ME 8 À

u, + 4 ; = tante" NT TR ge

AE mea

Les valeurs de €, ç, étant connues, on tirera des formules (8) et (7) les valeurs approchées de r et de Æ, puis la valeur approchée de a, de la formule

(11) | Ge

Ajoutons que, r étant peu différent de a, on aurait pu, quoique moins aisément, déduire une première valeur approchée de a de la formule (7).

Il est bon d'observer que, si l’on pose At —1,— 4, et si d’ailleurs on nomme A®, AR les accroissements de ® et de & correspondants à l'accroissement A7 de #, la formule (10) donnera encore, à très peu près,

MR 2 (12) Ne Le

+ tt:

Pour tirer parti des formules précédentes, il suffit de connaître quatre observations, faites dans le voisinage de deux époques diverses, la première observation étant supposée très voisine de la seconde, et la troisième de la quatrième. Alors les valeurs de ® — D, et de @ — D,A, correspondantes à chaque époque, peuvent être ré-

duites, sans erreur sensible, aux valeurs qu'acquièrent les rapports

Ao AR J; ; je > Quand on prend pour A l'intervalle de temps compris entre

les deux observations voisines de l’époque dont il s’agit.

Remarquons encore que si, l’inclinaison : étant nulle, on suppose, comme on est alors libre de le faire, 2 —0, on pourra, de la formule (5), réduite à

(13) sin (® =p}2®

déduire la valeur de l'angle p, auquel l'angle L +, devient égal quand

£ s’'évanouit. Alors aussi, de la même formule jointe à la seconde des équations (3), on tirera

à R sin® cos(o —p) =

(14) (cos —e)sin(p—p)—(1— +) puis, en négligeant e,

(15) sin (g—ÿ— p} = ©

Si, dans cette dernière formule, on remplace £ par 4, =t + At, on aura :

(16) F sin (oi — Wi— pi) =

la valeur de AŸ = Ÿ, — Ÿ étant donnée par l'équation

Fra

NT ay= at (#) At.

Les formules (15), (16) sont celles dont M. Binet a fait usage pour déterminer, à l’aide des deux observations, la distance du Soleil à une planète dont l'orbite est supposée circulaire. Après avoir déduit, ou de ces formules, ou de celles que nous avons données ci-dessus, les valeurs approchées des distances a, r, avec celle de l'angle Ÿ ++ ou y + At, et par suite la valeur approchée de y, on pourra, en négligeant les termes proportionnels au carré ou aux puissances supérieures de l’excentricité, tirer de la formule (6), jointe aux formules (3) et (8), une équation linéaire entre la correction ôa de la constante a et les constantes esine, ecosc, dont les premières valeurs approchées sont nulles; et, pour déterminer approximativement êa, esinc, ecosc, il suffira de recourir à trôis équations linéaires ainsi formées.

Ajoutons que, si à la formule (6) on substitue la formule (14), chaque équation linéaire renfermera les quatre inconnues êa, dy, sine, ecosc. Donc alors quatre équations seront nécessaires pour déterminer ces inconnues. Mais, d'autre part, pour obtenir ces quatre équations linéaires, il suflira de faire usage de quatre observations

seulement. D'ailleurs, les valeurs approchées de a, &, ce, y, et, par

suite, la valeur de $ — y — € étant connues, on pourra corriger de nouveau ces valeurs approchées à l’aide de la formule (14) et des quatre observations données.

Les valeurs des constantes &, c, e, p, déterminées comme on vient de le dire, et celles qu’on en déduira pour r, p, Ÿ, à l’aide des formules (3), seraient exactes, abstraction faite des perturbations, si le plan de l'orbite coïncidait rigoureusement avec le plan de lécliptique, et si d’ailleurs les observations données n’étaient affectées d’aucune erreur. Ces valeurs ne seront pas exactes, mais très peu différentes des véritables, si l’astre observé est une planète pour laquelle l'inclinaison de l'orbite ne se réduise pas à zéro. Alors aussi, # n'étant plus arbitraire, la valeur qu’on aura trouvée pour ÿ, en opérant comme on vient de le dire, sera effectivement celle de k + 8.

La valeur de r étant connue pour une époque donnée, on obtiendra les valeurs correspondantes de «et p à l’aide des formules

(18) re EDR ES E, x—=SsS—k, p —tcos6, dans lesquelles on à £— Rcosô cosy, (= R?— 4; puis les valeurs

de ©, ©, à l’aide des formules *

ro) (19) © — P+ ARpsin6, Pr > les valeurs de P, À étant P—RD,5sin6, A =D;9cosy — D,0 sin;

puis, enfin, les valeurs de x, 6, à l’aide des formules

m Li ce Hcosès sin y

| Hcosÿsiny

6) | dans lesquelles on a H=VKa(i—e).

Les équations (20), en donnant les valeurs de &, 6, fournissent, par Œuvres de C. — S. I, t. X. sn)

suite, celles de t et 2, que l’on pourrait, au reste, déduire encore des formules (1), (3), (5), (9) et (11) des pages 422 et 423.

Ajoutons que les divers éléments obtenus comme on vient de le dire pourront être définitivement corrigés à l’aide des formules établies dans mon Mémoire du 15 novembre.

Je ne me suis pas contenté d'établir les formules générales qui précèdent; j'ai voulu m’assurer par l’expérience qu’elles donnent avec une grande facilité les éléments d’une orbite, et je les ai appliquées à la planète Hébé. Les différences entre les valeurs ainsi obtenues dès les premières approximations, et celles auxquelles j'avais été conduit par la méthode exposée dans le Mémoire du 20 septembre, sont extrèmement faibles, ainsi que je le montrerai plus en détail dans un autre article.

ASTRONOMIE. — Addition au Mémoire sur la déternunation de l'orbite ‘d'une planète, à l'aide de formules qui ne renferment que les dérivées

du premier ordre des longitude et latitude géocentriques.

CR, T. XXV, p. 879 (13 décembre 1847).

Conservons les notations adoptées dans le Mémoire dont il s’agit (voir la séance du 29 novembre). On aura d’abord à résoudre, par rapport aux inconnues ç, ç,, les deux équations simultanées

Si, pour plus de commodité, l'on pose

on aura

EXTRAIT N° 388. h35

et les formules (1) donneront