C.R., T. XXV, p. 475 (4 octobre

La nouvelle méthode que j'ai présentée pour la détermination des orbites des planètes et des comètes offre deux parties bien distinctes.

Je commence par développer, à l’aide de mes nouvelles formules d'interpolation, les quantités variables, spécialement la longitude et la latitude géocentriques de l’astre observé, suivant les puissances ascendantes du temps; puis je substitue les coefficients des premiers termes des développements obtenus dans des équations qui déterminent les distances de l’astre au Soleil et à la Terre, la distance au Soleil étant d'abord fournie par la résolution d’une équation du premier degré. Le second de ces deux problèmes se résout promptement sans aucune difficulté, et fournirait les valeurs rigoureuses des distances cherchées, si les valeurs des coefficients trouvés étaient exactes ellesmêmes. C’est donc à rendre la détermination de ces coefficients aussi facile et aussi exacte qu’il est possible, que l’on doit surtout s’attacher.

D'un autre côté, Les facilités que les nouvelles formules d’interpolation présentent pour la détermination dont il s’agit se trouvent considérablement augmentées quand on emploie cinq observations équidisfantes, ou même plus généralement cinq observations, dont quatre, prises deux à deux, sont symétriquement placées de part et d'autre de l’observation moyenne. Alors, en effet, la partie la plus ‘considérable du travail, savoir la formation de certains nombres qui dépendent uniquement des époques auxquelles les observations ont été faites, est complètement supprimée, ces nombres pouvant être immédiatement fournis par un Tableau semblable à celui de la page 383, comme on le verra ci-après.

* On simplifierait done notablement la solution du problème, si l'on pouvait ramener le cas général au cas particulier dont nous venons de parler. Or un moyen très simple d’y parvenir, et d'augmenter en même temps la précision du calcul, consiste à déduire d’abord des observations données les valeurs particulières des variables correspondantes à des époques équidistantes, ou, du moins, à des époques symétriquement placées de part et d'autre d’une époque moyenne. La formule d'interpolation de Lagrange, dont on ne tirerait qu'avec beaucoup de peine les valeurs générales des variables, développées en séries ordon-

EXTRAIT Ne 881. 391

nées suivant les puissances ascendantes du temps, est, au contraire, éminemment propre à fournir par logarithmes les valeurs particulières dont il est question. D'ailleurs, une valeur particulière correspondante à une époque donnée pourra se déduire, de diverses manières, d'observations faites à des époques voisines et combinées entre elles deux à deux, ou trois à trois, .... Si les diverses combinaisons ne fournissent pas exactement la mème valeur, on pourra prendre une moyenne entre les divers résultats trouvés, et l’on obtiendra ainsi une valeur particulière qui sera généralement beaucoup plus exacte que les valeurs immédiatement données par les observations elles-mêmes.

Formules relatives au système de cinq observations, dont quatre, prises deux à deux, sont symétriquement placées de part et d'autre d’une observation

moyenne.

Prenons pour unité l'intervalle de temps qui séparera l'observation moyenne des deux observations les plus voisines. Soit d’ailleurs z l'intervalle de temps qui séparera l’observation moyenne des observations extrêmes. En construisant un Tableau semblable à celui de la page 385, on obtiendra, pour les nombres désignés par «, 6, y, à, les valeurs suivantes :

n I I n Valeurs de &«..... ——) — ; ; »

2n +2 2n +2 2n +2 2n +2 n°? I I n° » | SANS ge} 6 D : u 2 ?

2n? +92 2n°+ 2 2n?+ 02 an? +9 I I I » 7 PRPRCR ER À. TRS 9?

4 4 4 4 ë I I I I » (; ÉENE — Sr nr — 4 4 4 4

Ajoutons que les valeurs générales de «, 6, y, à, exprimées en fonction de 4, seront

où l à à l? RE, er mn in mA 4 air) —o(n'+1) isa kn(n—1)

À (n?+1)ét— (nt+r)l Hu 4kn?(n?— 1) à

Si l’on pose en particulier 2 — 2, on retrouvera le Tableau et les formules dont j'ai fait usage dans la détermination des distances de Mercure au Soleil et à la Terre, savoir, le Tableau et les formules des pages 383 et 384.

Si l’on posait, au contraire, » — 3, les valeurs particulières de «, 6, y, à seraient les suivantes :

3 I I 3 Valeurs de &...... ee ie. si 8° D ARTE » 6 NOÉ TER 2 TR R He 9, 20 20 20 20 LI I I I » d'pe aet ISA ENT vr D AA EEE à 79.