C.R., T. XXV, p. 775 (29 novembre

Le Mémoire que Lagrange a donné dans la Connaissance des Temps pour l’année 1821 réduit la détermination de l'orbite d’un astre à la résolution d’une équation du septième degré, qui renferme les valeurs de la longitude et de la latitude géocentriques correspondantes à six observations faites dans le voisinage de trois époques diverses, la première observation étant supposée très voisine de la seconde, la troisième de la quatrième, et la cinquième de la sixième. Si l’on admet que l'intervalle compris entre deux observations voisines devienne infiniment petit, l'équation de Lagrange renfermera simplement, avec les longitude et latitude géocentriques relatives aux trois époques, les valeurs correspondantes des dérivées de ces deux variables, différentiées une seule fois chacune par rapport au temps. Or les dérivées du premier ordre des longitude et latitude géocentriques pouvant être déterminées avec beaucoup plus de précision que leurs dérivées d'ordres supérieurs, il est clair que la méthode citée de Lagrange offre un avantage qui serait très précieux dans la pratique, si l’on pouvait former et résoudre facilement l'équation du septième degré ci-dessus mentionnée. Pour y parvenir, il suffirait de trouver un moyen facile d'obtenir une valeur approchée de l’inconnue; et je m'étais d’abord proposé de résoudre ce dernier problème, surtout pour le cas où il s’agit d’une planète, c’est-à-dire d'une orbite très différente de la parabole, et à laquelle, en conséquence, la méthode d’Olbers ne saurait s'appliquer. Mais, après avoir obtenu la solution désirée, j'ai été agréablement surpris de voir que les principes dont je faisais usage, étant directement appliqués à la recherche des éléments de l’orbite, fournissaient, pour la détermination approximative de ces

éléments, une méthode nouvelle très simple et très facile à suivre. Cette méthode est fondée sur l'emploi de formules qui ne renferment que des dérivées du premier ordre, et que je vais établir en peu de mots. |

Soient, au bout du temps £,

r la distance d’une planète au Soleil;

« sa distance à la Terre;

o la projection de « sur le plan de l’écliptique;

o, 0 la longitude et la latitude géocentriques de la planète;

p lalongitude de la planète, mesurée dans le plan de lorbite à partir du nœud ascendant; |

Ÿ l’anomalie moyenne de la planète:

R la distance de la Terre au Soleil;

5 la longitude héliocentrique de la Terre ;

4 = 9 — 5 l'élongation;

8 — Rsiny la projection de À sur une droite perpendiculaire à &.

Soient encore

: inclinaison de l'orbite de la planète; 2 la longitude du nœud ascendant;

a le demi grand axe de l'orbite;

e l’excentricité ;

K — }° a? la force attractive du Soleil ;

H=— YKa(x—e*) le double de l'aire décrite par le rayon vecteur 7 dans l'unité de temps;

He d ge au périhélie :

: l'époque du passage au périhélie;

P la valeur de p à cette époque;

U, V, W les projections algébriques de l'aire Æ sur les plans coordonnés et rectangulaires des æ, y, des z, x et des æ, y, le plan des x, y étant celui de l’écliptique.

Enfin, soient

0 = (Ucoso + Vsine + WtangÜ) cosb, © — © coss + Vsins les pro-

EXTRAIT N° 387. 429 jections de l'aire Æ sur les plans perpendiculaires aux rayons vecteurs p et À; et posons

a =sin8sint, 6 — cos8sint, SC HP 8 — ltange.

On aura

{ Rcos(® — 8) + p cos(o — 8) — r cosp,

| R sin(® — 3) + p sin(o —#)—r sinp cost,

(2) ptang0 — rsinpsine, | r—a(i1—ecosd), (9) { A DS ET re . + Halle) au

d—esind—At+e.

Les orbites des planètes sont généralement comprises dans des plans assez rapprochés de celui de l’écliptique pour que cost diffère très peu de l’unité. Par suite, on pourra, aux formules (1), substituer sans erreur notable les suivantes :

{ Zcos(m — 8) + p cos(o — 8) — r cosp,

Me | R sin(s —#) + p sin(o —s#)=—r sinp,

qui deviendront exactes, si l’inclinaison : se réduit à zéro, l'angle

étant alors arbitraire. Donc, pour obtenir des valeurs très approchées des quatre éléments a, €, c, p, quand il s’agit d’une planète, il suffit

seraient liées entre elles par les équations (3) et (4). Voyons donc

comment on peut, dans ce dernier cas, déterminer les éléments de

l'orbite.

On tire des formules (4) (5) rsin(o—8—p)= AR.

Si l’on différentie cette dernière équation, alors, en ayant égard aux

deux formules r"D,p= 1H, rD,r —àhaesin,

et en posant d’ailleurs, pour abréger,

Dep—®, DR—%, rcos(o—#—p)—"; s

on trouvera

__ H—)aeRçsint + “.

Or les excentricités des planètes étant de beaucoup inférieures à l'unité, on pourra, dans une première approximation, réduire la formule (6) à la suivante :