C. R., T. XXV, p. oo (15 novembre

On s’est occupé depuis longtemps de la détermination des éléments de l'orbite d’un astre; et ce problème, auquel se rapportaient déjà des travaux remarquables de Newton et d'Euler, a été de nos jours encore un sujet de recherches approfondies. À ma connaissance, l'un des travaux les plus récents sur la correction des éléments d'une orbite est le Mémoire présenté à l’Institut par M. Yvon Villarceau, vers la fin de l'année 1845, et approuvé par l’Académie. Le Rapport fait, au nom d’une Commission, par M. Binet, offre un résumé clair et précis de la question et des solutions que divers auteurs en ont données. Dans le Mémoire de M. Yvon Villarceau, les équations linéaires approximatives d’où se tirent les corrections des éléments sont, suivant la coutume, déduites, à l’aide du Caleul différentiel, des équations finies du mouvement, dans lesquelles on fait varier les six éléments de quantités très petites. Des équations ainsi formées sont effectivement celles qu'il convient d'employer, lorsqu’on veut obtenir les valeurs des éléments avec une grande exactitude. D'ailleurs, pour tirer le meilleur parti possible de ces mêmes équations, dont le nombre croit avec celui des observations données, il convient de recourir, pour leur résolution, à une méthode qui ait le double avantage de pouvoir être

facilement pratiquée, et d'offrir une grande sûreté dans les résultats du calcul. Comme je l'ai déjà remarqué dans la dernière séance, ces deux conditions seront remplies, si l’on résout les équations approximatives dont il s’agit par un procédé analogue à celui sur lequel s’appuie ma nouvelle méthode d’interpolation. F’ajouterai que le même procédé fournit encore le moyen de calculer aisément les erreurs probables introduites par les observations dans les valeurs de la longitude et de la latitude géocentriques d’un astre. Enfin, à l’aide de quelques artifices, qui seront indiqués ci-après, on peut, non seulement simplifier les formules relatives à la détermination ou à la correction des éléments d’une orbite, mais aussi faire en sorte qu’il devienne à peu près impossible de commettre la moindre erreur de calcul sans en être immédiatement averti par les formules ellesmêmes.

Remarquons encore que la méthode ci-dessus rappelée pourrait être appliquée, si l’on veut, non plus aux équations linéaires fournies par les diverses observations, mais à celles qu’on en déduit par la méthode des moindres carrés, quelles que soient d’ailleurs les inconnues, représentées, ou par les six éléments de l'orbite de l’astre observé, ou par trois longitudes et trois latitudes géocentriques, comme l’a proposé notre jeune et illustre confrère, M. Le Verrier, dans un Mémoire justement recherché des vrais amis de la Science.

S I. — Sur la détermination des éléments de l’orbite d’un astre.

Des avantages inhérents à la méthode d’interpolation que j’ai appliquée au développement de la longitude et de la latitude géocentriques d’un astre, l’un consiste en ce qu’on ne peut commettre la moindre erreur sans en être averti presque immédiatement par le calcul. II importe d'employer pour la détermination des éléments d’une orbite des formules qui présentent le même avantage, et qui, étant d’ailleurs très simples, se prêtent facilement à l'emploi des logarithmes. On satisfait à ces diverses conditions en opérant comme il suit.

Conservons les notations adoptées dans le précédent Mémoire. Après avoir calculé r, p et D,p — Ab, on tirera des équations

(1) £ —p + À cosy, y —— Rsiny, 3 — ptangÿ

les valeurs des coordonnées +, y, 3, et l’on vérifiera l'exactitude de ces valeurs à l’aide de la formule

(2) + pt + 27; puis on tirera des équations

en = D,p+D,R cosy + RD,5wsiny, (3) vo —=pD,o—D,Rsiny +RD,5 cosy, æ= (D,0 + pD,0)tang0 — (A +D,0)z

les valeurs des vitesses u, v, w, et l’on vérifiera l'exactitude de ces

valeurs à l’aide de la formule

(4) G=SD,R +ç<D,2 +orD,y + 3 D,0, les valeurs de G, 8, 6 étant .

(5) G=rD,r=ux +0 + wz,

(S—R+pcosy —+cosy —psiny,

| çs — Rcosy + p séc?0 — x +: tangb;

puis enfin l’on tirera des équations

(7) o = Vu? + 0? + w?, (8) U — 9 — 03, D —uz — wx, W = vx — uv, (9) H—VWM+VE WI, I=VW- v

les valeurs de la vitesse w et des aires À, 0, W, AZ, L, et l’on véritiera

l'exactitude de ces valeurs à l’aide des formules

(10) or?= G°+ H?, Æ=7°+ W?.

Cela posé. on pourra déterminer l'inclinaison : et la longitude # du

nœud ascendant à l’aide des équations

in (3 PER. cos (3 A ee PRO ee (11) sin( 4. Ant) À os ( MERCI Ex a0 Sint— qui se vérifient mutuellement, puisqu'elles fournissent à la fois le sinus et le cosinus de chacun des angles 1, #8 — ©; puis, après avoir ER ; : G : « À

tiré la valeur de D,r de l’équation D,r — > On déterminera l'angle p

à l’aide des formules

5 ær —sD,r

12) SD = — ) COS pp — - (a) / r sint P H sin:

qui se vérifieront encore l’une l’autre. Ajoutons que, si l’on pose t—tcos®, y —rsin® et, par conséquent,

x D) > FR pa ?

cos D sin ®

tang D —