres se résolvent en nombres entiers, sous des conditions qui méritent d'être remarquées. C’est ce que l’on verra dans le Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l’Académie. Je me borneraï ici à en extraire quelques propositions fondamentales, le Mémoire lui-même devant être prochainement publié dans les £xercices d'Analyse et de Physique mathématique. .

Je commence par établir la proposition suivante :

THÉORÈME. — Sort PAC DÉS inde aû te tele ni Tune LES TOR Ce CL

une fonction entière du. degré m, dans laquelle le coefficient de la plus haute puissance de x se trouve réduit à l'unité. Supposons d’ailleurs les

m racines de l'équation (1) JS #0 partagées en deux groupes «, 6,” Ye Ad: 2, So enfin

NSRtA- ms...)

une fonction des racines À, He, V, ..…., symétrique, entière, et à coefficients entiers. On pourra transformer U en une fonction entière des racines «, 6,Y, ..., et des coefficients c,, C:, ..., Cm, qui, étant elle-même à cocffi-

cients entiers, sera symétrique par rapport aux racines &; 6,"

, rs

Nota. — Pour démontrer ce théorème, il suffit d'observer : 1° que, 2, 6, Y, .…. étant racines de l'équation (1), on pourra diviser algébri- ‘quement /(æ) par le produit (æ — a)(æ —6)(æ—Y)...; 2° que, si l’on nomme f(x) le quotient ainsi obtenu, f(æ) sera une fonction entière de æ, dans laquelle la plus haute puissance de æ se trouvera multipliée par l'unité, les autres puissances de æ étant respectivement multipliées par des fonctions entières de c,, c,, ..., en: «, 6, .. qui seront à coefficients entiers, et symétriques par rapport aux ra- CHIbS @, 6 Y, 503 3% que À, p, v,... seront précisément les diverses racines de l'équation f(x) — 0. |

OEuvres de C. — S.1,t.X. 47

Soit maintenant z un nombre entier quelconque, et considérons le

système des équations

| AZ +@Yy +5 +... + Anal + An = Ko,

ŒX +@Ÿ+A33#+...+nnu— do V—=k;,

que l’on déduit des formules (24) de la page 365, en changeant, dans la deuxième, la troisième, la quatrième, ... formule, les signes du dernier, puis des deux derniers, puis des trois derniers, ... termes. Pour obtenir la valeur de l’une quelconque des inconnues, de æ par exemple, il suffira évidemment de combiner entre elles, par voie d’ad-

dition les formules (2) respectivement multipliées par certains fac-

teurs £4, Lise. ns ces facteurs étant assujettis à vérifier les conditions

| Géo ER CRT + A3Ëe a TO ds Ex + 7 RENTE PP — 6), (3) Géo + deb + AsËat...+ An-1Ën—2 — Go 0,

ay-1Ë0 — QoË1 — Ai Es — ue Ga tthes QE: — 0, dans lesquelles w peut être un nombre entier quelconque arbitrairement choisi. Or, soit 9 une racine primitive de l’équation (4) DEF, les conditions (3) entraineront avec elles la formule (5) o—=(&+ap + AP ++ Gn1 071) (Eo + É1PT'+Ës PH +EnpT +1),

et même cette dernière formule continuera de subsister quand on Y remplacera p par l’une quelconque des puissances impaires de p, c'està-dire, en d’autres termes, par l’une quelconque des racines de l'équation