C.R., T. XXV, p. 953 (27 décembre

Après avoir montré, dans une précédente séance, comment on peut, dans certains cas, ramener la détermination de l'orbite d’un astre à l'emploi des formules qui ne renferment que des dérivées du premier

EXTRAIT N° 389. k39

ordre, j'ai cherché s’il ne serait pas possible de faire dépendre une détermination prompte et facile de ces éléments de la résolution d'équations qui ne renferment plus aucune dérivée, et j'ai obtenu, en effet, deux équations très simples et très générales, dont chacune remplit la condition que je viens d'indiquer.

Les deux équations dont il s’agit peuvent être aisément formées. Si, en plaçant l’origine des coordonnées au centre du Soleil, on nomme æ, y, z les coordonnées de l’astre observé, le plan de l'orbite de cet astre sera représenté par une équation linéaire en æ, y, z sans terme constant. Done, si l’on considère l’astre dans trois positions successives, la résultante formée avec les valeurs correspondantes de +, y, = sera nulle. En égalant cette résultante à zéro, on obtiendra la première des équations dont j'ai parlé. D'ailleurs, les coordonnées +, y, = peuvent être exprimées en fonction des données de l'observation et du rayon vecteur r, mené du Soleil à l’astre. D'autre part, ce rayon vecteur dépend seulement du temps et de trois éléments de l’orbite, savoir, de l’excentricité, du grand axe et de l'instant du passage au périhélie. Donc l'équation trouvée, jointe à cinq observations de l’astre, suffira pour déterminer ces trois éléments.

Ce n’est pas tout : si l’on nomme b le demi-paramètre de la courbe décrite, la différence 7 — b sera encore liée à deux quelconques des coordonnées æ, y, & par une équation linéaire qui ne renfermera pas de terme constant. Il en résulte que, dans l’équation trouvée, on pourra remplacer les trois valeurs de l’une quelconque des coordonnées æ, y, = par les trois valeurs correspondantes de la différence 7 — bd. On obtiendra ainsi la seconde des équations que j'ai annoncées. D'ailleurs, le rayon r et les coordonnées x, y, 3 peuvent être considérés comme fonctions des données de l'observation et des deux éléments qui déterminent la position du plan de l'orbite, c’està-dire comme fonctions de linclinaison et de la longitude du nœud ascendant. Donc l'équation nouvelle, jointe à cinq observations, suffira pour déterminer ces deux éléments et le paramètre de la courbe décrite.

k40 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Voyons maintenant quel parti l'on peut tirer des deux équations générales dont je viens d'indiquer la formation, et comment on peut se servir de chacune d’elles pour déterminer avec une grande approximation les trois éléments entre lesquels elle établit une liaison.

J'ai fait voir, dans les précédentes séances, qu’on peut, en général, obtenir avec une grande facilité une première valeur approchée du grand axe, et, par suite, des autres éléments de l'orbite, quand l’astre observé est une planète; et j'ajouterai que des formules connues on peut, dans tous les cas, déduire des équations très simples qui fournissent par un calcul rapide des valeurs approchées des éléments. Cela posé, il est clair que, pour déterminer avec une grande approximation les trois éléments de l'orbite, il suffira d'appliquer à l’une des équations ci-dessus mentionnées la méthode linéaire, en corrigeant, à l’aide de cinq observations notablement distantes l’une de l’autre, les premières valeurs obtenues pour les trois éléments dont il s’agit.

ANALYSE

S 1 — Sur les moyens d’oblenir une première approximation dans le calcul

des éléments de l'orbite d’un astre.

Nous avons précédemment indiqué un moyen d'obtenir aisément une valeur approchée de la distance d’un astre au Soleil, lorsque cet astre est une planète. Dans tous les cas, on peut déterminer approximativement, avec une assez grande facilité, la distance d'une planète ou d’une comète au Soleil, ou à la Terre, ou bien encore un ou plusieurs éléments de l'orbite de l’astre observé, en partant des formules connues qui servent à déterminer ces distances ou ces éléments en fonction des longitude et latitude géocentriques, et de leurs dérivées du premier ou du second ordre. Pour y parvenir, il suffira de substituer à chaque dérivée un rapport aux différences, en ayant égard aux prescriptions que nous allons établir.

Soient 4,, 4, les époques de deux observations très voisines, et

EXTRAIT N° 389. hl1

posons

(1) La 7

Soit, d’ailleurs, f(4) l’une quelconque des variables dont les valeurs sont fournies par les observations. On tirera des formules (7)

t,—=t— At, t,—=t+ At;

et il suffira de développer f(4,), f(4,) suivant les puissances ascendantes de Ar, pour s'assurer que l’on a

(2) thés HE IC) et

(3) Die Tu ou, ce qui revient au même,

(4) D, ((4) — sue,

en négligeant seulement, dans les seconds membres des équations (2), (3) et (4) des quantités proportionnelles au carré et aux puissances supérieures de 4. Il est bon de remarquer : 1° que, dans la formule (4), At et Af(4) peuvent être censés représenter, non seulement les moitiés des deux différences 1, —2,, f(4,) — f(4), mais encore ces différences elles-mêmes; 2° que, dans chacune des formules (2), (4), la variable f(2) peut être remplacée par son logarithme.

Supposons maintenant que F(2) représente, non plus une des variables dont les valeurs sont fournies par les observations, mais une de leurs dérivées du premier ordre, ou bien encore une fonction de ces dérivées et des variables elles-mêmes. Une valeur approchée de F(4) pourra aisément se déduire des formules (2) et (3). Mais la formule (4) ne suffira plus à la détermination, même approximative, de la fonction D, F(4), qui renfermera généralement, avec une

Œuvres de C.— S. I, t. X. 56

7e) COMPTES RENDUS DE L'ACADEÉMIE.

ou plusieurs des variables dont il s’agit, leurs dérivées du premier et du second ordre. Pour effectuer cette détermination, on devra recourir à deux, ou même à trois couples d'observations, chaque groupe étant composé de deux observations très voisines l’une de l’autre. Soient £, t', les valeurs du temps correspondantes à ces trois groupes, chaeune de ces valeurs étant la moyenne arithmétique entre les époques des deux observations qui composent un même groupe. Si l’on a Ar M

alors, en négligeant seulement les quantités proportionnelles au carré et aux puissances supérieures des différences £ — 4’, ”"— 4, on trouvera

D, Ft) = ME

TT Qt

Dans le cas contraire, on aura, sous la même condition, * tnt FOOD FI LUE FE SE(T)

(6) DFGYE Ace PT OrENT: LE rh ART TENTÉ

Lorsqu'on veut tirer parti de ces considérations pour déterminer approximativement la position du plan de l'orbite d’un astre, il est utile d'introduire dans le caleul certains angles auxiliaires, comme je vais l'expliquer en quelques mots.

Soient, au bout du temps £,

2 et 0 la longitude et la latitude géocentriques de l'astre observé:

, l'inclinaison de son orbite, représentée par un angle inférieur à deux droits;

2 la longitude du nœud ascendant;

& la longitude héliocentrique de la Terre ;

4 —=9— 5 l’élongation;

R la distance de la Terre au Soleil;

H l'aire décrite par le rayon vecteur r mené du Soleil à l’astre observé :

U, V, W les projections algébriques de cette aire sur les trois plans coordonnés des y,3, des z,æ et des æ, y, le dernier plan étant le plan même de l’écliptique.

L'équation linéaire qui existe entre les trois constantes U, V, W > . U .

fournira le moyen de calculer le rapport 7 (voir page 218), et, par

suite, les deux éléments 2 et 1. En effet, soit À la quantité dont la va-

leur numérique est donnée par la formule

h = Lesin:”—0,00000210552,

e étant la base des logarithmes hyperboliques, et la lettre L indiquant un logarithme décimal. Supposons encore que, les angles étant exprimés en secondes sexagésimales, on nomme 7 un angle auxiliaire déterminé par la formule

et faisons

P—QGsin(r+#), Q—=Qcos(r +Y#), h P 2 Q

a—D,Lcoso — 5, b—D,Lsino — 5, ce—=D,Ltang6 — 5,

s—=DLO+DLR + Des,

__4 cosy os sin o — « tangO” — « tang#?

on trouvera à der re (7) tangs — PB — pr?

æ et 2’ ou &’ et 2” étant ce que deviennent & et à quand £ se change en £” ou en {”.

De plus, en supposant l’angle auxiliaire ® déterminé par la formule

Fr cot®D, 0 — + + cot(s +8) Dim — QU:

lle COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

on trouvera encore

sin(r + ®)

(8) NET Sin(o +8 +)

tang 0.

A l’aide des formules (2), (4), (6), (7) et (8), et de trois groupes d'observations, composés chacun de deux observations voisines, on déterminera aisément des valeurs approchées des éléments : et à. On pourra ensuite obtenir pour ces mêmes éléments des corrections qui seront déjà très peu différentes des véritables, en appliquant la méthode linéaire aux formules données par Lagrange dans la Connaissance des Temps pour 1821, ou, ce qui revient au même, à la for-

mule (19) de la page 424.

S II. — Sur les moyens d'obtenir, avec une grande approximation,

les éléments d’une orbite, à l’aide de cinq observations.

Supposons que, le centre du Soleil étant pris pour origine des coodonnées, et le plan de l’écliptique pour plan des æ, y, on compte les = positives du côté du pôle boréal; et soient, au bout du temps £,

æ, y, 3 les coordonnées de l’astre observé; r la distance de cet astre au Soleil; b le demi-paramètre de l'orbite décrite; H le double de l'aire décrite pendant l'unité de temps par le rayon r; U, V, W les projections algébriques de cette aire sur les plans coordonnés.

L’équation du plan de l'orbite sera (1) Ux + Vy+Wz—o.

Concevons maintenant que, à l’aide d’un ou deux accents placés au bas de chaque variable, on désigne la valeur que prend cette variable quand on remplace # par 4, ou par £,. La formule (1) continuera de subsister quand on y remplacera æ, y, z par æ,,y,, :, ou par æ,, y,, &,,

EXTRAIT N° 389. h45

et l’on aura, en conséquence, (2) DV, 87 LV EL VE LC Vin + Lys En V8 — 0e

On peut d’ailleurs, comme on sait, arriver directement à cette équation, en observant que le volume du tétraèdre qui a pour arêtes les rayons vecteurs r, r, r, S'évanouit, puisque l'orbite est plane. Ajoutons que, dans la formule (2), æ, y, 3 peuvent être exprimés en fonction linéaire de la distance + de l’astre à la Terre, les coefficients étant des données de l’observation; et, comme r, « sont d’ailleurs liés entre eux par une équation connue du second degré, il en résulte que les coordonnées æ, y, 3 peuvent être considérées comme fonctions de r. Donc aussi ces coordonnées peuvent être considérées comme fonctions du temps et des trois éléments desquels dépend le rayon r, savoir, du grand axe, de l’époque du passage de l’astre au périhélie et de l’excentricité. Donc, en supposant déjà connues des valeurs approchées de ces trois éléments, on pourra les corriger séparément à l’aide de la méthode linéaire appliquée à la formule (2) et de cinq observations.

Remarquons maintenant que, si aux trois variables æ, y, z on joint la variable r — b, on pourra établir, entre cette quatrième variable et deux quelconques des trois autres, une équation linéaire qui, comme la formule (1), ne renfermera pas de terme constant. Donc la formule (2) continuera de subsister si l’on y remplace les trois valeurs de l’une des coordonnées par les trois valeurs correspondantes de r — b. On aura, par exemple,

(2H 2,7,) re b) mel UE ee € 0 À C9 pu b) +(Ty, —z,7)(r,—b)=o

ou, ce qui revient au même,

(4) b — CNE LT AH CAT — CH L an CAL PLIS LV y Lo V FLY — LYy FEV, — A, Y

D'ailleurs, comme nous l'avons dit, æ, y, z peuvent être exprimés en

k4G COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

fonction linéaire de la distance + de l’astre à la Terre, les coefficients étant des données de l’observation. Effectivement, si l’on conserve les notations adoptées dans le $ [, on aura

(5) zæx—Rcos® +rcoso cost, y—Rsinw+:rcosocos, z:—:sin6. D'autre part, de l'équation (1), jointe aux formules (4), on tirera

(Ucoso + Vsino) cos + W sin@ ER ; Ucos® + Vsinw

Enfin, les aires U, V, W sont liées aux éléments &, , b par les for-

mules U — Wsinsatang:, V — — W cosstangi,

U?+ V?+W?—= H°?= Kb,

K étant la force attractive du Soleil; et, en conséquence, la formule (6) donne

___ RSin@cott — sin(o — 3) (7) di id sin(æ — 3)

Donc «et, par suite, æ, y, z peuvent être considérés comme des fonctions des éléments 2, t et des données de l'observation. Enfin, on peut en dire autant du rayon r déterminé par la formule

r=Va+ ÿ+ 3.

Cela posé, ilest clair que, en supposant déjà connues des valeurs approchées des trois éléments 1, #, b, ou même seulement des deux éléments : et 2, on pourra les corriger immédiatement à l’aide de la méthode linéaire appliquée à la formule (2) ou (4), et de cinq observations.

ASTRONOMIE. — Rapport sur un Mémoire de M. dE Gasparis, relauif à deux équations qui donnent la longitude du ‘nœud et l’inclinaison de l'orbite d'un astre, à l’aide d'observations géocentriques convenable-

ment combinées.