IS

on pourra, aux deux premières des formules (11), substituer avec avantage les suivantes :

Fr d | SRE (13) cos(p + —#)— = cosp, sin(o + D —#) —- sinp cos. Enfin, après avoir déterminé a, par les équations 5) Ho PP

on déterminera 4 et p — k à l’aide des formules

a=T ! G (15) cos d — 4) SiAY— nb NEA 1 2 2? 1 (16) cos / =) ta) cos À, sin PE = (*) (1+ €) sin <. 2 / 2 2 r 2

Alors il ne restera plus qu’à déterminer l'élément c à l’aide de la for-

mule C— Ÿ —e sind — Àr,

qui se réduit simplement à

c—4d—e sin,

424 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE, quand on suppose le temps £ compté à partir de l'époque de l’observation moyenne.

Je ferai, en terminant, une dernière remarque. Si l’on nomme ©, Ÿ les projections algébriques de l'aire Æ sur les plans perpendiculaires aux rayons vecteurs r, À menés de la Terre à l’astre observé, et du Soleil à la Terre, on aura

(17) OU = cos0 + W sin, V—Ucosy —Vsiny; et, en posant, pour abréger,

A—D,0 cosy — D,6siny, P=—RD,wsin6, Q—1AR?sin26, on tirera des formules (1), (3), (8) | (18) pO —— RŸ cos, O— P—ARosin6, par conséquent (19) O(Ù — P)+QV—o.

Soient maintenant 6, ©,, ©, et p,, ©, Ÿ, ce que deviennent p, D, Ÿ quand on attribue au temps 4 deux nouvelles valeurs #,, 4,. Si lon prend pour inconnues p, 0, p, où ©, ©,, D,, les trois quantités ©, ©, ‘©, pourront être considérées comme fonctions de ces inconnues; et l'équation (19), jointe à celles qu’on en déduit, quand au temps £ on substitue 4, ou 4,, fournira un moyen de déterminer avec p, p,, p, les éléments de l'orbite de l’astre observé.

Au reste, je reviendrai, dans un autre article, sur ce sujet, auquel se rapportent plus ou moins directement les travaux de quelques géomètres, et particulièrement un Mémoire de Lagrange, inséré dans la Connaissance des Temps pour 1821.

$ II. — Sur la correction des éléments de l’orbite d’un astre.

Supposons les six éléments a, €, €, p, #, : déterminés approximati-

vement à l’aide des formules indiquées dans le $ I. Pour obtenir les sa . 0 . NI

conditions auxquelles devront satisfaire les corrections da, de, dc, Ôp

de, à de ces mêmes éléments, supposées très petites, il suffira de transformer en équations linéaires approximatives les équations finies du mouvement de l’astre observé. Entrons à ce sujet dans quelques détails. |

Soient, comme dans le précédent Mémoire, ©, 0 la longitude et la latitude géocentriques de l’astre observé, r la distance de cet astre au Soleil, et p sa longitude héliocentrique mesurée dans le plan de lorbite, à partir du nœud ascendant. Les valeurs de r et de p seront déterminées, au bout du temps £, par les formules (2) de la page 417, en fonction de #, a, e, ce, p, et par les formules (8) de la page 418, en fonction de 9, 0, 2,1. Nommons or," ap les accroissements que prennent les valeurs de r et de p calculées comme on vient de le dire, quand on passe des formules (2) aux formules (8). Soient, d’ailleurs, ôr, êp les variations de r et de p qui correspondent, en vertu des formules (2), à de très petites variations da, de, de, db des quatre éléments @, €, c, p. Soient, au contraire, dr, Ap les variations de r et de p qui correspondent, en vertu des formules (8), à de très petites variations de, à des éléments 8 et s. Si les valeurs de ©, 0 correspondantes à une observation, par conséquent à une valeur donnée de #, ne sont affectées d’aucune erreur, on aura, pour cette valeur de £,

Or + Ar = Ôr, dp + Ap = dp ou, Ce qui revient au même, (1) dr — Ar =ùr, dp — Ap = dp.

Telle est la forme générale des deux équations linéaires que fournira chaque observation entre les six corrections da, de, dc, dp, de, à. En appliquant aux équations ainsi formées la méthode de résolution indiquée dans le précédent Mémoire, non seulement on obtiendra, pour les six éléments, des corrections qui devront inspirer une grande confiance, mais, de plus, les termes connus or, 0p donneront naissance à des différences finies de divers ordres, dont les dernières représenteront les erreurs probables introduites dans r et p par les erreurs dont

OEuvres de C.—S.I,t.X. 54

©, 0 se trouvent affectés en vertu des observations données. Dès lors, il deviendra facile de former deux nouvelles équations linéaires propres à fournir les erreurs probables de © et de 0 correspondantes à chaque observation.

Ilest bon d'observer que, en vertu des formules (2) de la page 417, r est seulement fonction de a, e, c, &. Donc la première des formules (1) ne renfermera pas la correction 8. et pourra servir à déterminer séparément les corrections des cinq éléments a, €, c, 2,1, s'il s’agit de fixer l'orbite d’un astre qui ait été observé plus de quatre fois. Pour être en état d'appliquer à la détermination de cette orbite la première des formules (1), 1! suffit de connaître les valeurs de èr et de Âr exprimées en fonctions linéaires des corrections da, de, dc, de, à.

Or, si l’on pose, pour abréger,

(2) dr — À da + E de + C dc, Ar =— Q d8 — 5 dr, afin de réduire la première des équations (x) à la forme (3) À da + € de + © dc + Q d8 + 3 d& — dr,

et, si, d’ailleurs, on conserve les notations adoptées dans le précédent paragraphe, on tirera des formules (2) de la page 417

CRAN Le d'vSE (4) (Ce cos(D 8) eo — HA sin(p — p),

Ge) et des formules (8) de la page 418

ps sinp De ps Rsin(æ —3#) sint° Rsin(s —3)

Cosp.